UNIVERZITET U ISTOČNOM SARAJEVU
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET
redovni profesor
dr
Slavko Pokorni
, dipl. inž. el.
OSNOVI ELEKTROTEHNIKE 2
Elektromagnetizam
2010.
Sadržaj
1. OSNOVNI POJMOVI O MAGNETSKOM POLJU.............................................................4
1.1. Kratak istorijat..............................................................................................................4
1.2. Sila između dva strujna elementa...............................................................................5
1.3. Pojam magnetskog polja i vektor magnetske indukcije. Bio-Savarov zakon .............9
Linijske, površinske i zapreminske struje.....................................................................15
Izraz za intenzitet vektora magnetske indukcije kada su svi strujni elementi u istoj
ravni..............................................................................................................................16
1.4. Sila i momenat na strujnu konturu u magnetskom polju ..........................................19
1.5. Linije vektora magnetske indukcije ..........................................................................22
1.6. Fluks vektora magnetske indukcije. Zakon održanja magnetskog fluksa ...............25
1.7. Kretanje naelektisane ćestice u magnetskom i električnom polju............................29
1.8. Holov efekat..............................................................................................................30
2. AMPEROV ZAKON..........................................................................................................32
Osnovne integralne jednačine stalnog magnetskog polja u vakumu...........................36
3. MATERIJALI U MAGNETSKOM POLJU.........................................................................37
3.1. Uticaj magnetskog polja na materijale. Dijamagnetski, paramagnetski i
feromagnetski materijali...................................................................................................37
3.2. Vektor magnetizacije.................................................................................................39
3.3. Uopšteni oblik Amperovog zakona. Vektor jačine magnetskog polja i permeabilnost
..........................................................................................................................................40
3.4. Makroskopske struje ekvivalentne Amperovim elementarnim strujama..................43
Linije vektora magnetskog polja...................................................................................45
3.5. Granični uslovi...........................................................................................................45
3.6. Krive magnetisanja feromagnetskih materijala.........................................................48
3.7. Definicije permeabilnosti magnetskih materijala.......................................................51
4. MAGNETSKA KOLA........................................................................................................52
4.1. Tanka magnetska kola..............................................................................................52
4.2. Približne jednačine za rešavanje magnetskih kola realnih dimenzija.......................54
4.3. Jednačine za magnetska kola sa vazdušnim procepom..........................................56
4.4. Metode proračuna magnetskih kola..........................................................................57
Proračun prostih magnetskih kola................................................................................57
Proračun složenih simetričnih magnetskih kola...........................................................58
Proračun složenih nesimetričnih magnetskih kola.......................................................59
4.5. Magnetsko kolo stalnih magneta..............................................................................59
5. ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA.............................................................................61
5.1. Uvod..........................................................................................................................61
5.2. Faradejev zakon elektromagnetske indukcije...........................................................64
5.3. Potencijal i napon u vremenski promenjivom polju...................................................66
5.4. Vrtložne struje, površinski efekat i efekat blizine......................................................67
Vrtložne struje...............................................................................................................67
Površinski efekat i efekat blizine...................................................................................68
6. MEĐUSOBNA INDUKTIVNOST I SAMOINDUKTIVNOST ............................................70
6.1. Međusobna induktivnost dve tanke provodne konture.............................................70
6.2. Sopstvena induktivnost tanke provodne konture......................................................73
6.3. Određivanje jačine struje u kolu sa induktivnim kalemom........................................76
6.4. Merenje magnetske indukcije pomoću probnog navojka..........................................77
6.5. Savršeno provodna kontura u magnetskom polju....................................................79
6.6. Jednačine za jačine struja u dva kola spregnuta posredstvom magnetskog polja. .80
6.7. Teorija savršenog električnog transformatora..........................................................82
2
VREMENSKI KONSTANTNO
MAGNETSKO POLJE
1. OSNOVNI POJMOVI O MAGNETSKOM POLJU
1.1. Kratak istorijat
Sile koje danas nazivamo magnetskim zapažene su još u antičko doba. Primećeno je da
komadi jedne gvozdene rude imaju osobinu da privlače gvozdene predmete. Komadi gvozdene rude
koji ispoljavaju magnetske sile nazivaju se
prirodni magneti
, a sve pojave u kojima se pojavljuju
magnetske sile zovu se
magnetske pojave
.
Kasnije je primećeno da gvozdeni predmeti koji se prinesu blizu priodnih magneta I sami
psotaju magneti, tj. postaju namagnetisani, tj.
veštački magneti
.
I kod prirodnih i veštačkih magneta obično postoje dve zone u blizini kojih su magnetske
sile najizraženije, i zovu se
polovi magneta
.
Zapaženo je i da se magnet u obliku šipke ili igle, postavljen horizontalno i obešen o tanku
nit, uvek okrene u pravcu sever-jug, tako da je uvek isti pol okrenut ka severnom ,a drugi ka
južnom polu Zemlje, pa su polovi magneta dobili naziv “severni” i “južni”.
Raznoimeni polovi dva magneta se privlače, a istoimeni se odbijaju.
Po analogiji sa električnim opterećenjima, verovalo se da se sečenjem magneta mogu dobiti
odvojeno severni i južni pol. Međutim, uvek se dobijaju novi magneti sa oba pola. Magnetski polovi
su veštački uvedeni pojmovi.
Nauka o magnetskim pojavama se dugo oslanjala na stečena znanja o električnim pojavama.
Tako je Kulon, po analogiji, 1785. godine došao do zaključka (eksperimentišući sa dva dugačka
magneta) da je intenzitet sile priblićno obrnuto proporcionalan kvadratu rastojanja između polova
(ako se zamisli das u polovi na kraju magneta). Kulonov zakon za magnetske mase se piše u obliku
12
2
2
1
4
1
o
magnetska
r
r
m
m
F
π µ
=
gde je μ – konstanta.
Međutim, ovo nije bio dobar početak za dalji razvoj i razumevanje magnetizma. Izolovani
magnetski polovi u prirodi ne postoje.
1820. godine, danski fizičar Ersted primetio je da magnetska igla postavljena blizu
provodnika sa strujom skreće u odnosu na svoj normalan položaj, kada kroz provodnik postoji
struja.
Ubrzo zatim sledi niz otkrića naučnika kao što su Amper, Laplas, Bio-Savar, Faradej, Lenc.
Danas se zna da i električne i magnetske pojave potiču od istih uzročnika – elementarnih
naelektrisanih čestica. Jedina razlika je u tome što se električni efekti javljaju i kada te čestice
miruju (i kada se kreću), dok se magnetske pojave javlaju samo kada se naelektrisane čestice kreću
u odnosu na posmatrača (relativno kretanje).
Takođe magneti ne deluju silom na nepokretna električna opterećenja.
Magnetske sile koje deluju između stalnih magneta su, u suštini, sile koje deluju između
elementarnih naelektrisanih čestica koje se kreću unutar atoma materijala od kojih su magneti
napravljeni.
4
Izučavanje magnetskih pojava počećemo od sile koja deluje između dva tanka prvodnika sa
strujom, odnosno između dva elementa (kratka prava odsečka provodnika sa strujom) dva
provodnika. Takve elemente nazvaćemo
strujni elementi
. Do toga se došlo eksperimentalno.
Izučavanje magnetskih pojava je moguće početi i od dve naelektrisane čestice (dva tačkasta
naelektrisanja) koje se kreću.
Mi ćemo to pokazati kasnije
.
1.2. Sila izme u dva strujna elementa
đ
Zamislimo dva tanka zatvorena provodnika (konture) C
1
i C
2
, proizvoljnog oblika, sama
struja I
1
i I
2
(slika 1.1). Zvat ćemo ih strujne konture.
Slika 1.1.
Za održavanje struja u konturama moraju da budu priključeni neki izvori (što nam je poznato
od ranije). Ko je otpornost provodnika mala, za održavanje struje je potrebno veoma malo
električno polje, te na površima provdnika praktično neće biti opterećenja. Sila kojom jedna strujna
kontura deluje na drugu tada je čisto magnetska sila i može se izmeriti za bilo koji oblik kontura
1
.
Napomenimo da merenje sile između dva mala naelektrisana tela, koja se kreću, praktično
nije moguće.
Da bismo mogli da izračunamo silu koja deluje između dve strujne konture, bilo kog oblika,
neophpdno je da odredimo silu kojom jedan na drugi deluju dva strujna elementa. Ako
pretpostavimo da znamo matematički izraz za tu silu, onda ukupnu silu (bar teorijski) možemo da
izračunamo u svim slučajevima kao zbir (integral) sila između pojedinih parova strujnih elemenata.
Direktno eksperimetalno određivanje sile između dva strujna elementa nije moguće, jer takvi
odvojeni elementi nemogu da postoje (kolo vremenski konstantne struje nije zatvoreno). Međutim,
na osnovu merenja sle u raznim slučajevima zatvorenih strujnih kontura došlo se do ideje o obliku
izraza za magnetsku silu strujnih kontura u vakumu, ako se pretpostavi da neki element
1
→
dl
sa
strujom I
1
, deluje siloma na element
2
→
dl
sa strujom I
2
:
(
)
12
2
12
1
2
2
1
12
o
o
r
r
r
x
dl
x
dl
I
I
k
F
d
=
1
Dakle,
i
pak je moguće izmeriti magnetsku silu nezavisno od elektrrične. Naime sila koja postoji između dva tanka
provodnika sa strujom praktično je samo rezultat kretanja opterećenja koja u njima obrazuju struju, tj. čisto magnetska
sila (ako su psomatrani provodnici dobri za održavanje struje u njima potrebno je vrlo malo električno polje, pa na
njihovim površima praktično nema električnih opterećenja).
5
Slika 1.3.
Primer 2
: određivanje smera magnetske sile između dva paralelna provodnika sa strujama
istog (ili različitog) intenziteta, i istog smera (slika 1.3)
Slika 1.3.
Očigledno, u ovom slučaju dva paralelna provodnika sa strujama istog smera sila je
privlačna.
Samostalno odrediti smer magnetske sile između dva paralelna provodnika sa strujama istog
(ili različitog) intenziteta, ali suprotnog smera.
Uočiti da je u ovom slučaju sila odbojna.
Primer 3
: odrediti magnetsku silu, kao u primeru 2, ako je rastojanje provodnika r = 1m,
dužina l
1
= l
2
= l = 5 cm, a jačina struje I
1
= I
2
= I = 50 A (slika 1.4)
Slika 1.4.
Sila je privlačna, a njen intezitet je
7
