Áðîjåâè è áðîjíè ñèñòåìè
Æå§êî Ñòîjàíîâ
Èíôîðìàöèjå êîjå ñå ïðîöåñèðàjó ó ðà÷óíàðó ìîãó áèòè íóìåðè÷êå
èëè íåíóìåðè÷êå, Èíòåðíî ó ðà÷óíàðó ñâå èíôîðìàöèjå ñå ïðåäñòàâ§àjó
êàî íèçîâè 0 è 1. Òî çíà÷è äà ñå áèëî êîjà èíôîðìàöèjà ïðåäñòàâ§à êàî
íóìåðè÷êà, áåç îáçèðà íà »åíó ñòâàðíó ïðèðîäó.
1 Ïîçèöèîíè áðîjíè ñèñòåìè
Äåêàäíè ñèñòåì êîjè êîðèñòèìî jå ñàìî jåäàí îä áðîjíèõ ñèñòåìà èç
ãðóïå òåæèíñêèõ ïîçèöèîíèõ áðîjíèõ ñèñòåìà. Çà ïîçèöèîíå áðîjíå ñèñòåìå
jå êàðàêòåðèñòè÷íî äà âðåäíîñò öèôðå (
digit
) çàâèñè îä »åíå ïîçèöèjå ó
áðîjó. Êîä íåïîçèöèîíèõ áðîjíèõ ñèñòåìà öèôðà óâåê èìà èñòó âðåäíîñò
áåç îáçèðà íà êîjîj ñå ïîçèöèjè íàëàçè (íà ïðèìåð Ðèìñêè áðîjíè ñèñòåì).
Êîä ïîçèöèîíèõ áðîjíèõ ñèñòåìà áðîjåâè ñå äîáèjàjó ñïàjà»åì âèøå
öèôàðà, ïðè ÷åìó jå ñâàêîj öèôðè ïðèäðóæåí òåæèíñêè ôàêòîð êîjè çàâèñè
îä áàçå (îñíîâå) áðîjíîã ñèñòåìà. Ó îïøòåì ñëó÷àjó ïîçèöèîíè áðîjíè ñèñòåì
jå êàðàêòåðèñàí
•
Áàçîì
b
,
•
Ñêóïîì ñèìáîëà çà öèôàðå
C
=
{
c
1
, c
2
, ..., c
b
}
.
Áàçà áðîjíîã ñèñòåìà jå ñòðîãî âå£à îä áèëî êîjå öèôðå èç ñêóïà öèôàðà,
è âå£à jå îä 1. Ó òàáåëè 1 ñó ïðèêàçàíè ðàçëè÷èòè áðîjíè ñèñòåìè.
Òàáåëà 1:
Ïðèìåðè áðîjíèõ ñèñòåìà
Áàçà
Íàçèâ
Ñèìáîëè öèôàðà
2
Áèíàðíè
0,1
3
Òåðíàðíè
0,1,2
4
Êâàòåðíàðíè
0,1,2,3
8
Îêòàëíè
0,1,2,4,5,6,7
10
Äåêàäíè
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
16
õåêñàäåêàäíè
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
Áðîj ñå ó íåêîì áðîjíîì ñèñòåìó ìîæå ïðåäñòàâèòè ïîìî£ó èçðàçà 1.
X
=
n
∑
i
=
−
m
c
i
b
i
=
c
n
b
n
+
. . .
+
c
1
b
1
+
c
0
b
0
+
c
−
1
b
−
1
+
. . .
+
c
−
m
b
−
m
(1)
1
Ó èçðàçó 1 ñó óâåäåíå ñëåäå£å îçíàêå:
m
çà áðîj ðàçëîì§åíèõ ìåñòà
ïîñìàòðàíîã áðîjà,
n
çà áðîj öåëèõ ìåñòà ïîñìàòðàíîã áðîjà è
i
çà ïîçèöèjó
öèôðå ó áðîjó. Çà îâàêî ïðåäñòàâ§åí áðîj ìîãó ñå óî÷èòè ðàçëîì§åíè äåî
(
fractional
) ïðåäñòàâ§åí èçðàçîì 2 è öåëîáðîjíè äåî (
integral
) ïðåäñòàâ§åí
èçðàçîì 3.
R
=
c
−
1
b
−
1
+
c
−
2
b
−
2
+
. . .
+
c
−
m
b
−
m
(2)
C
=
c
0
b
0
+
c
1
b
1
+
. . .
+
c
n
b
n
(3)
Íàjâå£ó ïðèìåíó ó äèãèòàëíèì ñèñòåìèìà èìàjó áðîjíè ñèñòåìè ÷èjà jå
îñíîâà ñòåïåí áðîjà 2, à òî ñó áèíàðíè (
2
1
), îêòàëíè (
2
3
) è õåêñàäåêàäíè (
2
4
).
Îêòàëíè è õåêñàäåêàäíêè áðîjíè ñèñòåìè ñå êîðèñòå çà ñêðà£åíî çàïèñèâà»å
áðîjåâà èç áèíàðíîã áðîjíîã ñèñòåìà.
Áèíàðíè áðîjíè ñèñòåì ñà âðåäíîñòèìà öèôàðà 0 è 1 jå íàjjåäíîñòàâíèjå
ïðåäñòàâèòè ïîìî£ó ïðåêèäà÷êèõ êîëà, ïîøòî ñå âðåäíîñòè 0 è 1 ìîãó
ïðèäðóæèòè âðåäíîñòèìà ñèãíàëà 0V (íèñêè íèâî LOW) è 5V (âèñîêè
íèâî HIGH). Ñèìáîëè 0 è 1 ó áèíàðíîì áðîjíîì ñèñòåìó ñå íàçèâàjó
áèòè
(
bit
).
Öèôðå ó áðîjíèì ñèñòåìèìà ÷èjà jå áàçà ìà»à îä 10 ñó, ïî êîíâåíöèjè,
îäãîâàðàjó£å öèôðå äåêàäíîã áðîjíîã ñèñòåìà. Áðîj ñå ó ïðîèçâî§íîì áðîjíîì
ñèñòåìó çàïèñójå òàêî øòî ñå ïî êîíâåíöèjè íàêîí áðîjà íàâîäè ó ñóáñêðèïòó
áðîj êîjè îçíà÷àâà áàçó áðîjíîã ñèñòåìà. Íà ïðèìåð
234
.
56
8
jå áðîj ïðåäñòàâ§åí
ó îêòàëíîì áðîjíîì ñèñòåìó, äîê jå
24
.
6
16
áðîj ïðåäñòàâ§åí ó õåêñàäåêàäíîì
áðîjíîì ñèñòåìó. Ó òàáåëè 2 ñó ïðèêàçàíà ïðâèõ 16 öåëèõ áðîjåâà ïðåäñòàâ§åíèõ
ó áèíàðíîì, îêòàëíîì è õåêñàäåêàäíîì áðîjíîì ñèñòåìó.
Òàáåëà 2:
Ïðâèõ 16 öåëèõ áðîjåâà ïðåäñòàâ§åíèõ ó áèíàðíîì, îêòàëíîì è
õåêñàäåêàäíîì áðîjíîì ñèñòåìó
Äåêàäíè
Áèíàðíè
Îêòàëíè
Õåêñàäåêàäíè
0
0
0
0
1
1
1
1
2
10
2
2
3
11
3
3
4
100
4
4
5
101
5
5
6
110
6
6
7
111
7
7
8
1000
10
8
9
1001
11
9
10
1010
12
A
11
1011
13
B
12
1100
14
C
13
1101
15
D
14
1110
16
E
15
1111
17
F
2
Êîíâåðçèjà öåëîáðîjíîã äåëà áðîjà ñå âðøè òàêî øòî ñå öåëîáðîjíè
äåî óçàñòîïíî äåëè áàçîì áðîjíîã ñèñòåìà
b
ñâå äîê êîëè÷íèê äåëå»à íå
áóäå jåäíàê 0. Îñòàöè ïðèëèêîì äåëå»à ïðåñòàâ§àjó öèôðå áðîjà ó áðîjíîì
ñèñòåìó ñà áàçîì
b
óçåòå ó îáðíóòîì òåæèíñêîì ðåäîñëåäó.
Êîíâåðçèjà ðàçëîì§åíîã äåëà ñå âðøè òàêî øòî ñå ðàçëîì§åíè äåî
óçàñòîïíî ìíîæè áàçîì áðîjíîã ñèñòåìà
b
ñâå äîê ðàçëîì§åíè äåî ïðîèçâîäà
íå áóäå jåäíàê 0. Öåëîáðîjíè äåëîâè ìíîæå»à ïðåäñòàâ§àjó öèôðå áðîjà ó
áðîjíîì ñèñòåìó ñà áàçîì
b
óçåòå ó äèðåêòíîì òåæèíñêîì ðåäîñëåäó.
Ïðèìåð 1
. Îäðåäèòè áèíàðíè åêâèâàëåíò äåêàäíîã áðîjà áðîjà
173
,
45
10
.
Êîíâåðçèjà öåëîáðîjíîã äåëà:
Êîëè÷íèê Îñòàòàê
173 : 2
86
1
86 : 2
43
0
43 : 2
21
1
21 : 2
10
1
10 : 2
5
0
5 : 2
2
1
2 : 2
1
0
1 : 2
0
1
↑
Áèíàðíè åêâèâàëåíò öåëîáðîjíîã äåëà jå
10101101
2
.
Êîíâåðçèjà ðàçëîì§åíîã äåëà:
Öåëîáðîjíè äåî
0
,
45
∗
2
0
,
9
0
↓
0
,
9
∗
2
1
,
8
1
0
,
8
∗
2
1
,
6
1
0
,
6
∗
2
1
,
2
1
0
,
2
∗
2
0
,
4
0
0
,
4
∗
2
0
,
8
0
0
,
8
∗
2
1
,
6
1
0
,
6
∗
2
1
,
2
1
0
,
6
∗
2
1
,
2
1
0
,
2
∗
2
0
,
4
0
0
,
4
∗
2
0
,
8
0
0
,
8
∗
2
1
,
6
1
Áèíàðíè åêâèâàëåíò ðàçëîì§åíîã äåëà jå
01110011100111
2
, ñ òèì äà ñå
jàâ§à ïîíàâ§à»å öèôàðà ó ðåçóëòàòó. Ñêðà£åíè çàïèñ ðàçëîì§åíîã äåëà jå
jå
011100
2
Áèíàðíè åêâèâàëåíò äåêàäíîã áðîjà
173
,
45
10
jå
10101101
,
011100
2
√
Ïðèìåð 2
. Îäðåäèòè õåêñàäåêàäíè åêâèâàëåíò äåêàäíîã áðîjà áðîjà
173
,
45
10
.
Êîíâåðçèjà öåëîáðîjíîã äåëà:
4
