Fourierovi redovi i primjene
Bilješke s predavanja i vježbi
Sastavio prof. dr. sc. Hrvoje Šikić
Uredio i dopunio doc. dr. sc. Vjekoslav Kovač
Natipkao Domagoj-Jure Galić
Ažurirano 13. lipnja 2017.
Sadržaj
Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1
Osnovni rezultati
3
1.1
Kratko o teoriji mjere
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Prostori L
2
([
a, b
])
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.3
Baze
B
i
T rig
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.4
Fourierovi koeficijenti L
1
funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
1.5
Teoremi o točkovnoj konvergenciji
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
1.6
Dirichletov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
1.7
Još o konvergenciji po točkama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
1.8
Tehnike usrednjenja
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
2
Primjene osnovnih rezultata
91
2.1
Weierstrassov teorem aproksimacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
2.2
Izoperimetrijski problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
2.3
Ekvidistribuiranost nizova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
2.4
Provođenje topline po kružnoj žici
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
2.5
Fourierova transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.6
Gaussov kružni problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.7
Princip neodređenosti
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.8
Fourierova analiza na općenitijim grupama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
1
Poglavlje 1
Osnovni rezultati
1.1
Kratko o teoriji mjere
Označimo s
B
(
R
)
najmanju familiju podskupova od
R
koja sadrži sve otvorene intervale te je
zatvorena na komplementiranje i prebrojive unije:
h
a, b
i ∈
B
(
R
)
,
a, b
∈
R
, a < b,
A
∈
B
(
R
) =
⇒
A
c
=
R
A
∈
B
(
R
)
,
(
A
n
)
n
∈
N
niz u
B
(
R
) =
⇒
∞
[
n
=1
A
n
∈
B
(
R
)
.
Familiju
B
(
R
)
nazivamo
familijom Borelovih skupova
. Posebno uočimo da se otvoreni i zatvo-
reni skupovi nalaze u
B
(
R
)
.
Može se pokazati da postoji točno jedna skupovna funkcija
λ
:
B
(
R
)
→
[0
,
+
∞
]
takva da
je
λ
(
h
a, b
i
) =
b
−
a,
za svake
a, b
∈
R
, a < b
i da za svaki niz
(
A
n
)
n
∈
N
međusobno disjunktnih
skupova iz
B
(
R
)
vrijedi
λ
∞
[
n
=1
A
n
=
∞
X
n
=1
λ
(
A
n
)
.
Zovemo je
Lebesgueova mjera
. Uočimo
λ
(
{
a
}
) = 0
za svaki
a
∈
R
jer je
λ
(
h
a
−
1
, a
+ 1
i
)
|
{z
}
=2
=
λ
(
h
a
−
1
, a
i
)
|
{z
}
=1
+
λ
(
{
a
}
) +
λ
(
h
a, a
+ 1
i
)
|
{z
}
=1
=
⇒
λ
(
{
a
}
) = 0
.
Dakle,
λ
([
a, b
]) =
λ
([
a, b
i
) =
λ
(
h
a, b
]) =
λ
(
h
a, b
i
) =
b
−
a
i osim toga je
λ
(
R
) =
λ
[
n
∈
Z
[
n, n
+ 1
i
=
X
n
∈
Z
λ
([
n, n
+ 1
i
) =
X
n
∈
Z
1 = +
∞
.
Funkcija
f
:
R
→
R
je
izmjeriva
ako vrijedi
f
−
1
(
B
(
R
))
⊆
B
(
R
)
, tj.
B
∈
B
(
R
) =
⇒
f
−
1
(
B
)
∈
B
(
R
)
.
Prisjetimo se da je funkcija
f
neprekidna
ako vrijedi
U
otvoren
=
⇒
f
−
1
(
U
)
otvoren
.
3
Kako je svaki otvoren skup Borelov, može se pokazati (premda nije sasvim očigledno) da je
svaka neprekidna funkcija ujedno i izmjeriva. Ukoliko su funkcije
f
,
g
i
(
f
n
)
n
∈
N
izmjerive, tada
su izmjerive i funkcije
f
±
g, cf,
f
g
, f g,
sup
n
∈
N
f
n
,
inf
n
∈
N
f
n
,
lim
n
f
n
kad god su dobro definirane. S druge strane, ako je
f
:
R
→
[0
,
+
∞i
izmjeriva funkcija, tada
je formulom
f
n
:=
n
2
n
−
1
X
k
=0
k
2
n
1
f
−
1
([
k
2
n
,
k
+1
2
n
i
)
+
n
1
f
−
1
([
n,
+
∞i
)
dan niz izmjerivih funkcija
(
f
n
)
∞
n
=1
koje poprimaju samo konačno mnogo vrijednosti (to su
tzv.
jednostavne funkcije
) te vrijedi
f
n
%
f
, tj.
(
f
n
)
n
∈
N
je rastući niz i
lim
n
f
n
(
x
) =
f
(
x
)
za svaki
x
∈
R
.
Ovdje smo prešutno koristili:
B
∈
B
(
R
)
⇐⇒
njegova karakteristična funkcija
1
B
je izmjeriva
,
što se vrlo lako provjeri. Ukratko, svaka nenegativna izmjeriva funkcija se može prikazati kao
rastući limes jednostavnih nenegativnih izmjerivih funkcija, pogledajte sliku 1.1.
Slika 1.1: Aproksimacija funkcije jednostavnim funkcijama.
Realnu funkciju
f
rastavljamo na pozitivni i negativni dio:
f
=
f
+
−
f
−
,
f
+
:= max
{
f,
0
}
f
−
:= max
{−
f,
0
}
.
Pogledajte sliku 1.2 za ilustraciju.
Označimo s
J
skup svih jednostavnih funkcija
f
:
R
→
R
koje iščezavaju izvan skupa
konačne mjere, tj.
λ
(
f
−
1
(
R
{
0
}
)
|
{z
}
{
f
6
=0
}
)
<
+
∞
. Pokaže se da postoji točno jedan linearni funkcional
I
0
:
J
→
R
takav da je
I
0
(
1
A
) =
λ
(
A
)
za svaki
A
∈
B
(
R
)
konačne mjere.
4
Osim toga, vrijedi
nejednakost trokuta
:
Z
R
f dλ
⩽
Z
R
|
f
|
dλ.
(1.4)
Jednostavno se pokaže da je integral linearni funkcional na vektorskom prostoru svih realnih
integrabilnih funkcija, a slijedi i
f
⩽
g
=
⇒
Z
R
f dλ
⩽
Z
R
g dλ,
(1.5)
tj. integral je
monoton
.
Nešto zahtjevnije je dokazati tzv.
Lebesgueov teorem o dominiranoj konergenciji
(
LTDK
):
Ako su
(
f
n
)
n
∈
N
niz izmjerivih funkcija i
g
integrabilna funkcija takve da vrijedi:
|
f
n
|
⩽
g
za svaki
n
∈
N
,
(1.6.1)
postoji
f
(
x
) := lim
n
f
n
(
x
)
∈
R
za svaki
x
∈
R
,
(1.6.2)
tada su
f
n
i
f
također integrabilne i vrijedi
Z
R
f dλ
= lim
n
Z
R
f
n
dλ.
Napomenimo kako pretpostavke (1.6) čak niti ne moraju biti ispunjene na nekom skupu mjere
0
, tj. dozvoljavamo skup izuzetaka mjere
0
.
Ako je
A
∈
B
(
R
)
i postoji integral funkcije
1
A
f
, onda pišemo
Z
A
f dλ
:=
Z
R
1
A
f dλ.
(1.7)
Pritom ne moramo zahtijevati čak ni da je
f
definirana izvan skupa
A
, a ako i jest, stavljamo
njene vrijednosti izvan
A
na
0
. Sljedeća činjenica pokazuje kako Lebesgueov integral poopćuje
Riemannov integral na segmentu. Ako je
f
Riemann-integrabilna na
[
a, b
]
, tada je
f
i Lebesgue-
integrabilna na
[
a, b
]
te vrijedi
Z
b
a
f
(
x
)
dx
|
{z
}
R-int.
=
Z
[
a,b
]
f dλ
|
{z
}
L-int.
.
(1.8)
Pritom ovdje Lebesgue-integrabilnost treba shvatiti kao da se
f
može promijeniti na skupu
mjere
0
tako da postane izmjeriva i integrabilna. (Naime, ne mora svaka Riemann-integrabilna
funkcija biti baš Borel-izmjeriva, nego samo Lebesgue-izmjeriva.)
Neka su
1
⩽
p <
+
∞
,
A
∈
B
(
R
)
i
f
izmjeriva funkcija. Definiramo
k
f
k
p,A
:=
Z
A
|
f
|
p
dλ
1
/p
∈
[0
,
+
∞
]
.
(1.9)
Uočimo:
k
f
k
p,A
= 0
⇐⇒
λ
(
{
1
A
f
6
= 0
}
) = 0
,
(1.10)
tj.
f
= 0
g.s. na
A
. Općenito, kažemo da neko svojstvo vrijedi
gotovo svuda
na
A
(
g.s. na
A
)
ako ono vrijedi na
A
N
za neki skup
N
koji ima mjeru
0
. Tako npr. pišemo:
f
=
g
g.s. na
A
⇐⇒
λ
(
{
f
6
=
g
} ∩
A
) = 0
,
f
⩽
g
g.s. na
A
⇐⇒
λ
(
{
f > g
} ∩
A
) = 0
.
6
