1
KOMBINATORIKA NA LAKŠI NAČIN -
Šta biste uradili sa novcem koji dobijete na loto premiji? Hmm, lepa tema za
razmišljanje. Međutim, koje su šanse da dobijete premiju na lotou, odnosno, da
od svih mogudih kombinacija izvuku baš vašu. Treba pogoditi jednu kombinaciju
od ... hmmm... mnogo
. Dakle, treba da izračunamo koliko ima svih mogudih
loto kombinacija. E, tu na scenu stupa kombinatorika.
Kombinatorika u srednjoj školi može biti pravi bauk. Silne permitacije,
kombinacije, varijacije i još ko zna šta. Baš kad pomislite da ste nešto razumeli
dobijete zadatak koji nemate pojma kako da rešite. Kako najlakše razumeti
elemente kombinatorike? Kako shvatiti kombinacije, permutacije i varijacije? I,
na kraju, kako sve to primeniti u konkretnim zadacima?
Na sva ova pitanja pokušadu da odgovorim što jednostavnije i što
razumljivije. Uvedimo najpre neke osnovne oznake i formule.
FAKTORIJEL
Faktorijel
nekog prirodno broja je proizvod svih prirodnih brojeva koji su
manji ili jednaki njemu. Faktorijel označavamo uzvičnikom (
n!
) i računamo ga na
slededi način:
!
(
1) (
2) .. 2 1
n
n n
n
Dakle, kada treba da izračunamo faktorijel neko broja samo pomnožimo sve
prirodne brojeve od 1 do tog broja. To znači da je faktorijel broja 5 jednak
5! 5 4 3 2 1 120
Zadatak 1
: Koliko je 8!
Rešenje
:
8! 8 7 6 5 4 3 2 1 40320
Primetimo da važi:
!
(
1) (
2) .. 2 1
(
1)!
n
n n
n
n n
odnosno:
5! 5 4 3 2 1 5 4!
Ovo možemo i dalje da nastavimo:
!
(
1)!
(
1) (
2)! ..
n
n n
n n
n
2
To znači da je:
10! 10 9! 10 9 8! 10 9 8 7! 10 9 8 7 6! ...
Radi lakšeg računanja uzima se da je 0!=1.
BINOMNI KOEFICIJENT
Još jedan važan pojam je
binomni koeficijent
. Naziv “binomni koeficijent”
potiče iz formule za razvijanje pirodnog stepena binoma, ali to nama ovde ne
treba pa nedemu gubiti vreme na to ;) .
Binomni koeficijent označavamo
n
k
(čita se
n nad k
) i računamo po
formuli
!
! (
)!
n
n
k
k
n k
Dakle, za računanje binomnog koeficijenta potrebna su nam dva prirodna
broja.
Zadatak 2
: Koliko je
7
4
?
Rešenje:
7
7!
7!
7 6 5 4!
7 6 5 4!
4
4! (7 4)!
4! 3!
4! 3 2 1
4!
210
35
6
3 2 1
.
Vratimo se sada na kombinatoriku. Kombinatorika nam računa na koliko
načina možemo da izaberemo elemente nekog skupa. Dakle, imamo neki skup, iz
njega izdvajamo podskupove i brojimo ih. Tri osnovna elementa kombinatorike
su:
permutacija
,
varijacija
i
kombinacija
. Da bismo ih prepoznali potrebno je da
odgovorimo na dva pitanja:
1.
Da li su izabrani svi elementi početnog skupa?
2.
Da li je poredak izabranih elemenata bitan?
Kada odgovorimo na ova dva pitanja znademo da li je u pitanju permutacija,
varijacija ili kombinacija.
