istom fizičkom prirodom. U ovom slučaju, promenljive i parametri modela se izražavaju istim
jedinicama kao promenljive i parametri kod modeliranog objekta, samo imaju drugu (obično
manju) brojnu vrednost. Vrednosti promenljivih i parametara kod modela se određuju
množenjem stvarnih vrednosti nekim konstantama koje nazivamo koeficijentima razmere. Za
tačno određivanje ovih koeficijenata koristi se teorija sličnosti. Ova teorija omogućuje veze
između veličina modeliranog objekta i modela tako, da ponasanje modela odgovara ponašanju
modeliranog objekta. Treba naglasiti, da pri preračunavanju, koeficijenti razmere ne moraju
međusobno biti jednaki kao i to da zavise od fizičke veličine koja se preračunava. Staviše, kod
nelinearnih sistema neki od koeficijenata mogu biti manji od jediniee, dok drugi mogu biti
veći od jedinice. Inače, pri formiranju modela iste fizičke prirode koeficijenti razmere su
bezdimenzioni.

Modeli sa istom fizičkom prirodom su se u tehnici koristili još veoma davno. Poznato je

da su stari graditelji pravili umanjene modele mostova ili kupola i na njima vršili ispitivanja u
pogledu izdržljivosti na različita opterečenja i potrese. Zabeleženo je da je Mikelanđelo, pri
izgradnji crkve Svetog Petra u Rimu vršio eksperimente na modelu, tj. na umanjenoj kopiji
crkve.

U novije vreme, ova vrsta modela koriščena je pri ispitivanju elektrodistributivnih mreža.

Pravljeni su modeli visokonaponskih mreža pojedinih regiona pa i čitavih država. Na takvim
modelima   su   vršena   ispitivanja   u   pogledu   ponašanja   tih   mreža   u   slučaju   kratkog   spoja,
preopterećenja, ispada iz pogona pojedinog dela mreže, prekida, naponskog udara itd. Iako se
ovakve   mreže   mogu   veoma   precizno   opisati   sistemima   jednačina,   egzaktna   analiza,
rešavanjem tih jednačina je nekada veoma složena. Naime, broj tih jednačina je kod složenih
mreža   toliko   veliki   da   je   njihovo   rešavaiije,   čak   i   uz   korišćenje   moćnih   računara,
komplikovano,   a   nekad   i   nemoguće.   Poznato   je   da   je   za   analizu   nekih   složenih   mreža
potrebno rešavati sistem od više stotina diferencijalnih jednačina. Zbog toga je ispitivanje na
fizičkom   modelu,   uz   sva   ova   ograničenja   koja   su   prisutna,   efikasnije   od   egzaktne
matematičke analize.

Formiranje fizičkih modela sa istom fizičkom prirodom se ponekad izvodi u više etapa.

Najpre se izrađuje model manjih dimenzija. Zatim se nakon ispitivanja na njemu vrše dopune
i, koristeći dobijene rezultate, formira model većih dimenzija. Tako se kroz nekoliko iteracija
dolazi do prototipa. No i pored navedenih prednosti fizičko modeliranje gubi na značaju, s
obzirom da se većina problema može rešiti simulacijom na digitalnom računaru, o čemu će
biti reči kasnije.

Mnogi procesi koji nisu električne prirode, kao što su mehanički, hidraulički, pneumatski

ili termički, takođe se u principu mogu ispitivati na modelima sa istom fizičkom prirodom.
Međutim, to se daleko ređe primenjuje jer je realizacija ovih modela mnogo teža i
nepraktičnija. Mnogo češće se fizički modeli pomenutih procesa realizuju u vidu električnih
mreža. Na taj način se ustvari formirsju fizički modeli sa različitom fizičkom prirodom.
Razlog je, kao što je već rečeno, jednostavnost realizacije električnih mreža.

Neki složeni hidraulički proces se, na primer, može predstaviti odgovarajućom

električnom mrežom. Pri tome, pritisku u nekoj tački hidrauličkog sistema, odgovara, napon u
odgovarajućoj tački električne mreže, protoku tečnosti odgovara električna struja, dok
hidrauličkom otporu odgovara električni otpor.

Modeliranje dinamičkih sistema

Na sličan način se mnogi procesi mogu fizički modelirati električnim mrežama. To je

dovelo   do   razvoja   analogne   računarske   tehnike.   Naime,   umesto   da   se   pojedini   procesi
modeliraju posebnim električnim šemama, razvijeni su analogni računari koji omogućavaju
modeliranje bilo kog fizičkog procesa. Analogni računar sadrži relativno mali broj različitih
računskih komponenti (sabirač, integrator, množač konstantom, množač funkcija, generator
proizvoljne   funkcije   i   nekoliko   nelinearnih   računskih   elemenata)   čijim   se   povezivanjem
formira proizvoljan fizički model. Na taj način se formiranje modela sa različitom fizičkom
prirodom   svelo   na   primenu   analognih   računara.   Treba   istaći   osnovnu   prednost   analognih
računara u odnosu na druge računarske tehnike, a to je brzina računanja. Medjutim, i pored
ove izvanredne osobine, primena analognih računara je izgubila na zuačaju, jer su poslednjih
decenija razvijeni programski paketi za simulaciju koji su potisli primenu analognih računara.
No, i pored toga, analogni računari mogu biti efikasno primenjivani kod rešavanja specifičnih
problema, gde su potrebne velike brzine, za rad u realnom vremenu, kao na primer kod
adaptivnog   upravljanja,   upravijanja   letilicama,   u   vojnoj   i   svemirskoj   tehnici.   Takođe   se
anaiogna tehnika može kombinovati sa digitalnom, tako da se korišćenjem dobrih osobina
jedne   i   druge   tehnike,   projektuju   hibridni   računari   izvanrednih   osobina.   Naravno   oni   su
skuplji od konvencionainih računara. Takođe u ovoj fazi razvoja, postoje ođređeni problemi
pri izradi softverske podrške ovim računarima.

Osnovni nedostaci fizičkog modeliranja su tehnički problemi pri izradi modela, njihova

cena, kao i ograničena tačnost. Naime, poznato je da je tačnost fizičkih modela određena
tačnošću izrade pojedinih komponenti. Takođe se, pri primeni fizičkih modela, greške nastale
u pojedinim komponentama superponiraju. I najzad, sa protokom vremena, usled
integracionog dejstva pojedinih komponenti, ova zbirna greška se još više povećava, tako da u
određenim situacijama model može postati neupotrebljiv.

1.3. Apstraktno modeliranje

Pojedini problemi koji nastaju pri fizičkom modeliranju, mogu se izbeći korišćenjem

apstraktnih modela. Apstraktni model predstavlja opis sistema u vidu skupa relacija
(matematičkih ili logičkih), dijagrama, blok šema, grafova, nekada algoritama, dijagrama
toka, itd. Na taj način se uspostavljaju veze između pojedinih promenljivih veličina u sistemu.
Analizom ovih relacija i efekata do kojih dovodi njihova primena, zaključuje se o ponašanju
procesa koji se modelira. Ova analiza, koja se obično izvodi na računaru, naziva se simulacija.

Iz navedenih vrsta opisa, može se zaključiti da apstraktno modeliranje može biti

nematematičko i matematičko.

Kod nematematičkog modeliranja sistem se opisuje nematematičkim strukturama kao što

su iskazi (verbalni opisi), dijagrami, grafovi ili specijalni simboli iz određene gi'ane nauke i
tehnike. Na primer proces oksidacije vodonika u hemiji se opisuje strukturom

Na sličan način, samo uz korišćenje većeg broja zapisa mogu se opisati vrlo složene

hemijske reakcije.

Kod fuzzy sistema, uvođenjem lingvističkih promenljivih i primenom odgovarajućih

logičkih pravila, mogu se opisati ponašanja nekih procesa koji u sebi imaju neodređenosti.

Poznato je da se dijagramima toka može opisati prostiranje signala kroz proces.
Najzad, kao efikasno sredstvo za predstavljanje sistema mogu se koristiti grafovi, bilo

signalni, bilo bond grafovi.

Treba naglasiti da se primenom nematematičkih apstraktnih modela ne može uvek u

potpunosti ispitivati ponašanje objekata ili procesa. U tom slučaju, može se, pored korišćenja
nematematičkih modela za predstavljanje procesa, komplementamo koristiti i matematička
analiza, sto omogućuje detaljnije proučavanje ponašanja procesa.

Modeliranje dinamičkih sistema

Dobijanje matematičkih modela pojedinih prirodnih, tehničkih, bioloških i ekonomskih

procesa iii pojava je jedan od osnovnih zadataka nauke. Praktično, uvek, kada se neki
nepoznati proces ili pojava proučava, bilo korišćenjem poznatih zakonitosti, bilo putem
analogije sa srodnim procesima ili direktnim eksperimentisanjem, i kada se na osnovu toga
opiše sistemom matematičkih relacija, tada se ustvari vrši matematičko modeliranje.

Tokom razvoja pojedinih nauka, pre svega fizike, mnoge prirodne pojave su sve

preciznije opisivane matematičkim relacijama i na taj način su formirani matematički modeli
tih pojava. Ukoliko ti opisi imaju univerzalno značenje, onda su to matematički modeli
prirodnih zakona. Tu, na primer, spadaju

Maxwellove

jednačine koje opisuju elektromagnetne

pojave ili

Lagrangeove

jednačine za mehanička kretanja. Treba napomenuti da se čak i u

ovim slučajevima vrši usavršavanje matemafičkih modela, odnosno da se sa novim
saznanjima ovi modeli dopunjuju novim relacijama.

Matematički modeli najčešće imaju ograničen domen primene, odnosno imaju lokalni

značaj. To pre svega važi za matematičke mođele tehničkih sistema. Oni su validni u
određenim tehničkim granicama. Ukoliko promenljive veličine izađu izvan tih granica, model
prestaje da važi, ili postaje neupotrebljiv. Staviše ova činjenica važi i kod modela prirodnih
zakona. Na primer, izvaređni

Newtonov

model gravitacije, odnosno

Newtonovi

zakoni važe u

domenu brzina daleko manjih od brzine svetlosti. Za brzine bliske brzini svetlosti, ovaj model
prestaje da važi.

Zbog ovoga, kao i iz drugih praktičnih razloga, nekad se za isti proces može formirati

više matematičkih modela. Zavisno od cilja, koristi se najpogodniji za tu svrhu

Postoje dva

osnovna postupka pomoću kojih se formiraju matematički modeli. Prvi način je kada se uz
korišćenje poznatih fizičkih, hemijskih i drugih prirodnih zakona formira skup matematičkih
relacija koji opisuje dinamiku procesa. To je ustvari matematičko modeliranje u užem smislu,
ili kraće - matematičko modeliranje.

Drugi način se sastoji u tome što se vrše eksperimentisanja na konkretnom procesu, i na

osnovu promena ulaznih i izlaznih veličina, određuje se skup matematičkih relacija koje
povezuju ove veličine. U ovom slučaju radi se o identifikaciji procesa.

Dakle, cilj oba ova postupka je dobijanje matematičkog modela, s tim što se kod

matematičkog modeliranja koriste

a priori

poznati prirodni zakoni, dok se kod identifikacije

vrši eksperiment. U praksi je najcelishodnije kombinovati ova dva metoda. Naime, potrebno
je iskoristiti sve raspoložive informacije o procesu i uz korišćenje poznatih zakona formirati
početni matematički model. Zatim se, uz pomoć eksperimenta vrši dogradnja, usavršavanje
modela. Vrlo često se matematičkim modeliranjem odredi struktura modela, a identifikacijom
se vrši procena parametara tog modela. Takođe je moguće simulatano primenjivati ova dva
postupka. Pošto su ova dva postupka komplementarna, naizmenično, eksperimentisanjem i
uvođenjem novih relacija mogu se dobiti veoma kvalitetni matematički modeli.

Najlepši primer u istoriji nauke koji ilustruje odnos matematičkog modeliranja i

identifikacije je verovatno formiranje modela kretanja planeta oko sunca. Dok je

Kepler,

koristeći obimna merenja (eksperimentisanja)

Tiho Brahea

formulisao svoja tri zakona,

Isac

Newton

je koristeči zakon gravitacije, matematički opisao kretanje planeta. Drugim rečima

Kepler

je izvršio identifikaciju procesa kretanja planeta oko sunca, dok je

Newton

izvršio

matematičko modeliranje tog procesa.

Već je rečeno da je osnovna svrha matematičkih modela izučavanje nepoznatih procesa i

pojava i formiranje adekvatnih upravljačkih sistema. U pojedinim slučajevima ispitivanje
procesa je jedino moguće na modelu, zbog eventualnih opasnosti koje su moguće pri
eksperimantisanju na realnom procesu. To se pre svega odnosi na nuklearne i neke klase
hemijskih procesa. Pozanto je da se u savremenim nuklearnim istraživanjima, pre stvarne
nuklearne reakcije, vrše mnogobrojne simulacije primenom raćunarske tehnike.

Takođe se pri obučavanju ljudi za razne opasne akcije obučavanje najpre vrši na

simulatorima pri čemu se ustvari koriste formirani matematički modeli, specijalno namenjeni
za tu svrhu.

Modeliranje dinamičkih sistema

I najzad, matematičko modeliranje i simulacija su jedini načini da se analizira sistem koji

još nije realizovan. Naime, još pre ulaganja velikih materijalnih sredstava za realizaciju
sistema, moguće je, poznavanjem matematičkog modela tog sistema izvršiti veliki broj
ispitivanja u pogledu njegovog ponašanja. Ta ispitivanja su naravno bezopasna i relativno
jeftina. Staviše, na modelu su moguća ispitivanja koja iz tehničkih ili bezbedonosnih razloga
na realnom sistemu ne bi bila moguća. Na taj način, projektant, pre realizacije sistema stiče
veliku sigurnost u pogledu konačnog ishoda projekta. Nekada su, dok računarska tehnika nije
bila dovoljno razvijena, ova ispitivanja vršena isključivo na prototipu, što je zahtevalo velika
materijalna sredstva. Naravno i kod savremenog projektovanja, konačna ispitivanja se vrše na
realnom procesu, ali korišćenjem matematičkog modeliranja i simulacije ukupan postupak
projektovanja postaje brži, jeftiniji i bezopasniji.

1.5. Metodi formiranja matematičkih modela

Postoje dva osnovna pristupa formiranja matematičkih modela, a to su induktivni i

deduktivni,

Induktivni pristup, u literaturi poznat kao

“bottom-up”

pristup koristi se u slučaju kada se

poseduju detaljne informacije o svim elementima sistema i njihovim međusobnim vezama. U
tom slučaju se svaki element sistema i svaka međusobna veza opisuje potpuno određenom
matematičkom relacijom, dok skup svih tih relaeija predstavlja matematički model tog
sistema. Klasičan primer ovakvog postupka je formiranje matematičkog modela električnih
kola. U slučaju poznatog rasporeda elemenata električnog kola (npr. otpornika, kapacitivnosti
i induktivnosti), korisćenjem

Ohmovog

Kirchhoffovih

zakona piše se potpuno određen broj

jednačina i na taj način se jednoznaČno određuje matematički model tog kola. Slična je
situacija kod mehaničkih sistema gde se primenjuju

Newtonovi

zakoni kretanja masa. Ovako

formirani matematički modeli su validni u okviru granica u kojima su valiđni opisi pojedinih
komponenti sistema, Na

primer,

pri opisivanju električnog kola sa skoncentrisanim

parametrima, otpornik se opisuje

Omovim

zakonom, po kome je struja kroz otpornik

proporcionalna otporu i naponu na njegovim krajevima, Ukoliko napon i struja pređu
određene granice, usled zagrevanja može doći do promene otpornosti, tako da se sistem vise
ne može opisivati linearnim modelom. U tom slučaju model više nije odgovarajući pa se mora
korigovati uvođenjem složenijjh relacija, Takođe je moguće za različite uslove rada formirati
razlićite matematičke modele i svaki od njih koristiti u uslovima u kojima je on validan.

Drugi pristup formiranju matematičkih modela je deduktivan, u literaturi poznat kao

“top

down''.

Kod ovog načina sene vrši matematičko opisivanje pojedinih elemenata sistema, već

se formira globalan model, pri čemu se čitav sistem opisuje određenim brojem matematičkih
relacija.   Pri   tome   se   vrše   određena   uprošćavanja,   odnosno   izbegava   se   uključivanje
nepotrebnih   detalja,   što   bi   komplikovalo   konačan   matematički   model,   koji   bi   bio   veoma
glomazan,   pa   čak   i   neupotrebljiv.   Pri   ovom   modeliranju   se   razmatraju   samo   najvažnije
promenljive i njihove veze, što svakako predstavlja određenu idealizaciju.

Međutim, ovaj pristup nekada može biti veoma koristan, jer uključivanje elemenata čiji je

uticaj zanemarljiv, može dovesti do veće štete nego koristi. Na primer, kod formiranja
matematičkog modela mehaničkih sistema uzimaju se u obzir samo mase onih elemenata koje
imaju bitan uticaj na dinamiku sistema, dok se mase, čiji je red veličina veoma mali u odnosu
na prethodne, zanemaruju. Time se broj jednačina u matematičkom modelu bitno smanjuje, a
da se pri tom ne izgubi mnogo na kvalitetu modela.

Ukoliko se, pri ovom načinu modeliranja ustanovi da prvobitam model nije adekvatan, ili

je suviše uprošćen, onda se on može poboljšavati sukcesivnim uvođenjem novih relacija,
uključivanjem opisa manje važnih elemenata, i to upravo po redosledu njihove važnosti.

Induktivni i deduktivni pristup modeliranja se ne isključuju međusobno, vec, naprotiv,

oni se dopunjuju, i mogu se koristiti komplementarno. Naravno za ovo je potrebno veće
iskustvo u modeliranju, kao i dobro poznavanje svih metoda matematičkog modeliranja.

Modeliranje dinamičkih sistema

Slika 2.1:

Broj individua u slučaju vrsta koje se nadmeću za istu hranu.

predstavljeno punom linijom, a

isprekidanom linijom.

2.1.2.Grabljivica i plen

Pretpostavimo sada, da je druga vrsta plen. U tom slučaju, snabdevanje hranom vrste 1

proporcionalno je broju individua

dok se stopa mortaliteta ove vrste smanjuje sa

porastom broja individua

To možemo predstaviti u obliku

Stopa mortaliteta vrste 2, povećava se sa porastom broja individua vrste 1, tj. važi

Korišćenjem prethodnih jednakosti, dolazimo do modela

Logično je pretpostaviti, da bi prva vrsta (grabljivica) izumrla ukoliko ne bi postojala

druga vrsta (plen), pri čemu je

, kao i da bi se druga vrsta (plen) multiplicirala

ukoliko ne bi postojala prva (grabljiviea),

. Na slici 2.2 prikazana je promena

. Sa slike se vidi da broj individua

osciluje oko jedne vrednosti, što je u skladu sa realnošću.

Slika 2.2: Broj grabljivica (

) i plena (

) (isprekidana linija) u funkciji vremena.

Modeliranje dinamičkih sistema

2.2.Slobodno isticanje tečnosti iz sudova

Posmatraćemo sud (rezervoar) sa slobodnim isticanjem tečnosti, kao na slici 2.3.

Poprečni presek suda je

, dok je površina otvora kroz koji ističe tečnost

Visina nivoa tečnosti u sudu je

, ulazni protok jednak je

, a izlazni protok

. Neophodno je formirati model koji predstavlja zavisnost izlaznog od ulaznog

protoka.

Slika 2.3: Rezervoar (sud) sa slobodnim isticanjem tečnosti

Bernoullijeva

jednačina, daje vezu između brzine isticanja tečnosti

iz suda i

visine nivoa tečnosti u sudu:

(2.4)

gde je

ubrzanje zemljine teže. Veza između izlaznog protoka

i brzine isticanja tečnosti V

data je pomoću,

(2.5)

Zapremina tečnosti u rezervoaru u trenutku

, i menja se u zavisnosti od

razlike koja postoji između ulaznog i izlaznog protoka, prema relaciji

(2.6)

Modeliranje dinamičkih sistema

(2.11)

Modeliranje dinamičkih sistema

Model ekonomskog sistema dat je relacyama (2.9) - (2.11). Jedan od problema koji se

može rešiti korišćenjem ovog modela, jeste pronalaženje načina na koji vlada jedne države
može da utiče na ukupnu ekonomsku situaciju. Tada, BND  y(t)  možemo posmatrati kao
izlaznu promenljivu. Na BND jedne države može da se utiče na nekoliko načina, na primer,
uticajem   ukupne   potrošnje  c(t)  na   porez   (povećanjem   poreza   robe   široke   potrošnje)   ili
uticajem ukupnih ulaganja  i(t) na bankarske kamate (niže bankarske kamate omogućavaju
jeftinije kredite, a time i porast investicija).

U ovom primeru, razmotrićemo samo uticaj državnih troškova g(t) na ukupan BND

države. Da bismo došli do izraza koji predstavlja zavisnost y(f) od g(t), potrebno je prvo
prepoznati model dat pomoću jednačina (2.9) - (2.11).

Promenljive c(t) i i(t) u jednačini (2.9) eliminisaćemo korišćenjem jednačina (2.10) i

(2.11), što daje

(2.12)

Prema tome, tražena veza između

g(t)

y(t)

data je diferencnom jednačinom

(2.13)

Model ekonomskog sistema može se formirati i posmatranjem promena veličina

y(t)

c(t)

iz godine u godinu, Na osnovu (2.10) imamo c(t+l)=ay(t), pa se može napisati

Do ovog izraza došlo se zamenom (2.9) u prvu jednačinu, (2.11) u drugu i (2.10) u treću.

Prethodnu jednačinu, takodje, moguće je predstaviti i u matričnom obliku

(2.14)

Modeliranje dinamičkih sistema

2.3.Električno kolo

Ako su poznate komponente električnog kola, moguće je formirati tačan model

primenjujući samo dedukciju. Pomoću poznatih zakona elektrotehnike, uz poznavanje
vrednosti parametara komponenti, dobija se "beli model". Na slici 2.6 dato je električno kolo
koje sadrži kalem induktivnosti L, klondenzator kapacitivnosti

i otpornik otpornosti

Slika 2.6:

Električno kolo

Primenom osnovnih zakona elektrotehnike, dobijaju se sledeće matematičke relacije:

Ako su

u, R,L

dati, onda se pet nepoznatih promenljivih

određuju

na osnovu prethodnih pet jednačina. Zatim, ako umesto diferencijatora koristimo integratore,
dobijamo model predstavljen blok dijagramom kao na slici 2.7.

Slika 2.7:

Blok dijagram razmatranog električnog kola

Modeliranje dinamičkih sistema

Napomenimo da se za predstavljanje modela blok dijagramom mora uvesti kauzalitet.

Neophodno je odlučiti da li će, na primer, srtruja kroz otpornik određivati vrednost napona na
njemu ili će biti obrnuto. Kako su za simulaciju pogodniji modeli koji ne sadrže
diferencijatore, induktivnost i kapacitivnost su predstavljeni preko odgovarajućih integralnih
jednačina.

Definisanjem

kao izlaz i

kao ulaz, i korišćenjem

Laplaceovog

operatora

i funkcije

prenosa

H(s),

model postaje

(2.15)

Ovaj model, predstavljen blok šemom ili funkcijom prenosa i jednačinama stanja,

formiran je korišćenjem već postojećih informacija. Nisu korišćena nikakva merenja. Primeri
modeliranja električnih kola su primeri primene principa bele kutije, uz zanemarivanje
parazitnih efekata i uz pretpostavku da su vrednosti komponenti date sa dovoljnom tačnošću.
U praksi to nije uvek tako, jer se komponente daju sa određenom tolerancijom. U tom slučaju
koristi se promenljiv otpornik, kojim se podešava da kolo radi na željeni način.

2.4.Zagrevanje kuće

Na slici 2.8 prikazana je kuća sa zagrevnim elementom koji obezbeđuje protok energije

u kuću. Tu je odavanje energije iz kuće, označeno sa

, kao posledica izmedu

unutrašnje temperature

i spoljne temporature

Slika 2.8:

Zagrevanje kuće

Temperatura

opisana je sa dva osnovna zakona:

1. zakon o održanju energije;

2. količina energije

proporcionalna je razlici temperatura

Modeliranje dinamičkih sistema

2.5.Matematički model hemijske reakcije

Modeliranje hemijskih reakcija zahteva razumevanje kinetičke reakcije. Kinetika se

bazira na koncentracijama hemijskih elemenata u reaktoru. Pretpostavimo da dve
komponente, A i B reaguju međusobno kao što je prikazano na slici 2.9.

Slika 2.9:

Hemijska reakcija

Koncentracije komponenti A, B i C označene su sa

. Reakcija od A ka B ima

dinamičku konstantu , a od B ka A dinamičku konstantu i od B ka C,

Osnovne

dinamičke relacije su

Dodatna informacija koja se odnosi na zapreminu omogućava izračunavanje mase

različitih komponenti.

2.6.Odskakanje lopte

Kada se lopta pusti sa neke početne visine

može se izračunati visina

x(m

). Prvo, lopta

mase

m(kg

) padaće usled gravitacije

. Drugo, ako lopta poluprečnika

r(m)

dodirne

pod

=r), ponašaće se kao opruga mase m, sa konstantom opruge

k(N/m),

prigušenjem

f(Ns/m).

Za opisivanje sistema masa-opruga koristićemo linearnu oprugu. Definisaćemo

v(m/s)

kao brzinu lopte, sa pozitivnom vrednošću za kretanje naviše. Uočavamo dva različita

modela:

Ako je r <

(2.23a)

(2.23b)

Ako je

x < r

(2.24a)

(2.24b)

Pri početnim uslovima

ove dve grupe jednačina opisuju loptu koja

odskače.

Modeliranje dinamičkih sistema

Napomena: Tačnost modela može se poboljšatiako, uz pomoć modela događaja stanja,

detektujemo trenutak u kome lopta dotiče i napušta pod. Dakle, model događaja stanja mora
da generiše digitalni signal u momentu kada je x=r

2.7.Matematički model termometra

Stakleni termometar napunjen tečnošću prikazan je naslici2.10. Promenu temperature

prostoru oko balona termometraprati toplotna promena zapremine tečnosti kao i promena
njenog nivoa u kapilari. Na taj način ulazna (merena veličina termometra je temperatura
okoline balona

T(t),

a izlazna veličina je visina stuba tečnosti u kapilari

h(t).

Pretpostavlja se

da je temperatura

T(t)

proizvoljno promenijlva veličina, ali jednaka u svim tačkama okoline u

svakom vremenskom trenutku.

Slika 2.10:

Stakleni termometar

Vezu između ulazno i izlazne promenljive moguće je odrediti polazeći od zakona o

održanju energije:

dovedena toplota

odvedena toplota = akumulirana toplota

Ako sepretpostavi da nema gubitaka (odvođenja) toplote, to znači da toplota koja se

dovodi tačnosti u balonu, iz oknline, uslovljava promenu njene zapremine. Promena
zapremine tečnosti proporcionalna je početnoj zapremini, gustini tečnosti, specifičnoj toploti
tečnosti i promeni temperature. Dovedena toplota je srazmerna razlici temperature okoline i
tečnosti, površini kroz koju se prenosi, ukupnom koeficijentu prolaza toplote u vremenu.
Matematički se to može napisati

što preuređivanjem postaje

(2.25)

gde su:

spoljašnja površina balona (površina kojom se prenosi toplota),

površina

poprečnog preseka kapilare,

temperaturni koeficijent širenja tečnosti,

specifična toplota

tečnosti,

visina stuba tečnosti u kapilari,

gustina tečnosti,

temperatura okoline balona,

temperatura tečnosti u balonu (za

0°

može se usvojiti

=0 ),

vreme,

ukupni

koeficijent prolaza toplote,

zapremina balona.

Modeliranje dinamičkih sistema

Prema jednačini (2.25) za jednostavan termometar toplotni bilans za balon daje

jednačinu:

(2.29)

kojoj treba dodati toplotni bilans zaštitnog plašta kroz koji se toplota prenosi na balon

izražen preko:

(2.30)

Slika 2.11:

Stakleni termometar sa zaštitom

Povezivanjem prethodnih jednačina i zamenom
dobija se matematički model ponašanja termometra sa zaštitom u obliku:

(2.31)

što je linearna diferencijalna jednačina drugog reda.

Modeliranje dinamičkih sistema

2.8.Matematički model U-manometra

Ponašanje U-manometra može se opisati na primeru sa slike 2.12. Statički posmatrano,

pri nekoj razlici pritisaka

1 -

uspostaviće se u manometru ravnoteža sila, pa će sili

prouzrokovanoj usled pritiska

držati ravnotežu težina stuba tecnosti

, i sila

prouzrokovana usled pritiska

Jednačina ravnoteže data je preko

(2.32)

a iz nje se dobija statički model ponašanja U-manometra u obliku

(2.33)

na osnovu koga se zaključuje da visina stuba

zavisi od razlike pritiska, gustine tečnosti i

ubrzanja zemljine teže. Model ništa ne govori o tome kako će se sistem ponašati pri
promenljivim pritiscima i kako će nivo pratiti te promene; do takvog se modela može doći
samo posmatranjem dinamičkog ponašanja sistema.

Pri dinamičkom posmatranju uzima se da u U-manometru deluju pritisci

koji su

vremenski promenljivi, pa je i visina stuba

vremenska funkcija

h(t

). Kada se formira

matematički model neophodno je uzeti u obzir i inerciju tečnosti, a zatim i njeno trenje o zid
cevi, pa se dinamički opis ravnoteže sila u U- manometru može opisati preko

(2.34)

Slika 2.12:

U-manometar

gde su:

težina stuba tečnosti

visine

inercija tečnosti

(proizvod mase i ubrzanja),

nutrašnje trenje tečnosti,

gustina tečnosti,

masa

prečnik unutrašnjeg poprečnog preseka cevi manometra,

ubrzanje

tečnosti

povrsma unutrasnjeg preseka cevi manometra.

Modeliranje dinamičkih sistema

Sređivanj relacije (2.34) dobija se konačan izraz za koji opisuje ponašanje U-manometra

u obliku

(2.35)

Može se pokazati da je statički model (2.33) poseban slučaj dinamičkog modela u nekom

trenutku

t = t

u kada je nastupilo stacionarno stanje. U tom slučaju važi

, pa su

onda relacija (2.35) dobija

oblik jednačine (2.33).

Modeliranje dinamičkih sistema

3. VRSTE MATEMATIČKIH MODELA

Matematički modeli, koji se formiraju za različite sisteme, mogu da poseduju različite

karakteristike koje zavise od osobina sistema kao i od metode koja je korišćena prilikom
formiranja modela.

Klasifikacija može biti izvršena na sledeći način:



Statički i dinamički modeli. Sistem koji se modelira može se nalaziti u stacionarnom

stanju ili prelaznom režimu. Pri stacionarnom stanju, ulazne i izlazne promenljive su
konstantne (ne menjaju se u vremenu), a u prelaznom režimu one su neke funkcije vremena.
Obično se stacionarno stanje opisuje algebarskim jednačinama. Modeli dobijeni na ovaj način
nazivaju se statički modeli. Prelazni režimi se opisuju diferencijalnim jednačinama tj.
dinamičkim modelima. Statički modeli su poseban slučaj dinamičkih i mogu se dobiti
izjednačavanjem svih izvoda u dinamičkim modelima, sa nulom. Kod pojedinih procesa ne
može se uspostaviti stacionarno stanje, tako da nije moguće formirati njegov statički model.



Jednodimenzioni i višedimenzioni modeli. Jednodimenzioni modeli objekta su sa

jednim ulazom i jednim izlazom, tj. kada su funkcije

u(t)

i ;y(t) skalarne veličine. Ako objekat

ima nekoliko ulaza i/ili izlaza, model je višedimenzioni (multivarij abilan).

Kontinualni i diskretni modeli. Matematički model koji se koristi za predstavljanje veza

između kontinualnih signala, naziva se

kontinualni matematički model.

Za opisivanje takvih

veza obično se koriste diferencijalne jednačine. Međutim, signali sakojima se srećemo u
praksi, najčešće se dobijaju u

diskretizovanom

obliku, što je rezultat merenja u diskretnim

trenucima vremena. Model, koji direktno opisuje veze između vrednosti signala u trenucima
odabiranja, naziva se

diskretni matematički model.

Za opisivanje takvih modela koriste se

mdiferencne jednačine. U nekim slučajevima dobro je uvesti diskretizaciju i izvršiti
prevođenje kontinualnih modela u diskretne, naročito kada upravljački signal generiše
digitalni regulator. Tada se kontinualni model predstavlja diskretnim, čiji parametri zavise od
periode diskretizacije

4. Linearni i nelinearni modeli. Veza između ulaza

u(t)

i izlaza

y(t)

objekata u

najopštijem obliku se može predstaviti kao nelinearna funkcija oblika

(3.1)

pri čemu je L neki operator modeliranja, čijim se izborom zadaje jedan ili drugi način
predstavljanja matematičkih modela objekta. Model je linearan, ako operator

zadovoljava

princip superpozicije (homogenost i aditivnost), tj. ako važi

(3.2)

gde je :

. U suprotnom šlučaju model je nelinearan.

Modeli, koji zadovoljavaju (3.2),.nazivaju se linearni u odnosu na ulaz. Takav je npr.

statički jednodimenzioni model oblika

(3.3)

dok je model

(3.4)

nelinearan, u odnosu na ulaz.

Paralelno s tim postoji i pojam linearan u odnosu na parametre modela. Takav je

model (3.4), dok je model

(3.5)

nelinearan, u odnosu na parametar

Modeliranje dinamičkih sistema

5. Stacionarni i nestacionarni modeli. Ako se svojstva objekta ne menjaju u vremenu, što

znači, da pri istom obliku ulaznog dejstva

u(t)

reakcija objekta

y(t)

je ista i ne zavisi od

trenutka vremena

u(t),

za njegovo opisivanje se može iskoristiti matematički model čiji su

parametri konstantni, tj. stacionarni matematički mođel. Pri relativno brzim promenama
karakteristika objekta koriste se nestacionarni modeli čiji se parametri menjaju u vremenu,

6. Parametarski i neparametarski modeli. Ako model predst.avlja matematičku zavisnost,

koja   povezuje   izlaz   i   ulaz   sistema,   i   sadrži   konačan   broj   parametara,   onda   se   zove
parametarski.   Ako   između   ulaza   i   izlaza   modeii   sađrže   i   neku   funkciju   (ekvivalentna
beskonačnom   broju   parametara),   koja   ima   odgovarajući   grafički   prikaz,   model   se   zove
neparametarski.   Između   parametarskih   i   neparametarskih   modela   ne   postoji   uzajamna
neparametarska veza. Prelaz od parametarskih na neparametarske modele je jednostavan, a
obrnut put je vezan za znatne poteškoće.

7. Modeli saraspodeljenim i skoncentrisanim parametrima. Za matematičko modeliranje

fizičkih pojava koriste se

parcijalne diferencijalne jednačine.

Modeh koji opisuju procese u

kojima se promene dešavaju i u vremenu i u prostoru, ili ukoliko se navedene promene
odvijaju samo u prostoru večih dimenzija, nazivaju se

modeli sa raspodeljenim

parametrima.

Sa druge strane, ukoliko se za opisivanje događaja koristi konačan broj

promenljivih veličina, onda govorimo o

modelima sa skoncentrisanim parametrima.

opisivanje ovih modela koriste se

obične diferencijalne jednačine.

8. Modeli promenljivo orjentisanih i diskretno upravljanih događaja (

state event models

discrete event models

). Sistemi kod kojih se promenljive mogu u određenim vremenskim

intervalima menjati kontinualno ili vremenski diskretno, a da se pritom u nekim trenucima,
zavisno od određenih uslova, naglo menjaju, opisuju se

state event

modelima odnosno

discerete event

modelima. Ovakvi modeli poznati su pod nazivom

promenljivo orjentisani

matematički modeli.

Interakcija između kontinualnih i diskretnih modela realizovana je

pomoću događaja stanja i vremenskog događaja.

Događaj stanja

je takav događaj koji se javlja u kontinualnom sistemu, kada kontinualna

promenljiva dostigne neku unapred određenu vređnost i izaziva diskontinualnu promenu
nekih drugih promenljivih sistema. Događaj stanja, može aktivirati prekidač u kontinualnom
mođelu ili okidač nekog vremenskog mehanizma u diskretnom modelu.

Vremenske događaje

generišu vremenski procesi unutar modela diskretnog događaja.

Oni mogu aktivirati prekidač ili izazvati neko drugo delovanje unutar kontinualnog modela.

Na primer, sistemi sa logičkim upravljanjem se mogu modelirati

state event

modelima, a

takođe i procesi čekanja koji imaju i neke slučajne promenljive. To može biti prestanak rada
neke mašine, ispražnjenost magacina prihvatnog registra i siičnp, Pored toga ovim modelima
se mogu modelirati i ostali sistemi kod kojih pored kontinualnih ili vremenski diskretnih
promena može doći i do naglih promena pojedinih promenljivih.

9. Deterministički i stohastički matematički modeli. Ako postoji tačna veza između

merljivih i nemerljivih promenljivih i ukoliko model ne ispoljava svoju neodređenost, tada se
za opisivanje može koristiti

deterministički matematički model.

Model je

stohastički

ako se

tokom njegovog formiranja koriste pojmovi neodređenosti i verovatnoće. Stohastički
matematički model sastoji se od kvantiteta za čije se opisivanje koriste stohastičke
promenljive ili stohastički procesi.

Modeliranje dinamičkih sistema

3.1.Statički matematički modeli

Statičkim matematičkim modelima se opisuju sistemi kod kojih se veze između

promenljivih mogu opisati algebarskim jednačinama. Tu spadaju i matematički modeli kojima
se predstavljaju stacionarna stanja dinamičkih sistema.

Razmotrimo objekat sa

ulaza i

izlaza (slika 3.1).

Slika 3.1:

Blok dijagram objekta koji se modelira

Veza između ulaza i izlaza objekta u stacionarnom stanju može se predstaviti pomoću

algebarske jednačine oblika

(3.6)

gde su:

vektor ulaznih promenljivih,

vektor

izlaznih promenljivih, vektorska funkcija ulaza,

vektor spoljašnjih

poremećaja doveden na izlaz.

Modeliranje dinamičkih sistema

Tada se zavisnost (3.10) može zapisati u obliku

(3.11)

čijom se zamenom u (3.8) dobija izraz koji opisuje izlaznu veličinu u obliku

(3.12)

Relacija (3.12) predstavlja nelinearan, u opštem slučaju, po promenijivim u

, statički

model objekta, a koji je linearan u odnosu na parametre.

3.2.Dinamički matematički modeli

3.2.1.Kontinualni linearni modeli

Parametarski modeli tipa "ulaz-izlaz".

Za objekat

jednim ulazom

u(t)

i jednim

izlazom

y(t)

osnovni parametarski model predstavljen je, u opštem slučaju, diferencijalnom

jednačinom oblika

(3.13)

pri čemu za svaki fizički ostvarljiv sistem važi da je

m<n,

Kod stacionarnih objekata parametri

, b

su konstantni, a kod nestacionarnih se menjaju u vremenu. Pri delovanju spoljašnjeg

poremećaja

v(t),

na desnoj strani jednačine (3.13) dodaju se članovi koji sadrže poremećaj i

njegove izvode.

Ukoliko se radi o multivarijabilnom sistemu onda se matematički model opisuje

sistemom diferencijalnih jednačina oblika (3.13), gde su skalarne funkcije

(t)

zamenjuju

vektorima, a skalarni parametri

i b

se zamenjuju matricama pa se model predstavlja u

matričnoj formi. Onda je matrična diferencijalna jednačina koja opisuje multivarijabilni
objekat oblika

(3.14)

gde su A, i B, matrice dimenzija

rxr i rxp

respektivno, ay i u su r - dimenzioni i

dimenzioni

vektori, respektivno.

Za opisivanje objekta sa transportnim kašnjenjem mogu se primeniti diferencijalne

jednačine sa elementom kašnjenja oblika

(3.15)

gde je x čisto transportno kašnjenje.

Predstavljanje modela objekta u obliku diferencijalnih jednačina pogodno je za njihovu

simulaciju. Na osnovu rezultata digitalne simulacije moguće je vršiti istraživanja ili analize
ponašanja objekata pri delovanju različitih spoljašnih poremećaja.

Inženjerski metodi analize i sinteze sistema automatskog upravljanja vezani su za veći

stepen primene funkcija prenosa. Između diferencijalnih jednačina i funkcija prenosa postoji

jednoznačna uzajamna veza. Uvođenjem operatora diferenciranja

, jednačina (3.13) se

može zapisati u obliku

(3.16)

odakle se dobija

(3.17)

Modeliranje dinamičkih sistema

Funkcija

(3.18)

naziva se

funkcija prenosa objekta.

Stepen polinoma u imeniocu određuje red objekta.

Ako seobjekat opisuje diferencijulnom jadnačinom sa argumentom kašnjenja oblika

(3.16), funkcija prenosa je oblika

(3.19)

Zamultivarijabilni objekat čija je diferencjjalna jednačina data sa (3.14), uvođenje

operatora

dovodi do sledećeg izraza

Tada se funkcija prenosa predstavlja u obliku matrica dimenzjja r x

(3.20)

gde su:

Matrica A

-1

(p) može se zapisati u obliku

gde je S(p)=adj A(p) čiji stepen nije veći od

r(n-1),

a g(p) je skalarni polinom stepena ne

većeg od

rn.

Kao rezultat, dobija se izlaz objekta u obliku operatorskog modela, izražen preko

funkcije prenosa

(3.21)

gde je matrica SB(p) proizvod S(p)B(p). Za svaki izlaz objekta može se zapisati

(3.22)

gde je SB

(p) polinom stepena ne većeg od stepena polinoma g(p). Ako se u funkciji prenosa

(3.21) skrate zajednički faktori imenioca i brojioca za svaki red zasebno, operatorski model se
može predstaviti preko funkcije prenosa sa istim imeniocem za svaki izlaz pa se za

- ti izlaz

objekta može napisati

(3.23)

Ako se u funkciji prenosa skrate zajednički faktori zasebno za svaki elemenat dobija se

operatorski model oblika

gde je

funkcija prenosa između j-tog izlaza i i-tog ulaza objekta.

Modeliranje dinamičkih sistema

Primer 3.2.

Objekat sa dva ulaza i dva izlaza prikazan je na slici 3.3.

Slika 3.3:

Objekat sa dva ulaza i dva izlaza

Na osnovu ove strukturne blok šeme može se formirati model objekta,oblika

Model sa zajedničkim imeniocem za svaki izlaz, je oblika

A model sa zajedničkim imeniocem je

Modeliranje dinamičkih sistema

Neparametarski modeli tipa ''ulaz-izlaz''.

Ovi modeli opisuju karakteristike objekta

posredstvom tablica, grafika ili određenih funkcija. U praksi se najčešće koriste odskočni,
impulsni i frekvencijski odziv kao i frekvencijske karakteristike.Odskočni odziv j(t)
predstavlja odziv stacionarnog objekta sa jednim ulazom i jednim izlazom kada na ulaz deluje
jednačina odskočna pobuda pri nultim početnim uslovima (slika 3.4)

Slika 3.4:

Odskočni ulaz i odskočni odziv

Takav signal na ulaz objekta se za praksu sa dovoljnom tačnošću, može dobiti

uključivanjem ili isključivanjem napona, otvaranjem ili zatvaranjem ventila itd. Na osnovu
odskočnog odziva može ee odrediti konstanta

čisto transportno kašnjenje x , dominantna

vremenska konstanta

koeficijent prigušenja

itd.

Modeliranje dinamičkih sistema

Odskočni i impulsni odziv su međusobno vezani preko integrala, odnosno izvoda

(3.25)

(3.26)

Za svaki realni fizički objekat važi

j(t)

≡

i w(t)

≡

za t <

0. To je zbog toga sto odziv ne

može da prethodi delovanju ulaznog signala

t) (za kauzalne sisteme).

Poznavanje impulsnog odziva objekta daje mogućnost izračunavanja njegovog odziva pri

delovanju proizvoljnih ulaznih signala. U tom slučaju izlaz se nalazi na osnovu integralnog
modela u obliku konvolucionog integrala.

(3.27)

Između neparametarskog modelaj(t) i

w(t)

i parametarskog modela

W(p)

postoji

jednoznačna veza data preko

Laplaceove

transformacije

(3.28)

(3.29)

Primer 3.4.

Diferencijalna jednačina objekta data je u obliku

Na osnovu ove diferencij alne jeđnačine na osnovu (3.18) nalazi se funkcija prenosa

oblika

(3.30)

Primenom inverzne

Laplaceoue

transformacye

W(p),

dobijamo impulsni odziv objekta

a na osnovu (3.25) ili (3.29) nalazi se odskočni odziv

Grafički prikazi odziva

w(t)

j(t)

dati su na slici (3.7) a i b.

Modeliranje dinamičkih sistema

Slika 3.7:

Impulsni I odskočni odziv

Odskočni i impulsni odziv mogu se uopštiti za multivarijabilne objekte. Za objekat sa

ulaza i r izlaza predstavljen matricama W(t) i J

(t)

dimenzija (r x

p),

sa elementima

(t)

ili

(t)

koji predstavljaju reakciju

- tog izlaza, ako pri nultim početnim uslovima na

j -

tom ulazu

deluju signali oblika

ili step funkcije, respektivno.

Ako je objekat po prirodi nestacionaran, njegov odziv neće biti invarijantan u odnosu na

trenutak delovanja ulaznog signala. U tom slučaju impulsni (odskočni) odziv u trenutku

zavisiće od trenutka delovanja ulaznog dejstva, što se zapisuje u obliku:

w(t,

0) i

j(t,0) ,

gde je

trenutak delovanja ulaznog dejstva. Uz uslove fizičke realizacije sledi da je

w(t,0)

≡

0 i

j(t,0)

≡

0, pri

t< 0.

Odziv objekta pri delovanju proizvoljnih signala na ulaz datje sa

(3.31)

Laplaceovom

transformacijom impulsnog odziva dobija se prelazna funkcija (vremenski

odziv) nestacionarnog objekta

tj. funkcija prenosa nestacionarnog objekta u funkciji parametra 0.
Kako su impulsni i odskočni odziv karakteristike objekta kao njegove reakcije u vremenu

(odakle potiču nazivi vremenske karakteristike), tada za predstavljanje objekta, pri
harmonijskim ulaznim signalima različitih frekvencija, koriste se frekvencijske karakteristike.

Frekvencijska karakteristika

W(jw)

predstavlja

Fourierovu

transformaciju impulsnog

odziva

w(t)

linearnog stacionarnog objekta, a može se dobiti formalno iz funkcije prenosa

stavljanjem

p=jw

(3.32)

Frekvencijska karakteristika je kompleksna funkcija koja se može predstaviti preko

realnog i imaginarnog dela, ili preko modula i argumenta u obliku

U praksi se često koristi moduo A(w), nazvan amplitudno- frekvencijskja karakteristika

(AFK) i argument

(w) nazvan fazno - frekvencijska karakteristika (FFK), što ima sledeći

smisao. Ako je ulazni signal

tada je izlaz linearnog objekta u stacionarnom stanju

tj. frekvencije oba signala su jednake, a razlika postoji u fazi, tada važi

Modeliranje dinamičkih sistema

Primer 3.6.

Objekat koji treba mođelirati je reaktor za mešanje kao na slici 3.9, u koji se dovode dve tečnosti

protoka

(t)

i Q

(t)

Slika 3.9:

Hemijski reactor

Kroz otvor prve cevi dovodi se materijal A sa konstantnom koncentracijom

a kroz drugu cev

dovodi se materijal B sa konstantnom koncentracijom

U reaktoru se odvija hemijski proces prema

sledećoj stehiometrijskoj jednačini

gde je

brzinska konstanta reakcije. Brzina hemijske reakcije određena je sa

gde su

zapremina tečnosti u cevi, a

i C

su trenutne koncentracije materijala A i B.

U iziaznom protoku

Q(t)

postoje tri materijala sa koneentracijama

(t), C

(t)

(t).

Pretpostavlja se da se u reaktoru ostvaruje idealno mešanje, tako da su koncentracije materijala na
izlazu jednake koncentracijama materijala u reaktoru.

Za dobijanje matematičkog modela reaktora treba iskoristiti osnovnu jednačinu materijalnog

bilansa.

[brzina promene zapremine]=[dotok]-[otok].

Kada tu relaciju napišemo u odnosu na promenu zapremine tečnosti, dobija se:

Jednačina materijalnog bilansa za svaki materijal A, B i C date su respektivno:

(3.36)

Zavisnost brzine promene zapremine Q(t) od visine nivoa tečnosti u reaktoru je

(3.37)

Gde je

konstanta.

Modeliranje dinamičkih sistema

Pri konstantnom poprečnom preseku reaktora S, zavisnost postaje

(3.38)

Sa gledišta upravljanja reaktora prirodno je za upravljačka dejstva izabrati protoke

(tako da

predstavljaju upravljanje), a kao izlaznu veličinu

izabrati izlazni protok Q(t) i koncentraciju

. Za promenljive stanja mogu se izabrati

zapremina V i koncentracije

. Vidi se, da je model, u odnosu na tako

određene promenljive stanja, nelinearan.

Pri konstantnom protoku

reaktor je u ravnotežnom stanju, koje se

karakteriše nepromenljivošću promenljivih prisutnih u relaciji (3.38). U tom slučaju
ravnotežno stanje (radna tačka) reaktora se određuje iz sledećeg sistema algebarskih
jednačina, koje predstavljaju statički model objekta

(3.39)

Pri zadatim

, jednačine (3.39) se mogu rešiti. Npr. ako je radna tačka zadata

protocima

i odgovarajući koncentracijama

i neka su

. Onda

se iz jednačine (3.39) nalaze

Modeliranje dinamičkih sistema

3.2.2.Diskretni modeli

Često se dinamika objekta karakteriše kontinualnom promenom po vremenu i

odgovarajućim matematičkim kontinualnim dinamičkim modelom, a ređi je slučaj objekata
koji se opisuju diskretnim modelima, tj. objekata čije se ponašanje opisuje vrednostima koje
se menjaju u diskretnim vremenskim trenucima. Obično pri sintezi digitalnih regulatora, a
takođe i pri identifikaciji objekta zbog pojednostavljenja izračunavanja, koriste se metode
bazirane na diskretnim modelima. Zbog toga je neophodno formiranje diskretnog modela
kontinualnog objekta upravljanja.

Parametarski modeli tipa "ulaz-izlaz".

Diskretni model objekta se može predstaviti

diferencnom jednačinom

-tog reda oblika

pri čemu je neophodno da bude ispunjen uslov fizičke ostvarljivosti

m < n.

Na dalje će se u

izrazima za diferencne jednačine oznaka za periodu diskretizacije

izostavljati.

Češće se diferencni model zapisuje u obliku

(3.41)

pri čemu, neki od koeficijenata mogu biti jednaki nuli. Jednačina (3.41) predstavlja
rekurzivnu relaciju za izračunavanje izlaza i često se naziva rekurzivni model.

Uopštenje za multivarijabilne objekte zahteva predstavljanje

y(k

) i

u(k)

u obliku vektora,

a koeficijenata jednačine u obliku matrica.

Ako se uvede operator predikcije

kao:

i operator kašnjenja

iz (3.40) dobija se sledeća operatorska jednačina

(3.42)

Funkcija

se naziva diskretna funkcija prenosa objekta, zadata preko

operatora predikcije. Ako se ikoristi jednačina (3.41), onda je operatorska jednačina oblika

(3.43)

pa će diskretna funkcija prenosa

biti zadata preko operatora kašnjenja.

Između pomenutih funkcija prenosa postoji sledeća veza

Za multivarijabilne objekte operatorska jednačina je oblika

gde su A(q) i B(q) polinomne matrice stepena

i dimenzija (rxr) i (rxp), respektivno.

Matrica dimenzija r x p

predstavlja diskretnu funkciju prenosa multivarijabilnog objekta.

Modeliranje dinamičkih sistema

Neparametarski modeli tipa "ulaz-izlaz".

Osnovni neparametarski modeli su impulsni

i odskočni odziv. Impulsni odziv

w(k)

se definiše kao reakcija objekta pri nultim početnim

uslovima, kada se na ulaz dovede diskretni jedinični impuls (slika 3.10)

Odskočni odziv

j(k)

predstavlja reakciju objekta, ako se pri nultim početnim uslovima na

ulaz dovede jedinična povorka impulsa (slika 3.11).

Slika 3.10: Impulsni ulaz i impulsni odziv Slika 3.11: Odskočni ulaz i odskočni odziv

Impulsni i odskočni odzivi su vezani međusobno preko sledećih relacija

Ako je poznat impulsni odziv

w(k),

onda je reakcija objekta, pri bilo kom proizvoljnom

ulaznom signalu, data diskretnom analogijom konvolucionog integrala

(3.44)

Za stabilne objekte važi

(i)—>0, kada i—> ∞, što znači da beskonačnu sumu oblika

(3.44) možemo da zamenimo konačnom

(3.45)

gde je

b =w(i).

Model (3.45) je regresivnog tipa i poznat je kao nerekurzivan model.

Odskočni i impulsni odziv sa funkcijom prenosa su vezani preko

- transformacije

(3.46)

(3.47)

Argument funkcije prenosa je kompleksna promenljiva

umesto operatora

Modeliranje dinamičkih sistema

Ako se operator predikcije

uvede u (3.49), dobija se

odakle se za y(

) iz (3.50) dobija operatorska jednačina

(3.51)

Izraz u uglastoj zagradi iz (3.51) naziva se diskretna funkcija prenosa objekta data sa

(3.52)

Kao i kod kontinualnih modela mogući su različiti načini predstavljanja matrice

funkcija prenosa za multivarijabilne objekte.

3.2.3.Nelinearni modeli

Nelinearni modeli u prostoru stanja

. Linearnost objekta u odnosu na promenljive, pri

funkcionisanju je vezana samo za uske intervale promene promenljivih. Osnovno pri
razmatranju niza procesa je da su linearni, u odnosu na promenljive koje ih karakterišu, ako je
njihova promena u okolini radne tačke neznatna. Kako su nelinearnosti, vezane za proces,
glatke, razvojem u

Taylorov

red u okolini radne tačke, moguće je pri formiranju modela uzeti

u obzir samo prve članove reda.

Retko je funkcionisanje objekta vezano sa promenama veličina procesa u širokom

opsegu. To najčešće važi za periodične tehnološke procese i režime puštanja kontinualnih
procesa. U tim slučajevima korišćenje linearnih modela nije moguće jer neadekvatno opisuju
istraživane procese. Dobijanje matematickih opisa ili zapisa zadovoljavajuće tačnosti postiže
se nelinearnim dinamičkim modelima.

Obično nelinearni matematički modeli se sastavljaju na bazi apriorne informacije o

fizičkim zakonitostima koje određuju funkcionisanje objekta i sastoje se iz nelinearnih
algebarskih i diferencijalnih jednačina.

U opštem slučaju nelinearni objekat, se može opisati korišćenjem standardne forme

modela u prostoru stanja

(3.53)
(3.54)

gde su

x -

- dimenzioni vektor stanja objekta,

u -

- dimenzioni vektor upravljanja

objekta,

- dimenzioni vektor izlaznih promenljivih,

- dimenzioni vektor poremećaja,

dimenzioni vektor parametara objekta, koji mogu biti nepoznati, a

su poznate

vektorske funkcije, koje se određuju na osnovu fizičkih zakonitosti procesa u objektu.

Modeliranje dinamičkih sistema

Primer 3.8.

Za hemijski reaktor sa slike 3.8, uvedimo oznake

Sređivanjem jednačine (3.38), i uvođenjem prethodnih oznaka dobija se sledeći system
jednačina oblika (3.53) i (3.54)

(3.55)

(3.56)

Modeli tipa "ulaz-izlaz"

. Najopštija forma modela koja povezuje ulazne sa izlaznim

signalom objekta može se predstaviti pomoću

Volterrovog

funkcionalnog reda

(3.57)

Gde je w

konstanta koja ne zavisi od ulaznog signala, a

(3.58)

predstavlja

Volterrov

operator

- tog reda, kod koga su

težinske funkcije

tog reda, koje zadovaljavaju sledeće uslove fizičke ostvarljivosti

Kao pravilo, dovoljno dobra konvergencija,pri glatkim nelinearnostima, dobija se

pomoću prvih nekoliko članova reda (3.57). Najčešće se razvo ograničava do trećeg člana
(dvostruki integral).

Diskretna analogija razvoja (3.57) je

(3.59)

gde je

Kontinualni (3.57) i diskretni (3.59) modeli su neparametarski pa je osnovna poteškoća

pri njihovom korišćenju određivanje broja članova reda

i oblikaa težinskih funkcija.

Izvesno uprošćenje modela se dobija, ako se nelinearni objekat predstavi kao kombinacija

linearnih dinamičkih i nelinearnih bezinercijalnih elemenata. Najčešće korišćeni tipovi
funkcionalnih modela, odgovaraju strukturama sa slike 3.12 a i b

Modeliranje dinamičkih sistema

Druga strukturna blok šema (slika 3.12b), kod koje se LDE nalazi ispred NBE opisuje se

Vinerovim

modelom, čija je neparametarska forma

(3.66)

Modeliranje dinamičkih sistema

Klasa nelinearnih modela može se odnositi i na parametarski zavisne objekte. Kod takvih

objekata dinamika se menja u zavisnosti od neke promenljive, bitne za funkcionisanje
objekta. Takve promenijive mogu biti: ulazni signali, izlazni signali, dodatni signali (npr.
poremećaji). Označimo te promenljive

- dimenzionim vektorom

i pretpostavićemo da je on

merljiv. U praksi se često sreću ovakvi objekti. Npr. dinamika grejača pare zavisi od njegovog
opterećenja, promena koncentracije reagensa u hemijskom reaktoru

žavisi od koncentracije

katalizatora itemperature reaktora, zatim procesi vulkanizacije kaučukove smešezavise od
njenog sastava itd.

Za ispoljavanje uticaja vektora na dinamiku objekta, može se iskoristiti linearni model,

čiji su koeficijenti funkcije od

Onda je funkcija prenosa takvog objekta oblika

(3.69)

Diferencni model se može zapisati u obliku

(3.70)

Ako se pretpostavi kontinualna zavisnost parametarskog modela (3.69) i (3.70) od

vrednosti vektora , funkcije

se mogu razviti u stepeni red

(3.71)

(3.72)

koji pri dovoljno glatkim karakteristikama mogu biti ograničeni do članova drugog reda.

U cilju uprošćavanja, zavisnosti (3.71) i (3.72) mogu se predstaviti u obliku

(3.73)

(3.74)

gde su

poznate vektorske funkcije. Zamenom (3.73) i (3.74) u (3.70) dolazi se do

uopšteg modela sa konstantnim parametrima

(3.75)

Razlika između modela (3.70) i (3.75) je u tome što je prvi linearan u odnosu na

promenljive, a nelinearan u odnosu na parametre, dok je drugi nelinearan u odnosu na
promenljive, a linearan u odnosu na parametre.

Modeliranje dinamičkih sistema

3.4.Modeli sa skoncentrisanim parametrima

Modeli sa skoncentriaanim parametrima opisuju se pomoću

običnih diferencijalnih

jednačina

(ODJ) ili pomoću

implicitnih diferencijalnih jednačina

(IDJ).

Obične diferencijalne jednačine su formulisane kao eksplicitne diferencijalne
jednačine. Izvodi se nalaze na levoj strani jednakosti

(3.77)

Dakle, vrednost

x(t)

može se izračunati eksplicitno za svaku vrednost

Implicitne diferencijalne jednačine (IDJ) su oblika

(3.78)

ili oblika singularnih diferencijalnih jednačina

(3.79)

gde je E singulama matrica. Singularnost matrice E onemogućava izračunavanje inverzne
matrice E

-1

, pa se zbog toga (3.79) ne može svesti na oblik obične diferencijalne jednačine.

Takođe, prisustvo algebarskih jednačina u promenljivama, čiji su izvodi definisani u
eksplicitnoj diferencijalnoj jednačini, čini te jednačine implicitnim diferencijalnim
jednačinama.

Obične diferencijalne jednačine mogu se adekvatno rešiti pomoću numeričkih

integracionih metoda. Pri rešavanju implicitnih diferencijalnih jednačina javljaju se numerički
problemi. Rešenje se može dobiti ako uspemo da IDJ transformišemo u ODJ. To se može
postići diferenciranjem algebarskih ograničenja. Ako je model još uvek opisan sa IDJ, moraju
se primeniti druge metode, npr. implicitne numeričke integracione metode kao što je

Gearov

metod.

Modeliranje dinamičkih sistema

3.5.Modeli događaja stanja (

State-event models)

Modeli događaja stanja su kontinualni modeli kod kojih mogu da se pri određenim

uslovima dogode nagle promenepojedinih promenljivih. U nekim trenucima, kada određene
promenljive pređu definisanu vrednost, izvršava se diskretna radnja. Na primer, mnogi gasni
uređaji za centralno grejanje opremljeni su gasnim ventilom koji može biti ili otvoren iii
zatvoren   (nema   srednje   vrednosti).   Ako   sobni   termostat   kontroliše   uređaj,   uređaj   će   biti
uključen ako temperatura padne ispod neke vrednosti i isključen ako merena temperatura
postane   viša   od   drugog,   višeg,   graničnog   nivoa.   Rad   prekidača   u   potpunosti   je   određen
temperaturom sobe i sobnim termostatom. Ne postoji sinhronizacija vremena uključenja sa
nekim drugim procesom. Uključivanje uređaja centralnog grejanja događa se nekohko puta na
sat.   Drugi   primer   je   vezan   za   modeliranje   tiristorskih   pretvarača.   Poluprovodničke
komponente se mogu delimično kontrolisati. Tiristor prestaje da vodi ako struja ili napon
padnu ispod neke granične vrednosti. Uključivanje i isključivanje su veoma česti.

Usled ovakvih događaja, pri simulaciji, za vreme procedure numeričke integracije,

promenljive se izračunavaju u određenom broju vremenskih trenutaka. Vremenski period se
zove integracioni interval ili korak integracije. Može se javiti problem ako se vremena
isključenja i uključenja uređaja centralnog grejanja ili tiristora ne poklapaju sa ovim
vremenskim trenucima numeričke procedure. Za vreme veoma dugih perioda uključivanja
uređaja centralnog grejanja (2 do 10 minuta) u poređenju sa intervalom integracije od, npr.
jedne sekunde, pravi se prihvatljiva greška poklapanjem vremena uključenja sa narednim
korakom integracije, kao što je prikazano na slici 3.13 (vreme uključenja je prilagođeno
koraku integracije).

Slika 3.13:

Sinhronizacija procesa I koraka integracije

Ovakvo prilagođavanje vremena ukijučenja nije dozvoljeno u slučaju tiristorskih

pretvarača. Koraci integracije moraju se prilagoditi vremenu uključenja da bi se obezbediia
tačnost. Vreme uključenja se određuje uz pomoć dodatnih izračunavanja. Ako odredimo
vreme, korak integracije je prilagođen, dakie, vremena se poklapaju, Integracija se kasnije
nastavlja.

Sinhronizacija procesa sa integracionom procedurom izvršava se automatski.

Sinhronizacija integracione procedure sa procesom zahteva dodatne napore. Simulacioni
programi za opštu upotrebu i simulacioni jezici ne uzimaju u obzir poslednji tip sinhronizacije
i da bi se to ostvarilo treba obratiti posebnu pažnju.

Modeliranje dinamičkih sistema

4. MATEMATIČKO MODELIRANJE POREMEĆAJA

Matematički model, koji opisuje odgovarajući fizički proces, formira se u obliku

određenog matematičkog izraza koji povezuje eksperimentalne činjenice i uspostavlja
zavisnost između parametara razmatranog procesa. Pri tome se koriste teorijski metodi i
potrebni eksperimentalni podaci. Krajnji cilj razrade matematičkog modela jeste predviđanje
načina ponašanja procesa i proučavanje mogućnosti uticaja na njegovo ponašanje. Najčešće se
formiranje matematičkih modela svodi na formiranje odgovarajućih diferencijalnih odnosno
diferencnih jednačina. Dakle, matematički modeli dinamičkih procesa, sastoje se od skupa
diferencijalnih i/ili diferencnih jednačina. Spoljašnje uticaje na sistem, takođe treba modelirati
radi lakšeg izučavanja i simulacije njihovih uticaja na sistem.

Matematički model dinamičkog sistema sastavljen je od niza različitih kvantitativnih

veličina međusobno povezanih, najčešće, kao, što je pomenuto, diferencijalnim i/ili
diferencnim jednačinama. Kvantitativne veličine koje se u modelu ne menjaju u finkciji
vremena zvaćemo

konstante.

Sa druge strane, kvantitativne veličine koji se menjaju u funkciji

vremena, zvaćemo

promenljive

ili

signali.

Na ovaj način, definisani su izlazni kao i spoljašnji

signali matematičkog modela. Ostale promenljive koje se susreću u matematičkim modelima
zvaćemo

unutrašnje promenljive.

Dakle, veličine sistema, možemo podeliti na:



Konstante:

Veličine modela koje se ne menjaju u vremenu.



Parametri sistema:

Veličine koje se određuju na osnovu prirode sistema.



Parametri projektovanja:

Veličine sistema na koje se može uticati da bi sistem dobio

željene dinamičke osobine.



Promenljive

ili

signali:

Veličine modela koje se menjaju u funkciji vremena.



Izlazi:

Promenljive čije je ponašanje od primarnog značaja za projektanta.



Spoljašnji signali:

Promenljive koje utiče na ponašanje sistema

a koje ne zavisi od

ponašanja drugih promenijivih sistema.



Ulazi:

Spoljašnji signali sistema čije se vremenske zavisnosti mogu birati.



Signali poremećaja:

Neželjeni spoljašnji signali sistema, na koje se ne može uticati.



Unutrašnje promenljive:

Ostale promenljive sistema čije ponašanje nije direktno

vezano za cilj formiranja modela.

Ako se matematičko modeliranje i simulacija koriste za formiranje matematičkih modela

tada se kvantitativne veličine matematičkog modela dinamičkog sistema mogu podeliti na:
parametre sistema i parametre projektovanja.

Parametre sistema

daje sam sistem i ne može ih

birati konstruktor dok se

parametri projektovanja

biraju tako da bi se omogućila

sistemu/modelu   željena   svojstva.   Zadatak   simulacije   veoma   često   se   svodi   na   izbor
odgovarajućih vrednosti parametara projektovanja i/ili proveru efekata njihovog izbora. Tako
na primer  ako  se želi  da se izvrši simulacija  ranije  razmatranog  modela  rezervoara,  radi
ispitivanja   zavisnosti   izlaznog   protoka   od   površine   kroz   koju   ističe   tečnost,   površina

predstavlja parametar koji se odredjuje projektovanjem, dok su

parametri sistema.

Matematički model kao i dinamički sistem, sastavijen je od velikog broja promenljivih

i/ili signala, čija su ponašanja od primarnog interesa za istraživača. Takve signale, koji su na
neki način određeni ciljem modeliranja, zvaćemo

izlazni signali

, a označićemo ih sa

(t),y

(t),...,y

(t).

Najčešće, izlaz sistema nije unapred definisan što omogućava projektantu da izabere

promenljivu koja će ga predstavljati. Tako, na primer, u slučaju ranije razmatranog modela
ekološkog sistema za izlazne veličine se mogu izabrati promenljive

(t)=N

(t)

(uzorci vrste 1)

(t)=N

(t)

(uzorci vrste 2).

Modeliranje dinamičkih sistema

Svi izlazi se mogu predstaviti u vektorskoj formi

U sistemima (modelima), obično se susrećemo saveličinama odnosno signalima koji

deluju na promenljive sistema. Tako, na primer, ulazni protok

nekog hidrauličkog sistema

predstavlja jedan takav signal. On utiče, kako na visinu nivoa tečnosti u rezervoaru, tako i na
izlazni protok, ali sam ne zavisi od vrednosti ovih promenljivih. Takve signale ćemo zvati

spoljašnji signali.

Ove signale je veoma lako uočiti na strukturnom blok dijagramu sistema,

jer predstavljaju slobodne strelice koje ukazuju na jedan ili nekoliko blokova.

Spoljašnji signali se mogu podeliti u dve grupe:
1)

ulazni

ili

upravljački signali

- signali koji utiču na ponašanje sistema, koji su vrlo često

unapred poznati i na koje se može delovati. Ove signale označićemo sa u

(t),

(t)

... ,

(t)

ili

u vektorskom obliku

signali poremećaja

- spoijašnji signali na koje nije moguće uticati ili koje nije

moguće birati, pri delovanju na sistem. Za označavanje ovih signala koristićemo

(t),

... ,

(t)

ili u vektorskoj formi

Tako, na primer, kod ranije razmatranog hidrauličkog sistema, ako površinu otvora

kroz

koju ističe tečnost možemo menjati, tada će sistem imati dva spoljašnja signala,

u(t)

a(t).

liće ovi spoljašnji signali biti signali poremećaja ili ulazni signali zavisi od namene modela.
Ulazni protok

u(t)

može biti promenljiva na koju se ne može uticati, dok se na promenljivu

a(t)

može uticati tj. vršiti njena promena radi postizanja određenih ciljeva. Neka je, na primer,

dat rezervoar sa vodom, gde je

u(t)

količina padavina kine, a

a(t)

predstavlja sistem zaštite od

poplave. U tom slučaju

u(t)

predstavlja signal poremećaja, a

a(t)

je ulazni signal. Sa druge

strane, ako ulazni protok

u(t)

možemo da kontrolišemo tada on predstavlja ulazni signal.

Poslednji primer ukazuje da prisustvo spoljašnjih signala i njihova podela na ulazne

signale i signale poremećaja nije neđvosmisleno određena. Umesto toga projektant odlučuje o
tome šta može da se menja ili da bude promenjeno.

Korišćenjem oznaka

u, w

sistem možemo prikazati u obliku elementarnog strukturnog

blok dijagrama kao na slici 4.1.

Slika 4.1:

Elementarni strukturni blok dijagram sistema

Modeliranje dinamičkih sistema

Ovde se mogu uočiti razlike između ulaznog signala u(t) i signala poremećaja w(t), ali

kao što je već naglašeno ove razlike nisu bitne prilikom formiranja modela. Međutim,
problem se javlja prilikom korišćenja modela. Da bi bilo moguće odrediti kako se izlaz

y(t)

stvarno ponaša u praksi, neophodno je poznavati tipične osobine (svojstava) signala
poremećaja w(t). Ponekad, karakterizacija ovog signala predstavlja problem. To dovodi do
problema kako opisati w(t) na pogodan način. Ovom problemu će biti nešto više pažnje
posvećeno u narednim odeljcima.

4.1.2.Poznati izvori poremećaja: nemerljivi signali poremećaja

Postoji niz problema prilikom formiranja modela signala poremećaja čak i u slučaju kada

znamo poreklo (izvor) tih signala, tj. kada je nemoguće izvršiti njihovo odvojeno merenje.
Signale poremećaja možemo uočiti samo na osnovu njihovog uticaja na druge merljive
promenljive. Dakle, mi samo posedujemo indirektnu informaciju o karakteristikama signala
poremećaja. U principu, w(t) možemo izračunati obrnutim postupkom na osnovu poznavanja
izlaza y(t) i ulaza u(t). Dakle, dolazi se do zaključka da je modeliranje w(t) povezano sa
formiranjem matematičkog modela.

Razmatrimo primer jednog aviona. Kretanje aviona u potpunosti je određeno snagom

motora, gravitacijom kao i silama vazdušnih uticaja. Te sile delimično zavise od pokreta krme
i krila aviona, a delom i od varijacija vazdušnog stujanja. Za ulaze se mogu uzeti uglovi
kretanja krme i krila aviona. U tom slučaju brzina i orijentacija aviona predstavijaće
promenljive stanja (unutrašnje promenljive). Konačno, varijacije vazdušnog strujanja
predstavljaće signale poremećaja.

Prilikom formiranja matematičkog modela aviona, treba uzeti u obzir kako ulazne tako

i signale poremećaja. U ovom slučaju fizičko poreklo signala poremećaja je poznato kao i
njihov uticaj na kretanje aviona. Dakle može se doći do uopštenog modela, gde w

(t)

predstavlja sile vazdušnih strujanja. Prilikom proučavanja modela aviona, w

(t)

treba da

poseduje tipične i realne vrednosti. U tom slučaju problem opisivanja poremećaja

w(t)

postaje

veoma značajan.

4.1.3.Nepoznati izvori poremećaja

Uobičajeno je da signali poremećaja sistema koji su od interesa, nastaju kao rezultat

uticaja velikog broja izvora poremećaja čije se fizičko poreklo ne može odvojiti i zasebno
posmatrati. U tom slučaju potrebno je sjediniti njihova dejstva u jedan poremećaj, koji
predstavlja deo izlaza koji se u takvim slučajevima obično može predstaviti u obliku zbira

(4.6)

gde je-z(t) neporemećeni izlaz, na primer

(4.7)

Međutim, problem opisivanja poremećaja w(t) ostaje nepromenjen. U ovom slučaju,

očigledno je da poremećaj w(t) nije direktno merljiv. Zbog toga je nephodno korišćenje
indirektnih metoda estimacije poremećaja w(t), koje se vrše na osnovu merenja ulaznih i
izlaznih signala.

Modeliranje dinamičkih sistema

4.1.4.Statističke i stohastičke osobine signala poremečaja

U ovom odeljku predstavićemo statističke i stohastičke karakteristike signala poremećaja.

Poremećaj je nepredvidiv: vrednost u sledećem trenutku je slučajna čak iako je istorija signala
poznata.

Slučajna promena bilo kakve flzičke veličine u nekom apstraktnom prostoru stvara

slučajni proces. Poremećaji, takođe poznati i kao

stohastički ili slučajni procesi,

mogu se

okarakterisati pomoću njihovih statističkih i stohastičkih osobina.

Razlika između statističkih i stohastičkih osobina može biti nejasna na prvi pogled.

Statističke osobine signala opisuju raspodelu amplituda signala: koliko često se javlja
određena amplituda? Nije važno po kom redosledu se menjaju vrednosti signala. Stohaističke
osobine signala opisuju raspodelu frekvencija u signalu: da li postoji zavisnost između
amplitude u sledećem trenutku?

Stohastički proces se sastoji od niza realizacija. Realizacija ansambla je jedna izmerena

vrednost ili posmatrana slučajna funkcija, U bilo kojoj realnoj situaciji, samo jedna realizacija
je na raspolaganju. Na primer, ako je signal izmeren, šum merenja je jedna realizacija
stohastičkog procesa. Zbog toga želimo da koristimo stohastičke procese koji su potpuno
određeni stohastičkim osobinama jedne (pojedinačne) realizacije (takođe nazvane i vremenski
niz). Prema tome, za opis ovakvih procesa, jedna realizacija mora biti dovoljna, Šta više, mi
ne želimo da karakteristike zavise od pojedinačnih vremenskih trenutaka u kojima je vršeno
merenje. Stohastički procesi sa ove dve osobine zovu se

stacionarni, ergodični procesi.

Pretpostavićemo da su svi signali poremećaja, realizacija ergodičnog, stacionarnog

procesa, ukoliko nije drugačije naglašeno. To su signali poremećaja ili stohastički signali.

Nadalje slede definicije na koje se odnose na karakterizaciju stohastičkih signala. Prva

definicija odnosi sena statističku i stohastičku osobinu signala.

Za diskretan stohastički signal

v(k), srednja vrednost

ili prvi statistički moment definisan

je kao

(4.8)

gde je E operator matematičkog očekivanja. E je linearan operator. Prema tome, za bilo koja

dva stohaistička signala

v(k)

w(k)

i dve konstante i , važi

(4.9)

Druga statistička osobina stohastičkih signala je varijansa.

Za diskretan stohastički signal

, varijansa ili drugi statistički moment definisana je

kao

(4.10)

Ovim su opisane statističke osobine stohastičkog signala.

Za diskretan stohastički signal

, funkcija autokovarijanse definisana je kao

(4.11)

Funkcija kovarijanse je simetrična:

. Jasna veza između varijanse (statističke

osobine) i kovarijanse (stohastičke osobine) signala je

(4.12)

Za diskretan stohastički signal

, (auto)korelaciona funkcija

definisana je na sledeći

način

(4.13)

Modeliranje dinamičkih sistema

Korelaciona funkcija je simetrična tj. važi

(T)

(-T).

Relacija između funkcije

kovarijanse i korelacione funkcije signala

(4.14)

Jasno je da su kovarijansa i korelaciona funkcija jednake ako je srednja vrednost signala

nula.

Slično,

funkcija kroskovarijanse

(uzajamne kovarijanse) za dva diskretna signala

v(k)

w(k)

definisana je na sledeći način

(4.15)

a kroskorelaciona funkcija, data je sa

(4.16)

Signali

u definicijama funkcije kroskovarijanse (4.15) i kroskorelacije (4.16) mogu se

međusobno zameniti, prema

(4.17a)

(4.17b)

Takođe, postoji relacija između funkcije kroskovarijanse i kroskorelacione funkcije

(4.18)

Opet, ako jedan od signala

ima nultu srednju vrednost, ove dve funkcije se jednake.

Termini

ergodičnost i stacionarnost

su već korišćeni. Sada, kada je definisano nekoliko

stohastičkih osobina, možemo dati formalnu defmiciju stacionarnosti i ergodičnosti.

Stohastički signal

v(k) je stacionaran

ako su zadovoljena sledeća tri uslova:

. snaga signala ima konačnu gornju granicu:

2. srednja vrednost je vremenski invarijantna:
3. Autokorelaciona funkcija zavisi samo od vremenske razlike T, a ne zavisi od

pojedinačnih vremenskih trenutaka

u kojima se vrše izračunavanja.

Modeliranje dinamičkih sistema

Stohastički signal

v(k) je ergodičan

ako su zadovoljena sledeća tri uslova:

1. signal

v(k)

je stacionaran,

2. očekivanje (srednja vrednost ansambla) je jednako srednjoj vrednosti (srednja vrednost

vremena),

3. autokorelaciona funkcija ansambla jednaka je vremenskoj autokorelacionoj funkciji.

Matrica kovarijanse

stohastičkog signala

v(k) definisana

je kao očekivanje

(spoljnjeg) proizvoda vektora čiji su elementi

prethodnih vrednosti

v(k)

sa samim sobom

(4.19)

Matrica kovarijanse može biti zapisana u obliku

(4.20)

Pošto je

za ergodičan proces, matrica

je simetrična.

Za ergodičan process operator očekivanja dat je sa (4.8). To zbači da se može

izračunati ako broj merenja N teži beskonačnosti. Ovo nije najpraktičnije rešenje. Zbog toga
se u praksi očekivanje mora proceniti na osnovu konačnog broja merenja.

(4.21)

kao i kovarijansa

(4.22)

gde označava da se radi o procenjenoj vrednosti.

4.1.5.Beli šum

Može se pretpostaviti da specijalan slučajni proces, koji ima uniformni spektar u vrio

širokom opsegu učestanosti, dodat linearnom filteru, generiše skoro sve stohastičke procese
koji su od interesa. Taj specijalan slučajni proces naziva se

beli šum

uobičajeno se označava

e(k),

a ima dobre osobine da generiše povorku impulsa koji su nezavisni. Proces sa belim

šumom je u potpunosti opisan pomoću njegovog prvog i drugog statističkog momenta.
Specijalan slučaj belog šuma je ZMWN niz (Zero

Mean White Noise)

tj. beli šum sa srednjom

vrednošću jednakom nuli, a opisan je preko

(4.23a)

(4.23b)

Modeliranje dinamičkih sistema

4.2.Predstavljanje signala u vremenskom domenu

4.2.1.Deterministički modeli signala

Uobičajen način modeliranja signala poremećaja w

(t)

sastoji se u tome da se on opiše kao

izlaz nekog dinamičkog sistema sa ograničenim i poznatim ulazom u

(t)

(4.26)

i analogno u diskretnom domenu. Tipičan test ulazni signal je impuls oblika

(4.27)

gde je

Diracova

delta funkcija. U diskretnom domenu

je impuls oblika:

(4.28)

pri čemu je

w(t)

impulsni odziv Sistema.

Ponekad postoji uvid u stvaranje poremećaja. Međutim, veoma često nisu na raspolaganju

detaljne informacije. Zbog čega je neophodno je u postupku formiranja modela koristiti
različite metode identifikacije.

Najčešće se pretpostavlja da je model oblika (4.26) linearan tj. da se može predstaviti u

obliku

(4.29)

ili analogno u diskretnom domenu.

Signal poremećaja se može opisati i korišćenjem funkcije prenosa

(4.30)

U izrazima za vremenski odziv, funkciji prenosa se dodeljuje argument

p=d/dt

(operator

diferenciranja) te važi

(4.31)

Analogno ovome, za predstavljanje signala u diskretnom domenu koristi se -

transformacija pa je

(4.32)

što odgovara diferencnoj jednačini

(4.33)

gde je

(4.34)

Slično jednačini (4.31), u vremenskom domenu može se napisati

(4.35)

gde je

operator pomeranja u vremenskom domenu

. Kod uniformno

diskretizovanih signala (kod kojih je

)

predstavlja periodu odabiranja, frekvencija

frekvenciju odabiranja, a frekvencija

Nyquistovu frekvenciju.

Modeliranje dinamičkih sistema

4.2.2.Stohastički modeli signala

Izlaganja u prethodnim poglavljima su uglavnom bila vezana za kontinualne sisteme sa

determinističkim ulazima i/ili poremećajima, koji su poznati u svakom trenutku i stoga se
mogu opisati analitički. Međutim, ono što je karakteristično za signal poremećaja jeste da se
ponašanje ovog signala ne može tačno opisati niti predvideti. U tom slučaju, ono što možemo
da uradimo jeste da formiramo ograničenu pretpostavku o budućem željenom ponašanju.
Zbog toga je prirodno uvesti stohastičke elemente prilikom opisivanja signala. Ovo se može
ostvariti na nekoliko naeina. Najjednostavniji način sastoji se u tome da se u vremenski

Iinearnom diskretnom modelu,

izabere u obliku niza nezavisnih stohastičkih

promenljivih tj. u obliku

belogšuma.

Nadalje, se obrađuju uniformno uzorkovani signali kod

kojih

je:

tada postaje

(4.36)

pri čemu su

e(t)

e(s)

nezavisni ako je

≠

Tipičan oblik

w(t)

zavisi od raspodele verovatnoća

e(t).

Uopšten model možemo predstaviti u obliku (4.37), gde je

e(t)

dato pomoću nezavisnih

standardno raspodeljenih promenljivih tj.

e(t)

N(0,X)

(standardno raspodeljena sa srednjom

vrednošću nula i varijansom

X).

Sa druge strane, ukoliko je tokom dužeg vremenskog perioda

e(t)

jednako nuli tada

w(t)

ima različit karakter. Takvo ponašanje

e(t)

možemo modelirati korišćenjem raspodele

(4.37)

U ovom slučaju

e(t)

takođe ima srednju vrednost nula i kovarijansu

Na osnovu

jednačine (4.36), možemo zaključiti da

w(t)

poseduje osobine (svojstva) koje zavise od b

, i a

kao i od verovatnoće raspodele

e(t).

Signal

(w(t))

dat u obliku (4.36) predstavlja

stohastički proces,

koji se sastoji od niza

stohastičkih promenljivih sa konstantnom zajedničkom raspodelom. Vrednosti (w(t)) koje
važe za izvesne varijacije slučajnih promenljivih (e(t)) nazivaju se

realizacija procesa

Potpuna karakterizacija stohastičkih procesa sastoji se u tome da sve simultane funkcije

raspodele

w(t

),w(t

),...,w{t

)

budu date. U konkretnom slučaju funkcije raspodele biće

određene indirektno, korišćenjem brojnih vrednosti

, a

kao i raspodelom verovatnoća

e(t).

Zbog toga ćemo se ograničiti na stohastičke procese koji su predstavljeni u obliku

linearno

filtriranog belog suma.

Takvi procesi se veoma često sreću i pod nazivom ARMA

procesi.

Brojilac polinoma

B'(z)

predstavlja

(

Moving Average)

deo, a imenioc polinoma

A(z)AR

(

Auto-Regresive

) deo. Ako je b

,=0, tada se govori o

AR procesu,

a ako je a

=0 onda se radi

MA procesu.

Ukoliko je raspodela

e(t)

nazavisna od vremena

tada će i osobine (svojstva)

w(t)

biti

nezavisne od vremena. U tom slučaju radi se o

stacionarnom procesu.

Modeliranje dinamičkih sistema

Model tipa autoregresije (AR).

Ovaj model se, iz opšteg (4.38), dobija usvajanjem

je proizvoljan tj.

(4.40)

Dakle, kod ovog modela, izlaz je funkcija njegovih vrednosti iz prethodnih trenutaka. Model
(4.40) se može napisati i u obliku

(4.41)

Da bi autoregresivni model bio stacioniran, koreni karakteristične jednačine

treba da leže unutar jediničnog kruga.

Model tipa promenljive srednje vrednosti (MA).

MA model se dobija iz opšteg (4.38),

ako se usvoji

, a

je proizvoljan tj.

(4.42)

Ovaj model se može napisati i u obliku

(4.43)

gde je red modela.

Autoregresioni model sa eksternim ulazom (ARX).

ARX model može se dobiti iz

opšteg modela (4.38) ako se uzme da su

proizvoljni polinomi

(4.44)

Pošto šum ulazi direktno u jednačinu, model je iz grupe modela

jednačine greške

(

equationerrormodel

). Jednačina greškeje modelirana kao sekvenca belog šuma. AR-deo

proizilazi iz činjenice da je izlaz funkcija prethodnih vrednosti izlaza (polinom

). Ulaz

poseban (egzogen) ulaz.

Model (4.44) može se zapisati u obliku

(4.45)

gde uočavamo funkcije prenosa

Primetimo da su poremećaji modelirani kao AR-filtrirani beli šum, dodat izlazu.

Model tipa autoregresije i promenljive srednje vrednosti (ARMA).

ARMA model je

oblika

(4.46)

ili, ako se izabere

se proizvoljno izaberu tada se

model (4.38) svodi na

(4.47)

Da bi vremenska povorka bila stacionirana, potrebno je da nule polinoma

leže

unutar jediničnog kruga.

Modeliranje dinamičkih sistema

Model tipa autoregresije i promenljive srednje vrednosti sa eksternim ulazom

(ARMAX).

ARMAX model dobija se iz opšteg (4.38) izborom

, a

su proizvoljni polinomi

(4.48)

ili u drugom obliku

(4.49)

ARMAX model je iz grupe modela jednačine greške. Jednačina greške je modelirana kao
MA-proces. Poremećaji su modelirani kao beli šum propušten kroz ARMA filter i dodat
izlazu.

OE Model.

OE model može se dobiti iz opšteg modela (4.38) izborom

suproizvoljni polinomi. U tom slučaju pretpostavlja se da je (beli)

šum dodat izlazu. Da bi ovu strukturu dali eksplicitno, pomoćni signal

w(k

) koji ne sadrži

šumove, predstavljen je kao

(4.50a)

(4.50b)

Ovo može da se zapiše u obliku

(4.51)

Primetimo da modl pogona,

i model šuma,

, nemaju

zajedničke parameter, te se zbog toga kaže da je ‘’nezavisno parametrizovan’’.

BJ Model.

BJ model se može dobiti iz opšteg modela (4.38) izborom

, a

ostali polinomi su proizvoljni

(4.52)

Poremećaji su modelirani kao ARMA filtriran beli šum, dodat izlazu,

Primetimo da, kao i kod OE modela, model pogona

i model

šuma

, nemaju zajedničke parameter. Prema tome, oni su nezavisno

parametarizovani.

Modeliranje dinamičkih sistema

4.3.3.Veze izmeću signala opisanih u vremenskom i frekvencijskom domenu

Neka su signal

y, u

povezani sledećom relacijom

(4.53)

(p je operator diferenciranja), pri čemu signali

u(t)

w(t)

nisu u korelaciji. U tom slučaju,

njihova

Fourirerova

transformacija zadovoljava sledeću relaciju

(4.54)

Uzimajući apsolutnu vrednost oba izraza, a zatim normalizovanjem pomoću dužine
vremenskog interval i korišćenjem željene vrednosti dobija se

(4.55)

bez obzira koja se spektralna definicija primenjuje. Množenjem (4.55) sa

normalizacijom pomoću dužine vremenskog interval i korišćenjem željene vrednosti) dolazi
se do

(4.56)

Neka je veza između

y, u

data u obliku

(4.57)

(gde je

operator pomeranja u vremenskom domenu), tada

(4.58)

sadrži

(4.59)

U specijalnom slučaju

(koji odgovara slučaju kada

signal

u(t)

predstavlja impuls ili beli šum, a

je konačne dimenzije), pa se u vremenskom

domenu može napisati

(4.60)

Poslednji izraz daje jednostavnu i jasnu vezu koja postoji između spectra signala i linearnog
sistema

G(p),

koji opisuje signal u vremenskom domenu kada je na ulazu beli šumili impuls.

Ako je spektar

dat u obliku racionalne funkcije po

, tada je uvek moguče odrediti

stabilan system

G(p)

takav da važi (4.60). (To znači da se svi polovi i nule nalaze u levoj

poluravni). Ovo se naziva spektralna faktorizacija.

Analogno, u diskretnom domenu čemo imati

(4.61)

Ukoliko je

racionalna funkcija po

, tada uvek možemo odrediti stabilno rešenje

Modeliranje dinamičkih sistema

5. PRINCIPI FORMIRANJA MATEMATIČKIH

MODELA

Što se tiče formalnog opisivanja pojedinih elemenata sistema i dobijanja celovitog

matematičkog   modela,   osnovno   pravilo   je   da   se   mora   poštovati   zakon   održanja   materije
uključujući zakon održanja energije. Naime, pri modeliranju svakog elementa sistema formira
se   jednačina   koja   opisuje   materijalni   i   energetski   bilans   u   tom   elementu.   Takođe   se,
matematičkim,   realacijama   opisuje   međusobna   razmena   materijala   i   energije   između
pojedinih elemenata sistema. Ukoliko se svi elementi korektno opišu uz poštovanje ovog
principa, onda će model odgovarati sistemu koji se modelira. U suprotnom, ukoliko se u ma
kom detalju ili koraku mimoiđe princip održanja materije, model neće biti validan.

U skladu sa prethodno rečenim, osnovna relacija za opisivanje elemenata sistema je

(5.1)

gde su:

-generalisana koordinata stanja sistema,

generalisana kapacitivnost,

generalisani dotok materijala ili energije u i-ti element sistema, Q

- generalisani otok

materijala ili energije iz i-tog elementa sistema.

Da bi se formirao matematički model nekog dinamičkog sistema treba realizovati

nekoliko faza. Uz to, zavisno od cilja istraživanja i namene modela, nekad je nepphodno
izvršiti i njegovo uprošćavanje.

5.1.Etape formiranja matematičkih modela

Formiranje matematičkog modela sistema, najčešće, se vrši u nekoliko etapa.

1. Postavka zadatka

. Određuje se jasno cilj istraživanja, odnosno namena matematičkog

modela. Model može služiti za istraživanje samog objekta koji se modelira, za projektovanje
upravljačkog sistema, za analizu složenog sistema čiji je podsistem razmatrani objekat, itd.
Zavisno od cilja, biće izabran tip matematičkog mođela, stepen idealizacije, odnosno
uzimanje u obzir ili zanemarivanje pojedinih efekata, kao i način analize modela.

2. Izučavanje objekta

. U ovoj etapi se razmatra konstrukcija objekta, određuju se

geometrijske razmere, definišu promenljive veličine, njihov raspored i međusobni odnosi'
Posebno se defimišu ulazne i izlazne veličine. Razmatra se uzročno posledična veza pojedinih
veličina.   Ukoliko   se   radi   o   složenom   procesu,   analizira   se   fizička   struktura   svakog   dela
procesa,   njihov   međusobni   odnos   i   uticaj.   Zavisno   od   fizičke   strukture   pojedinih   delova
procesa ili čitavog procesa, usvajaju se fizički i drugi odgovarajući zakoni koji će se koristiti
pri   modeliranju.   Pri   tome   se   koristi   odgovarajuća   literatura   koja   obuhvata   sve   potrebne
informacije koje će se koristiti. Takođe je preporučljivo proučiti postupke pri formiranju
sličnih ili srodnih modela i eventualno iskoristiti ideje pa čak i neke realizaeije. Drugim
rečima,   treba,   u   što   većoj   meri   koristiti   vec   stečena   iskustva   pri  formiranjumatematičkih
modela procesa iz iste klase.

3. Formiranje gtrukturne šeme

. U ovoj fazi se definišu tokovi materijala i energije,

lokacije gde se vrši njihovo akumuliranje, njihov raspored i međusobna veza. Kod složenih
sistema se vrši dekompozicija, odnosno rastavljanje sistema na niz podsistema da bi se lakše
izvršilo modeliranje pojedinih delova. Ukoliko se radi o heterogenom procesu, posebno se
formiraju strukturne šeme za svaki deoprocesa (iste fizičke strukture), pa se zatim vrši njihovo
objedinjavanje uzimajući u obzir međusobne interakcije.

Modeliranje dinamičkih sistema

Primer 5.1

. Kao jednostavan primer za ilustraciju prethodno rečenog može poslužiti hidraulički

proces prikazan na slici 5.1.

Slika 5.1:

Šematski prikaz hidrauličnog procesa sa tri rezervoara

U ovom procesu psotoje tri mesta akumuliranja (opisuju se diferencijalnim jednačinama),

dva mesta isticanja (opisuju se algebarskim relacijama) i jedan transportni put (opisuje se
jenačinom čistog kašnjenja). Dakle sistem matematičkih relacija je oblika

gde je vreme prolaska tečnosti iz rezervoara 2 u rezervoar 3.

Pri sastavljanju jednačina potrebno je voditi računa da broj jednačina odgovara broju

promenljivih koje se razmatraju. Kao što je vee napomehuto, radi uprošćenja modela, neke
promenljive uprocesu se zanemaruju i za njih se ne pišu odgovarajuće relacije. U prethodno
navedenom primeru to bi moglo da bude isparavenje tečnosti iz rezervoara. Ukoliko bi ovo
isparavanje bilo intenzivno, tako da se ne može zanemariti (npr., kod termičko-hidrauličkih
procesa) onda se moraju napisati odgovarajuće jednačine isparavanja. Na taj način bi se
opisali dodatni protoci odavanja materijala iz rezervoara.

5. Ocena tačnosti matematičkog modela.

Ocena tačnosti modela najčešće se vrši

simulacijom, pri čemu se vrši upoređivanje vrednosti pojedinih promenljivih u procesu i
odgovarajućih vrednosti promenljivih u modelu. Kao kriterijum za ocenu odstupanja može se
koristiti srednje kvadratno odstupanje

(5.4)

gde su:

- vrednosti veličina u procesu,

- vrednosti veličina u modelu, - težinski

koeficijenti. Izbor koeficijenata

zavisi od konkretne promenljive, njene važnosti i stepena

njenog uticaja na dinamiku procesa.

Ne postoji jednoznačan odgovor na pitanje za koje vrednosti

je matematički model

adekvatan. Za preciznije procene mora se vršiti detaljna analiza i to je problem validizacije
modela o čemu će biti reči kasnije.

Modeliranje dinamičkih sistema

6. Izbor metoda za analizu matematičkog modela.

Ova etapa se odnosi na prostije

klase modela, kada je moguća matematička analiza tih modela npr. kada postoji rešivost
difereneijalnih jednačina. U slučajevima kada matematička analiza nije moguća ili je suviše
komplikovana, vrši se simulacija na računaru.

U najopštijem slučaju, matematički model procesa može se predstaviti najedan od

sledećih načina:

a) Ukoliko nema kontinualne disipacije (sistem sa skoncentrisanim parametrima)

gde su y

(t) - koordinate stanja (uključujući i izlazne veličine),

(

t) - ulazne veličine,

početni uslovi.

b) Ukoliko postoji kontinualna disipacija (sistemi sa raspodeljenim parametrima)

5.2.Uprošćavanje matematičkih modela

Najčešće matematički modeli se formiraju uvodjenjem nekih uprošćenja realnih procesa.

Neophodno je vršiti uprošćavanja jer se ne znaju tačne relacije. Ali, čak i kad bi se znale,
formirali bi se aproksimativni, uprošćeni modeli. Razlog za to je što model mora da bude
prikladan cilju modeliranja. Model sa hiljadu promenljivih nemoguće je koristiti za analizu i
zahteva dugo vreme izvršenja simulacije. Drugim račima, traže se prosti modeli i svesno
uvode aproksimacije i uopštavanja. Pod jednostavnim modelom prvenstveno se podrazumeva
model čiji je red (dimenzija vektora stanja) mali. Jednostavno, takođe, može da znači da su
odnosi između promenljivih relativno laki za izračunavanje i da je model pre linearan nego
nelinearan.

U ovom delu izložićemo principe koje se mogu koristiti za uprošćavanje modela.

Uprošćavanje se može obaviti još pri struktuiranju problema i formulisanju osnovnih
jednačina ili na gotovom modelu da bi se smanjila složenost.

Postoji naravno i kompromis između složenosti modela i zahteva vezanih za tačnost, radi

simulacije fizičkih problema. Ono što je ođlučujuće po pitanju ovih međusobnih kompromisa
je  namena   modela.   Važno   je   da   postoji   ravnoteža   između   aproksimacija   korišćenih   u
različitim   delovima   modela,   pošto,   vrlo   često,   sveobuhvatni   model   i   nije   mnogo   bolji
odnajgrubljeaproksimacije.   Ako   se   prihvati   opšta   aproksimacija   kod   jednog   modela   nema
smisla preterivati kod drugog.

Razmotrimo tri načina uprošćavanja:
1. Mali uticaji (efekti) se zanemaruju - koriste se aproksimativni odnosi.
2. Odvajanje vremenskih konstanti.
3. Agregacija promenljivih stanja.

Modeliranje dinamičkih sistema

Kod nekih sistema, nekad je neophodno koristiti vremenske konstante potpuno različitog

reda veličine. Kao primer može poslužiti model sistema za održavanje tempereture kod kuća
sa solarnim grejanjem. Može biti neophodno da se prate varijacije temperature tokom dana
tađa je vremenska konstanta reda nekoliko sati. Pored toga može biti interesantno praćenje
godišnjih varijacija temperature kada je vremenska konstanta reda nekoliko meseci. U takvoj
situaciji trebalo bi razmotriti mogućnost korišćenja dva različita modela, po jedan za svaku
skalu.

5.2.3.Objedinjavanje (agregacija) promenljivih stanja

Stanje sistema se može definisati kao skup informacija neophodnih da se predvidi buduće

ponašanje sistema, pod uslovom da su spoljni signali poznati. Striktna primena ove definicije
u vecem boju slučajeva vodila bi ka prekomernom broju promenljivih stanja. Za primer
glavne kutije mašine za papir trebalo bi za svaku tačku u vazdušnom jastuku dati vrednost
pritiska, temperature i gustine. Na taj način bi se dobilo beskrajno mnogo promenljivih stanja
(povezanih preko parcijalnih diferencijalnih jednačina). Međutim, razumljivo je (realno je) da
prostorne varijacije ove tri promenljive budu toliko male tako da če po jedna jedina vrednost
za svaku biti potpuno dovoljna.

Jedan primer agregacije promenljivih stanja je objediniti nekoliko sličnih promenljivih u

jednu promenljivu stanja. Cesto ova promenljiva ima ulogu prosečne ili ukupne vrednosti.

Agregacija je uobičajen metod za smanjenje broja promenljivih stanja u modelu. Za

ekonomske   modele  vrlo   često   imamo   hijerarhiju   modela  sa  različitim   veličinama   koje   je
moguće   agregirati.   Kod   vrlo   prostih   modela   nivo   investicija   može   biti   samo
jednapromenljiva. Kod manje agregiranih modela investicije su možda podeljene na privatne i
državne. Kod detaljnih modela nivo investiranja u svakom sektoru ekonomije može da se
modelira.Postoje   ekonomski   modeli   koji   su   u   upotrebi   i   koji   imaju   više   od   hiljadu
promenljivih stanja.

Agregirani modeli su takođe vrlo česti i u fizici. Tipični primer je termodinamika. Da bi

se znalo stanje zapremine gasa, treba, striktno govoreći poznavati brzinu i položaj svakog
molekula. Umesto toga koriste se pritisak i temperatura pri izučavanju gasa na makro nivou.
Ove promenljive su agregirane promenljive stanja povezane sa prosečnim rastojanjem između
molekula i prosečnom brzinom.

Određeni broj fizičkih pojava opisan je parcijalnim diferencijalnim jednačinama (PDJ)

Tipični primeri su jednačine polja, talasa, protoka i provođenja toplote. Za matematičke
probleme dinamičkih sistema koji bi se koristili za potrebe simulacije, PDJ je vrlo često
nepogodan zapis. Razlog tome je što standardni programi za simulaciju dinamičkih sistema
pretpostavljaju da su modeli dati u obliku modela u prostoru stanja sa konačno dimenzionim
vektorom stanja x. Cesto se parcijalne diferencijalne jednačine svode na obične pomoću
aproksimaeija, Što odgovara agregaciji, a može se videti iz sledećeg primera.

Modeliranje dinamičkih sistema

Primer 5.2. Provođenje toplote

Uzmimo metalnu šipku, čiji je levi kraj zagrejan spoljnim izvorom, kao na slici 5.2.

Slika 5.2:

Zagrevanje metalne šipke

Snaga u izvoru toplote obeležena je sa

i predstavlja ulaz. Izlaz sistema je temperatura

na drugom kraju. Provođenje toplote opisuje se jednačinomzagrevanja oblika

(5.5)

gde je

x(z, t)

temperatura u trenutku

na udaljenosti

od levog kraja. Parametar

koeficijent toplotne provodnosti metala (Ne uzima se u obzir odavanje toplote u spoljnu
sredinu). Na krajnjim tačkama važi

(5.6)

(5.7)

gde je

konstanta koja zavisi od prenosa toplote iz spoljneg izvora na metal.

Model (5.5) zahteva poznavanje funkcije

x(z, t

), z

∈

[0,L],

za određivanje temperature

(t)

t> t,

funkcija

x(z, t

), z

∈

[0,L]

je stanje sistema u trenutku

tako da je neophodno

izmeriti i sačuvati informaciju o neograničenom broju temperatura segmenata (po jednu za
svaku vrednost za

da bi bilo poznato stanje. Sistemi opisani parcijalnim diferencijalnim

jednačinama se stoga zovu neograničeno - dimenzioni sistemi (sistemi sa raspodeljenim
parametrima).

Da bi se dobio aproksimativni model koji je mnogo pogodniji za simulaciju može se

koristiti agregacija. Napravimo model trečeg reda sistema sa slike 5.2. To znači da će se raditi
sa tri promenljive stanja. Sipku treba podeliti na tri dela pri čemu se pretpostavlja da je
temperatura homogena u svakom od njih.

Slika 5.3:

Agregatni model provođenja toplote

Temperature u trenutku

su oznacene sa

(t), x

(t)

odnosno

(t).

Na ovaj način

agregiranaje funkciju

x(z,t), z

∈

[0,L/3],

u agregiranu

(t)

itd. Neka toplotni kapacitet svakog

dela bude označen sa

i neka koeficijent prenosa toplote između delova bude

Zakon

održanja energije za svaki deo daje

(toplota akumulirana u delu 1) = (ulazna snaga) - (ulazna snaga u deo 2)

Ovo daje jednačinu

Modeliranje dinamičkih sistema

6. ZAKLJUČAK

Pod modelom procesa se podrazumeva takav sistem koji je analogan procesu u pogledu

ponašanja tog procesa. Model koji sadrži sve bitne karakteristike procesa, omogućuje da se
proučavanje procesa zameni proučavanjem modela. Treba istaći osnovnu prednost analognih
računara u odnosu na druge računarske tehnike, a to je brzina računanja. Medjutim, i pored
ove izvanredne osobine, primena analognih računara je izgubila na zuačaju, jer su poslednjih
decenija razvijeni programski paketi za simulaciju koji su potisli primenu analognih računara.

Matematičko modeliranje je postupak formiranja matematičkih modela. Primenom ovog

postupka uspostavljaju se veze između pojedinih promenljivih veličina u procesu, a te veze

opisuju prethodno pomenutim matematičkim relacijama. Matematički model obuhvata sve
bitne odlike realnog sistema, iz ove činjenice proizilazi osnovna svrha matematičkih modela,
a to je izučavanje realnih sistema. Pozanavanje matematičkog modela omogućuje simulacyu
rada i ponašanja sistema. Simulacija se izvodi uz primenu računarske tehnike i predstavlja
važno sredstvo pri izučavanju procesa i projektovanju upravljačkih sistema. Matematički
modeli se, takođe, koriste za izučavanje prirodnih pojava, tehničkih, ekonomskih i bioloških
procesa.

Matematički model koji se koristi za predstavljanje veza između kontinualnih signala,

naziva se

kontinualni matematički model.

Za opisivanje takvih veza obično se koriste

diferencijalne jednačine. Međutim, signali sakojima se srećemo u praksi, najčešće se dobijaju
u

diskretizovanom

obliku, što je rezultat merenja u diskretnim trenucima vremena. Model,

koji direktno opisuje veze između vrednosti signala u trenucima odabiranja, naziva se

diskretni matematički model.

Za opisivanje takvih modela koriste se diferencne jednačine. U

nekim slučajevima dobro je uvesti diskretizaciju i izvršiti prevođenje kontinualnih modela u
diskretne, naročito kada upravljački signal generiše digitalni regulator.

Modeli događaja stanja su kontinualni modeli kod kojih mogu da se pri određenim

uslovima dogode nagle promenepojedinih promenljivih. U nekim trenucima, kada određene
promenljive pređu definisanu vrednost, izvršava se diskretna radnja. Modeli diskretnog ili
vremenskog događaja nemaju fiksiranu periodu odabiranja. Sve promenljive zadržavaju svoje
vrednosti između dva događaja. U slučaju nekog događaja, promenljive mogu da promene
svoje vrednosti. Događaj se može desiti za vreme spoljnjih događaja ili tokom nekog
ustaljenog rasporeda. Raspored se može javiti kao rezultat unutrašnjih aktivnosti.

Krajnji cilj razrade matematičkog modela jeste predviđanje načina ponašanja procesa i

proučavanje mogućnosti uticaja na njegovo ponašanje. Najčešće se formiranje matematičkih
modela svodi na formiranje odgovarajućih diferencijalnih odnosno diferencnih jednačina.
Dakle, matematički modeli dinamičkih procesa, sastoje se od skupa diferencijalnih i/ili
diferencnih jednačina. U mnogim sistemima jasno je izražen uticaj signala poremećaja na
ponašanje sistema. U tom slučaju, važno je posedovati podatke o tipičnim osobinama signala
poremećaja. U te signale uglavnom spadaju smetnje merenja i nekontrolisani ulazi. Senzori,
pomoću kojih se mere signali, nikad nisu idealni. Uvek postoji neka greška u tzv. prikupljanju
podataka, zbog smetnji i drifta. Pored toga na sistem mogu da utiču signali, koji se mogu
posmatrati kao ulazni, ali se ne mogu kontrolisati.

Slučajna promena bilo kakve flzičke veličine u nekom apstraktnom prostoru stvara

slučajni proces. Poremećaji, takođe poznati i kao

stohastički ili slučajni procesi,

mogu se

okarakterisati pomoću njihovih statističkih i stohastičkih osobina.

Pri modeliranju svakog elementa sistema formira se jednačina koja opisuje materijalni i

energetski bilans u tom elementu. Takođe se, matematičkim, realacijama opisuje međusobna
razmena materijala i energije između pojedinih elemenata sistema. Ukoliko se svi elementi
korektno opišu uz poštovanje ovog principa, onda će model odgovarati sistemu koji se
modelira. U suprotnom, ukoliko se u ma kom detalju ili koraku mimoiđe princip održanja
materije, model neće biti validan.

Modeliranje dinamičkih sistema

U fazi formiranja blok dijagrama obično se razmatra koji odnosi mogu postojati među

različitim promenljivama. Tada se može uočiti da postaje određeni uticaji koji su mnogo
važniji od ostalih. Pri svim modeliranjima moraju se praviti kompromisi. Da li je jedan uticaj
dovoljno značajan da bi se uneo u blok dijagram? U različitim oblastima modeliranja iz
iskustva su se razvile različite prakse.

Agregacija je uobičajen metod za smanjenje broja promenljivih stanja u modelu. Za

ekonomske modele vrlo često imamo hijerarhiju modela sa različitim veličinama koje je
moguće agregirati. Kod vrlo prostih modela nivo investicija može biti samo
jednapromenljiva. Kod manje agregiranih modela investicije su možda podeljene na privatne i
državne. Kod detaljnih modela nivo investiranja u svakom sektoru ekonomije može da se
modelira.Postoje ekonomski modeli koji su u upotrebi i koji imaju više od hiljadu
promenljivih stanja.

Zadatak modeliranja je da osvetli glavne osobine i fenomene realnog procesa i da ih

prevede na neki apstraktan jezik, kao što je jezik matematike. Na taj način modeliranje
predstavlja integralan deo nauke i tehnologije, koji obuhvata skoro sve oblasti ljudskogdelova
nja