Univerzitet u Novom Sadu
Tehnički fakultet "Mihajlo Pupin"
Zrenjanin
Tutorski rad iz Matematičke Logike
Tema: Jezik predikatskog računa
Mentor: prof. dr Ivana Berković Student: Siniša Mihajlović
Br. indeksa: IT 51/13
Smer: Informacione Tehnologije
Zrenjanin, 2014.
UVOD
Centralna ideja matematičke logike sastoji u tome da se matematička tvrđenja zapišu u obliku
konačnih nizova simbola sa kojima se može operisati po formalnim pravilima, tako da se korektnost
takvog rasuđivanja može proveriti mehanički, nezavisno od smisla koji matematički simboli mogu
imati.
Sa stanovišta tog programa, izražajne mogućnosti iskaznog računa su veoma ograničene. One se
uglavnom iscrpljuju na svojstvima logičkih veznika tako da jezik u kojem bi se sistematski mogla
izražavati svojstva matematičkih struktura mora biti mnogo bogatiji. Pre nego što izložimo jedan
takav jezik, preciziraćemo kontekst u kojem će on biti interpretiran - definisaćemo pojam
matematičke strukture
.
Matematička struktura
Prema Predragu Janičiću:
Kada u matematici govorimo o grupi, prstenu, polju, uređenju, uređenom polju, vektorskom
prostoru, prirodnim brojevima itd, uvijek govorimo o nepraznom skupu na kojem je definisan
određen broj relacija, operacija i konstanti, tj. govorimo o strukturi.
Relacije, operacije i istaknuti elementi
Prema Predragu Janičiću:
Ako je
M
neprazan skup,
= {(x1, x2, . . . , xn) : x1, x2, . . . , xn
∈
M }
je Dekartov
n
-ti stepen
skupa M, za svako
n ≥ 0
. Dakle, skup
sastoji se od nizova dužine
n
, odnosno, od uređenih
n
-torki
skupa M.
Ako je
n = 1
, nizove dužine jedan skupa M identifikujemo sa njegovim elementima, pa je
=
M
. Ako
n = 0
, jedini niz dužine nula je prazan niz, koji označavamo sa
∅
, pa je
= {
∅
}
, za svako
M
.
Skup
r
⊆
je relacija dužine
n ≥ 0
skupa
M
. Ako
( ,...,
)
∈
r
, kažemo da su elementi
,...,
skupa
M
, tim redom, u relaciji
r
. Umesto
( ,...
)
∈
r
, često koristimo i oznaku
r ( ,...,
).
Napomenimo da se svaka relacija
r
⊆
može shvatiti i kao preslikavanje
r :
→ {0, 1}
takvo da za sve
,...,
∈
M,
r ( ,...,
) = 1
⇔
(
,...,
)
∈
r.
Specijalno, kada
je n = 0
, Dekartov stepen
= {
∅
}
je jednočlan skup, pa postoje dve relacije
dužine nula:
:
→ {0, 1}, za koju je (
∅
) = 0,
:
→ {0, 1}, za koju je (
∅
) = 1.
Ako relaciju identifikujemo sa nulom, a relaciju sa jedinicom, onda su istina i neistina,
relacije dužine nula.
Kada je
n = 1
, unarne relacije skupa M su njegovi podskupovi, pa ako
r
⊆
M
, onda
r(x)
znači
x
∈
r
.
3
