www.puskice.org
1
Matematika 3
zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje
<!-- Ispravke, sugestije, mišljenja i ostalo šaljite na
[email protected]
-->
Hijavata
www.puskice.org
2
Predgovor
Pismeni ispit iz matematike 3 obuhvata 4 zadatka. Ova zbirka će biti odrađena tematski, za svaki tip
zadatka ponaosob.
Prvi zadatak
Obične diferencijalne jednačine prvog reda:
Jednačina sa razdvojenim promenljivim
Homogene diferencijalne jednačine prvog reda
Linearne diferencijalne jednačine prvog reda
Bernulijeva jednačina prvog reda
Jednačina sa totalnim diferencijalom (sa/bez integracionog faktora)
Prvi zadatak je uvek jedna diferencijalna jednačina prvog reda. Najčešće dolaze Bernulijeva i
Jednačina sa totalnim diferencijalom, mada nema pravila.
Drugi zadatak
Diferencijalne jednačine višeg reda:
Diferencijalna jednačina oblika
Diferencijalna jednačina oblika
Homogene diferencijalne jednačine višeg reda
Nehomogene diferencijalne jednačine višeg reda
Sistemi običnih diferencijalnih jednačina prvog reda:
Homogeni sistemi odj
Nehomogeni sistemi odj
Nelinearni sistemi odj
Parcijalne diferencijalne jednačine
Linearne parcijalne diferencijalne jednačine
Kvazilinearne parcijalne diferencijalne jednačine
www.puskice.org
4
Prvi zadatak
Jednačina sa razdvojenim promenljivima
Najjednostavniji tip diferencijalne jednačine. Treba imati na umu da važi
Rešavanje jednačina:
rešenje dobijamo iz:
rešenje dobijamo iz:
Dakle, razdvajamo x i y (i njihove diferencijale) na različite strane znaka jednakosti i
nalazimo integrale.
Pri rešavanju diferencijalnih jednačina, može se dogoditi da rešenje ima drugačiji
oblik nego ono dato u ovoj zbirci. Zato pokušajte da transforma cijama, vaše rešenje
svedete na ono dato u zbirci kako biste proverili da li ste tačno uradili zadatak.
U slučaju da je opšte rešenje jednačine u zadacima gde se traži partikularno rešenje
drugačijeg oblika od opšteg rešenja datog u zbirci, to znači da će najverovatnije i
konstanta C biti drugačija nego ovde u zbirci, ali mora se dobiti isto opšte rešenje.
www.puskice.org
5
Postoje tri osnovna tipa zadataka:
1.
Obična diferencijabilna jednačina sa razdvojenim promenljivima (
ili
)
2.
ODJ sa razdvojenim promenljivima - partikularno rešenje
3.
ODJ sa razdvojenim promenljivima - smena za svođenje na 1. tip zadatka
Zadaci:
Rešenje:
Transformišemo konstantu na sledeći način:
čime dobijamo novu konstantu
www.puskice.org
7
vratimo u opšte rešenje:
dakle,
Partikularno rešenje je:
Odrediti partikularno rešenje pri uslovu
za uslov
imamo:
kad vratimo u opšte rešenje, dobijamo
Partikularno rešenje
:
