Kompleksna analiza
Elementarne funkcije
Neka je
ω
=
f
(
z
)
, z
∈
C
,
oznaka za kompleksnu funkciju kompleksne promenljive.
1.
ω
=
z
n
, n
∈
N
je
stepena funkcija
. Za
z
=
ρe
iϕ
je
z
n
=
ρ
n
e
inϕ
.
ω
=
P
n
(
z
) =
a
n
z
n
+
a
n
−
1
z
n
−
1
+
· · ·
+
a
1
z
+
a
0
, a
i
∈
C
, a
n
6
= 0
, i
∈ {
0
,
1
,
2
, ..., n
}
,
je
polinom
stepena
n
.
2.
ω
=
P
n
(
z
)
Q
m
(
z
)
, n < m, Q
m
(
z
)
6
= 0
,
je
prava racionalna funkcija
.
3.
ω
=
e
z
=
e
x
(cos
y
+
i
sin
y
)
, z
=
x
+
iy
∈
C
,
je
eksponencijalna funkcija
.
4.
ω
= sin
z
=
e
iz
−
e
−
iz
2
i
, z
∈
C
,
ω
= cos
z
=
e
iz
+
e
−
iz
2
, z
∈
C
,
ω
= tg
z
=
sin
z
cos
z
, z
6
=
π
2
+
kπ, k
∈
Z
,
ω
= ctg
z
=
cos
z
sin
z
, z
6
=
kπ, k
∈
Z
,
su
trigonometrijske funkcije
.
5.
ω
= sh
z
=
e
z
−
e
−
z
2
, z
∈
C
,
ω
= ch
z
=
e
z
+
e
−
z
2
, z
∈
C
,
ω
= th
z
=
sh
z
ch
z
, z
6
=
π
2
i
+
kπi, k
∈
Z
,
ω
= cth
z
=
ch
z
sh
z
, z
6
=
kπi, k
∈
Z
,
su
hiperboliˇ
cne trigonometrijske funkcije
.
Viˇ
seznaˇ
cne elementarne funkcije
1.
ω
=
n
√
z, n
∈
N
je
korena funkcija
.
2.
ω
= Ln
z
= ln
z
+ 2
kπi, z
6
= 0
, k
∈
Z
,
je
logaritamska funkcija
, pri ˇ
cemu je
ln
z
= ln
|
z
|
+
i
arg
z,
i naziva se
glavna vrednost (grana)
od Ln
z.
3.
ω
= Arcsin
z
=
−
i
Ln(
iz
+
p
1
−
z
2
)
, z
∈
C
,
ω
= Arccos
z
=
−
i
Ln(
z
+
p
z
2
−
1)
, z
∈
C
,
ω
= Arctg
z
=
−
i
2
Ln
i
−
z
i
+
z
, z
6
=
±
i,
ω
= Arcctg
z
=
−
i
2
Ln
z
+
i
z
−
i
, z
6
=
±
i,
su
inverzne trigonometrijske funkcije
.
Opˇ
ste funkcije
1.
ω
=
z
λ
=
e
λ
Ln
z
, z
6
= 0
, λ
∈
C
,
je
opˇ
sta stepena funkcija
.
2.
ω
=
a
z
=
e
z
Ln
a
, a
6
= 0
, z
∈
C
,
je
opˇ
sta eksponencijalna funkcija
.
Zadaci:
1.
Izraˇ
cunati vrednosti funkcija:
a) Ln
i,
b) Ln(
−
1)
,
c) Ln(1
−
i
)
,
d) cos
i,
e)
i
2
πi
,
f) (
−
1)
πi
.
Reˇ
senje:
a) Ln
i
= ln
i
+ 2
kπi
= ln
|
i
|
+
i
arg
i
+ 2
kπi
= ln 1 +
i
π
2
+ 2
kπi
=
π
2
+ 2
kπ
i, k
∈
Z
.
b) Ln(
−
1) = ln(
−
1) + 2
kπi
= ln
| −
1
|
+
i
arg(
−
1) + 2
kπi
= ln 1 +
iπ
+ 2
kπi
= (2
kπ
+
π
)
i, k
∈
Z
.
c) Ln(1
−
i
) = ln(1
−
i
) + 2
kπi
= ln
|
1
−
i
|
+
i
arg(1
−
i
) + 2
kπi
= ln
√
2
−
i
π
4
+ 2
kπi
= ln
√
2 +
−
π
4
+ 2
kπ
i, k
∈
Z
.
d) cos
i
=
e
i
2
+
e
−
i
2
2
=
e
−
1
+
e
1
2
=
1 +
e
2
2
e
= ch 1
.
e)
i
2
πi
=
e
2
πi
Ln
i
=
e
2
πi
(
π
2
+2
kπ
)
i
=
e
−
π
2
−
4
kπ
2
, k
∈
Z
.
f) (
−
1)
πi
=
e
πi
Ln(
−
1)
=
e
πi
(2
kπ
+
π
)
i
=
e
−
π
2
−
2
kπ
2
, k
∈
Z
.
2.
Reˇ
siti jednaˇ
cine u skupu kompleksnih brojeva.
a) cos
z
= 2
,
b) sin
z
= 0.
Reˇ
senje:
a) cos
z
= 2
⇔
z
= Arccos 2
.
Koriste´
ci definiciju funkcije
ω
= Arccos
z
, dobijamo
Arccos 2
=
−
i
Ln(2 +
√
2
2
−
1) =
−
i
Ln(2
±
√
3) =
−
i
ln(2
±
√
3) + 2
kπi
=
−
i
ln
|
2
±
√
3
|
+
i
arg(2
±
√
3) + 2
kπi
=
−
i
ln(2
±
√
3) + 2
kπi
=
2
kπ
−
ln(2
±
√
3)
i,
pa je reˇ
senje jednaˇ
cine cos
z
= 2 u skupu kompleksnih brojeva
z
= 2
kπ
−
ln(2
±
√
3)
i, k
∈
Z
.
b) sin
z
= 0
⇔
z
= Arcsin 0
.
Koriste´
ci definiciju funkcije
ω
= Arcsin
z
, dobijamo
Arcsin 0
=
−
i
Ln(
i
·
0 +
√
1
−
0
2
) =
−
i
Ln(
√
1) =
−
i
Ln(
±
1)
=
−
i
(ln(
±
1) + 2
kπi
) =
−
i
(ln
| ±
1
|
+
i
arg(
±
1) + 2
kπi
)
=
arg(
±
1) + 2
kπ
=
0 + 2
kπ
π
+ 2
kπ
=
kπ,
