dr L. Stefanovi´
c,
mr B. Rand¯elovi´
c, mr M. Mateji´
c
TEORIJA REDOVA
ZA STUDENTE TEHNI ˇ
CKIH FAKULTETA
SKC Niˇs, 2006.
dr Lidija Stefanovi´
c,
mr Branislav Rand¯elovi´
c, mr Marjan Mateji´
c
TEORIJA REDOVA
ZA STUDENTE TEHNI ˇ
CKIH FAKULTETA
II izdanje, Niˇs, 2013.
Recenzent:
dr Ljubiˇsa Koci´c, red. prof. Elektronskog fakulteta u Niˇsu
Izdavaˇ
c:
Studentski kulturni centar Niˇs
Za izdavaˇ
ca:
Miroslav Jovi´c, direktor
Urednik:
Aleksandar Blagojevi´c
Tehniˇ
cka obrada:
dr Lidija Stefanovi´c,
mr Branislav Rand¯elovi´c
ˇ
Stampa:
Unigraf – Niˇs
Tiraˇ
z:
100 primeraka
ISBN
978–86–7757–208–2
Bilo kakvo umnoˇzavanje ove knjige nije dozvoljeno bez pisanog
odobrenja autora.
iv
PREDGOVOR
PREDGOVOR
DRUGOG IZDANJA
Drugo izdanje je u izvesnoj meri izmenjeno u odnosu na prvo izdanje. Ot-
klonjene su uoˇcene greˇske, ˇstamparske i neke materijalne. Ubaˇceno je nekoliko
napomena, tamo gde su autori smatrali da je tekst nedoreˇcen. Neki primeri
su iz pedagoˇskih razloga reˇseni drugaˇcije, a deo Zadaci za veˇzbu je dopunjen
karakteristiˇcnim zadacima.
Niˇs, 2013. g.
Autori
SADRˇ
ZAJ
1. UVODNI POJMOVI
1
1.1. Brojni nizovi
1
1.2. Funkcionalni nizovi
3
2. BROJNI REDOVI
7
2.1. Definicija i konvergencija
7
2.2. Pozitivni redovi
13
2.2.1. Poredbeni kriterijumi konvergencije
17
2.2.2. Ostali kriterijumi konvergencije
20
2.3. Alternativni redovi
28
2.4. Redovi sa proizvoljnim ˇ
clanovima
32
3. FUNKCIONALNI REDOVI
38
3.1. Definicija, konvergencija i uniformna konvergencija
38
3.1.1. Kriterijumi uniformne konvergencije
42
3.1.2. Apsolutna konvergencija
44
3.2. Stepeni redovi
45
3.2.1. Uniformna konvergencija stepenih redova
49
3.2.2. Predstavljanje funkcija pomo´cu stepenih redova
55
3.3. Fourierovi redovi
59
4. ZADACI ZA VEˇ
ZBU
77
PRILOG
105
LITERATURA
107
v
1. UVODNI POJMOVI
1.1. Brojni nizovi
Cilj ovog kursa nije prouˇcavanje nizova. Oni su precizno definisani i de-
taljno obrad¯eni u prethodnim kursevima matematike (videti [
3
], str. 119–
149; [
5
]). Ovde samo ukratko podse´camo ˇcitaoca na neke elementarne poj-
move i pravila, viˇse ih opisuju´ci nego definiˇsu´ci.
Radi jednostavnosti zapisivanja, na samom poˇcetku uvodimo oznake:
N
za skup prirodnih brojeva,
R
za skup realnih brojeva i
N
0
za skup
N
∪ {
0
}
.
Neka je
a
n
∈
R
za svako
n
∈
N
. Ured¯eni skup brojeva
a
n
, u oznaci
(
a
1
, a
2
, . . . , a
n
, . . .
)
,
zove se
realni
ili
brojni niz
. Umesto prethodne, ˇcesto se koriste i oznake:
¡
a
n
¢
n
∈
N
,
¡
a
n
¢
∞
n
=1
,
¡
a
n
¢
.
I svaki drugi ured¯eni skup realnih brojeva
(
a
m
, a
m
+1
, . . .
) (
m
∈
N
0
)
zove se brojni niz.
Za brojeve
a
1
, a
2
, . . .
se kaˇze da su ˇclanovi niza, a za
a
n
da je
opˇsti ˇclan
niza. Nizovi se najˇceˇs´ce zadaju pomo´cu opˇsteg ˇclana. Na primer, niz ˇciji je
opˇsti ˇclan
a
n
= 1
/n
za
n
∈
N
u razvijenom obliku glasi
³
1
n
´
=
³
1
,
1
2
,
1
3
, . . .
´
.
1
2
TEORIJA REDOVA
Niz (
a
n
) je
ograniˇ
cen
ako postoji broj
M
(0
< M <
+
∞
) takav da je
|
a
n
| ≤
M
za svako
n
∈
N
.
Niz (
a
n
) je
monoton
ako je opadaju´ci, rastu´ci, neopadaju´ci ili nerastu´ci.
Niz (
a
n
) je
opadaju´ci
ako je
a
n
> a
n
+1
,
rastu´ci
ako je
a
n
< a
n
+1
,
neopadaju´ci
ako je
a
n
≤
a
n
+1
i
nerastu´ci
ako je
a
n
≥
a
n
+1
, pri ˇcemu sve
nejednakosti moraju da vaˇze za svako
n
∈
N
.
Niz (
a
n
) je
konvergentan
ako postoji konaˇcan broj
a
∈
R
i ako za svako
ε >
0 postoji
N
(
ε
)
∈
N
tako da je
|
a
n
−
a
|
< ε
za svako
n
≥
N
(
ε
). Broj
a
je
graniˇcna vrednost
(
granica
,
limes
) niza (
a
n
).
U ovom sluˇcaju se kaˇze da niz (
a
n
) konvergira ka
a
i piˇse se
lim
n
→∞
a
n
=
a .
U svim ostalim sluˇcajevima je niz (
a
n
)
divergentan
. Pri tome, ako za
svako
M >
0 postoji
N
(
M
)
∈
N
tako da za svako
n
≥
N
(
M
) vaˇzi
a
n
> M
,
odnosno
a
n
<
−
M
, kaˇzemo da niz
odred¯eno divergira
ka +
∞
, odnosno ka
−∞
, ˇsto redom zapisujemo sa:
lim
n
→∞
a
n
= +
∞
,
lim
n
→∞
a
n
=
−∞
.
Podniz
ili
delimiˇ
cni niz
niza (
a
n
)
n
∈
N
je realni niz (
a
n
k
)
k
∈
N
koji sadrˇzi
neke ili sve ˇclanove niza (
a
n
)
n
∈
N
, uzete u istom redosledu kao u (
a
n
)
n
∈
N
.
Za realne nizove vaˇze slede´ca tvrd¯enja.
Teorema 1.1.1.
Svaki konvergentan niz je ograniˇcen.
Teorema 1.1.2.
Svaki monoton i ograniˇcen niz je konvergentan.
Teorema 1.1.3.
Niz
(
a
n
)
konvergira ka broju
a
ako i samo ako svaki
njegov podniz konvergira ka istom broju
a
.
Teorema 1.1.4.
(
CAUCHYEV KRITERIJUM KONVERGENCIJE
)
Niz
(
a
n
)
je konvergentan ako i samo ako za svako
ε >
0
postoji
N
(
ε
)
∈
N
tako da je
|
a
n
−
a
m
|
< ε
za svako
n, m
≥
N
(
ε
)
.
PRIMER 1.1.1. Za
q
∈
R
i
n
∈
N
0
, posmatramo brojni niz
(1.1.1)
(
a
n
) =
(
q
n
)
i ispitujemo njegovu konvergenciju.
4
TEORIJA REDOVA
Opˇsti ˇclan
funkcionalnog niza je
f
n
(
x
). I funkcionalni nizovi se, analogno
brojnim nizovima, najˇceˇs´ce zadaju pomo´cu opˇsteg ˇclana. Na primer, niz ˇciji
je opˇsti ˇclan
f
n
(
x
) =
x
n
za
n
∈
N
0
u razvijenom obliku glasi
¡
x
n
¢
=
¡
1
, x, x
2
, . . .
¢
.
Za razliku od brojnih nizova, kod funkcionalnih nizova se razlikuju dve
vrste konvergencije: konvergencija (u taˇcki i na intervalu) i uniformna kon-
vergencija.
Niz
¡
f
n
(
x
)
¢
konvergira u taˇ
cki
x
=
x
0
∈
D
ako konvergira brojni niz
¡
f
n
(
x
0
)
¢
.
Skup svih taˇcaka
x
0
∈
D
u kojima niz
¡
f
n
(
x
)
¢
konvergira zove se
oblast
konvergencije
niza. Ovo je uobiˇcajeni termin, koji ne znaˇci uvek i oblast
u topoloˇskom smislu. Korektnije bi bilo re´ci podruˇcje konvergencije. Pret-
postavimo da je oblast konvergencije niza interval (
α, β
) (ili [
α, β
], (
α, β
],
[
α, β
)). Uopˇstenje konvergencije u taˇcki je slede´ce. Niz
¡
f
n
(
x
)
¢
konvergira
na intervalu
(
α, β
) ako postoji realna funkcija
f
(
x
) (
x
∈
(
α, β
)) i ako za
svako
ε >
0 i svako fiksirano
x
∈
(
α, β
) postoji
N
(
ε, x
)
∈
N
tako da je
¯
¯
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
¯
¯
< ε
za svako
n
≥
N
(
ε, x
). Funkcija
f
(
x
) je
graniˇcna funkcija
niza
¡
f
n
(
x
)
¢
, ˇsto
se zapisuje na naˇcin
lim
n
→∞
f
n
(
x
) =
f
(
x
)
.
U stvari, niz konvergira na intervalu ako konvergira u svakoj taˇcki tog
intervala.
Uniformna konvergencija se definiˇse samo na intervalu, ne i u taˇcki. Niz
¡
f
n
(
x
)
¢
uniformno konvergira
na intervalu (
α, β
) ka realnoj funkciji
f
(
x
)
(
x
∈
(
α, β
)) ako za svako
ε >
0 postoji
N
(
ε
)
∈
N
tako da je
¯
¯
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
¯
¯
< ε
za svako
n
≥
N
(
ε
) i svako
x
∈
(
α, β
). Primetimo da u ovom sluˇcaju broj
N
zavisi samo od
ε
, a ne zavisi od
x
kao kod obiˇcne konvergencije.
Vaˇzi slede´ce tvrd¯enje (videti [
1
], str. 177).
Teorema 1.2.1.
Svaki uniformno konvergentan niz je konvergentan, ali
obrnuto u opˇstem sluˇcaju ne vaˇzi.
UVODNI POJMOVI
5
PRIMER 1.2.1. Za
x
∈
R
i
n
∈
N
0
, posmatramo funkcionalni niz
(1.2.1)
(
f
n
(
x
)
)
=
(
x
n
)
i ispitujemo njegovu konvergenciju.
Za svako fiksirano
x
=
x
0
=
q
∈
R
dati funkcionalni niz postaje brojni niz (1.1.1), koji
smo razmatrali u Primeru 1.1.1 i zakljuˇcili da on konvergira za svako
q
∈
(
−
1
,
1]. Dakle,
funkcionalni niz (1.2.1) konvergira u svakoj konkretnoj taˇcki
x
0
∈
(
−
1
,
1].
Oblast konvergencije niza (1.2.1) je interval (
−
1
,
1].
Niz (1.2.1) konvergira na intervalu (
−
1
,
1] ka funkciji
f
(
x
) =
½
0
,
x
∈
(
−
1
,
1)
,
1
,
x
= 1
,
ˇsto se lako proverava. Neka je
ε >
0 proizvoljno. Kako je
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
=
½
|
x
|
n
,
x
∈
(
−
1
,
1)
,
0
,
x
= 1
,
to je
|
f
n
(1)
−
f
(1)
|
< ε
uvek i
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
< ε
kad je
|
x
|
n
< ε
,
x
∈
(
−
1
,
1), tj.
n >
ln
ε
ln
|
x
|
,
x
∈
(
−
1
,
1)
.
Ako uglastim zagradama oznaˇcimo celobrojni deo nekog broja, zakljuˇcujemo da postoji
prirodni broj
N
(
ε, x
) =
·
ln
ε
ln
|
x
|
¸
+ 1
tako da je
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
< ε
za svako
n
≥
N
(
ε, x
) i svako fiksirano
x
∈
(
−
1
,
1].
Posmatrani funkcionalni niz ne konvergira uniformno na (
−
1
,
1], ˇcak ni na (
−
1
,
1).
Kako je
lim
x
→±
1
ln
ε
ln
|
x
|
=
∞
,
ne postoji prirodan broj
N
(
ε
), koji ne zavisi od
x
, takav da je
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
< ε
za svako
n
≥
N
(
ε
) i svako
x
∈
(
−
1
,
1). Med¯utim, niz (1.2.1) uniformno konvergira na bilo kom
segmentu [
−
r, r
], gde je 0
< r <
1. Zaista, za
|
x
|
< r
je
n >
ln
ε
ln
|
x
|
>
ln
ε
ln
r
,
pa postoji
N
(
ε
) =
·
ln
ε
ln
r
¸
+ 1
tako da je
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
< ε
za svako
n
≥
N
(
ε
) i svako
x
∈
[
−
r, r
].
4
2. BROJNI REDOVI
2.1. Definicija i konvergencija
Definicija 2.1.1.
Neka je (
a
k
)
∞
k
=1
realni niz. Beskonaˇcni zbir brojeva
(2.1.1)
∞
X
k
=1
a
k
=
a
1
+
a
2
+
· · ·
+
a
n
+
· · ·
zove se
brojni
ili
numeriˇcki red
.
Brojevi
a
1
, a
2
, . . .
su ˇclanovi reda, a
a
n
je
opˇsti ˇclan
reda (2.1.1). Opˇsti
ˇclan je, u stvari, pravilo po kojem se generiˇsu svi ˇclanovi reda.
I svaki drugi beskonaˇcni zbir brojeva
(2.1.2)
∞
X
k
=
m
a
k
=
a
m
+
a
m
+1
+
· · ·
(
m
∈
N
0
)
zove se brojni red. U opˇstem sluˇcaju je
m
6
= 1, pa se redovi (2.1.1) i (2.1.2)
razlikuju za konaˇcno mnogo poˇcetnih ˇclanova.
Definicija 2.1.2.
Zbir prvih
n
ˇclanova
(2.1.3)
S
n
=
n
X
k
=1
a
k
=
a
1
+
· · ·
+
a
n
(
n
∈
N
)
je
n
–ta parcijalna suma
reda (2.1.1).
Uoˇcimo da je
S
n
konaˇcan zbir brojeva, pa kao takav uvek postoji.
Definicija 2.1.3.
Beskonaˇcni zbir
(2.1.4)
∞
X
k
=
n
+1
a
k
=
a
n
+1
+
a
n
+2
+
· · ·
(
n
∈
N
)
7
8
TEORIJA REDOVA
je
ostatak reda
(2.1.1).
Ostatak je takod¯e red, oblika (2.1.2) sa
m
=
n
+ 1. Oˇcigledno je
(2.1.5)
∞
X
k
=
n
+1
a
k
=
∞
X
k
=1
a
k
−
S
n
.
PRIMER 2.1.1. Beskonaˇcni zbir
∞
X
k
=1
1
k
= 1 +
1
2
+
1
3
+
· · ·
je brojni red. Opˇsti ˇclan ovog reda je
a
n
=
1
n
,
n
–ta parcijalna suma je
S
n
=
n
X
k
=1
1
k
= 1 +
1
2
+
· · ·
+
1
n
,
a ostatak je red
∞
X
k
=
n
+1
1
k
=
1
n
+ 1
+
1
n
+ 2
+
· · ·
.
Na primer, za
n
= 3 parcijalna suma i ostatak su:
S
3
=
3
X
k
=1
1
k
= 1 +
1
2
+
1
3
,
∞
X
k
=4
1
k
=
1
4
+
1
5
+
· · ·
.
4
NAPOMENA 2.1.1. Red (2.1.1) moˇze da se zapiˇse na naˇcin
∞
X
k
=1
a
k
≡
∞
X
k
=
m
a
k
−
(
m
−
1)
,
a red (2.1.2) na naˇcin
∞
X
k
=
m
a
k
≡
∞
X
k
=1
a
k
+(
m
−
1)
.
Dakle, promena poˇcetne vrednosti indeksa sumiranja
k
zahteva odgovaraju´cu promenu
indeksa ˇclanova.
4
Definicija 2.1.4.
Red
∞
P
k
=1
a
k
je
konvergentan
(
divergentan
) ako je niz
parcijalnih suma (
S
n
)
n
∈
N
konvergentan (divergentan).
10
TEORIJA REDOVA
Za
q
6
= 1,
n
–ta parcijalna suma je geometrijska progresija, pa je
S
n
=
n
X
k
=0
q
k
=
1
−
q
n
+1
1
−
q
=
1
1
−
q
−
q
1
−
q
q
n
.
Za
q
= 1 je
S
n
=
n
X
k
=0
1
k
=
n
X
k
=0
1 =
n
+ 1
.
U Primeru 1.1.1 smo pokazali da niz
(
q
n
)
divergira za
q
≤ −
1, konvergira ka 0 za
|
q
|
<
1
i odred¯eno divergira ka +
∞
za
q >
1. Zato ne postoji lim
n
→∞
S
n
kad je
q
≤ −
1 i
lim
n
→∞
S
n
=
1
1
−
q
,
|
q
|
<
1
,
lim
n
→∞
S
n
= +
∞
,
q >
1
.
Kako je joˇs lim
n
→∞
S
n
= +
∞
kad je
q
= 1, zakljuˇcujemo da geometrijski red divergira za
q
≤ −
1, odred¯eno divergira ka +
∞
za
q
≥
1 i konvergira za
|
q
|
<
1 sa sumom
(2.1.8)
S
=
∞
X
k
=0
q
k
=
1
1
−
q
.
Niz parcijalnih suma (
S
n
) i niz (1.1.1) se u literaturi sre´cu pod istim imenom geome-
trijski niz.
4
Opˇste osobine brojnih redova iskazujemo slede´cim teoremama.
Teorema 2.1.1.
Neka je
∞
P
k
=1
a
k
konvergentan red sa sumom
S
=
∞
X
k
=1
a
k
i neka je
c
∈
R
proizvoljna konstanta. Tada je konvergentan i red
∞
P
k
=1
ca
k
sa
sumom
cS
=
∞
X
k
=1
ca
k
.
Dokaz.
Ako sa
S
n
i
T
n
oznaˇcimo parcijalne sume
S
n
=
n
X
k
=1
a
k
,
T
n
=
n
X
k
=1
ca
k
,
BROJNI REDOVI
11
vaˇzi
T
n
=
cS
n
.
Po pretpostavci teoreme je
S
= lim
n
→∞
S
n
, pa je
lim
n
→∞
T
n
=
c
lim
n
→∞
S
n
=
cS .
Teorema 2.1.2.
Neka su
∞
P
k
=1
a
k
i
∞
P
k
=1
b
k
konvergentni redovi sa sumama
S
1
=
∞
X
k
=1
a
k
,
S
2
=
∞
X
k
=1
b
k
.
Tada su konvergentni i redovi
∞
P
k
=1
(
a
k
±
b
k
)
sa sumama
S
1
±
S
2
=
∞
X
k
=1
(
a
k
±
b
k
)
.
Dokaz.
Za parcijalne sume
S
n
1
=
n
X
k
=1
a
k
,
S
n
2
=
n
X
k
=1
b
k
,
T
n
=
n
X
k
=1
(
a
k
±
b
k
)
vaˇzi
T
n
=
S
n
1
±
S
n
2
,
pa je
lim
n
→∞
T
n
= lim
n
→∞
S
n
1
±
lim
n
→∞
S
n
2
=
S
1
±
S
2
.
Teorema 2.1.3.
Redovi
∞
P
k
=1
a
k
i
∞
P
k
=
m
a
k
(
m
≥
2)
su istovremeno konver-
gentni ili divergentni.
Dokaz.
Neka je, za
n
≥
m
,
S
n
=
n
X
k
=1
a
k
,
T
n
=
n
X
k
=
m
a
k
.
Tada je
S
n
=
m
−
1
X
k
=1
a
k
+
T
n
=
S
m
−
1
+
T
n
.
BROJNI REDOVI
13
NAPOMENA 2.1.2. Zahvaljuju´ci Teoremi 2.1.3, u literaturi se ˇcesto sre´ce Defini-
cija 2.1.4 u slede´cem obliku.
Brojni red (2.1.1) konvergira ako za svako
ε >
0 postoji
N
(
ε
)
∈
N
tako da je
|
∞
P
k
=
n
+1
a
k
|
< ε
za svako
n
≥
N
(
ε
).
4
NAPOMENA 2.1.3. Za
S
=
∞
P
k
=1
a
k
,
T
=
∞
P
k
=
m
a
k
, prema dokazu Teoreme 2.1.3 sledi
S
= lim
n
→∞
S
n
=
C
+ lim
n
→∞
T
n
=
C
+
T .
Ako je konstanta
C
6
= 0, oˇcigledno je
S
6
=
T
. Dakle, konaˇcan broj
m
−
1 ˇclanova ne utiˇce
na konvergenciju reda, ali utiˇce na zbir konvergentnog reda. Tako geometrijski redovi
∞
P
k
=0
q
k
i
∞
P
k
=1
q
k
istovremeno konvergiraju (
|
q
|
<
1) ili divergiraju (
|
q
| ≥
1). Med¯utim, u
sluˇcaju
|
q
|
<
1, prema Primeru 2.1.3 je
S
=
∞
X
k
=0
q
k
=
1
1
−
q
,
dok je
T
=
∞
X
k
=1
q
k
=
−
1 +
∞
X
k
=0
q
k
=
−
1 +
1
1
−
q
=
q
1
−
q
6
=
S .
4
2.2. Pozitivni redovi
Definicija 2.2.1.
Red
∞
P
k
=1
a
k
naziva se
red sa pozitivnim ˇclanovima
ili
pozitivan red
ako je
a
k
≥
0 za svako
k
∈
N
.
Definicija 2.2.2.
Red
∞
P
k
=1
a
k
je
red sa negativnim ˇclanovima
ili
negativan
red
ako je
a
k
≤
0 za svako
k
∈
N
.
Red koji ima konaˇcno mnogo negativnih ˇclanova, a svi ostali su nenega-
tivni, takod¯e zovemo pozitivnim redom. Analogno, red je negativan i ako je
konaˇcno mnogo njegovih ˇclanova pozitivno.
Teorema 2.2.1.
Pozitivan red
∞
P
k
=1
a
k
je konvergentan ili odred¯eno diver-
gira ka
+
∞
.
14
TEORIJA REDOVA
Dokaz.
Neka je
S
n
=
n
X
k
=1
a
k
,
S
n
+1
=
n
+1
X
k
=1
a
k
.
Tada je
S
n
+1
=
S
n
+
a
n
+1
.
Kako je
a
n
+1
≥
0, vaˇzi
S
n
+1
≥
S
n
za svako
n
∈
N
. Dakle, niz parcijal-
nih suma (
S
n
) je neopadaju´ci. Ukoliko je niz (
S
n
) ograniˇcen, prema Teo-
remi 1.1.2 on je i konvergentan. Ako (
S
n
) nije ograniˇcen, on je divergentan.
Pri tome, zbog
S
n
+1
≥
S
n
za svako
n
∈
N
, niz (
S
n
) odred¯eno divergira
ka +
∞
.
Teorema 2.2.2.
Pozitivan red
∞
P
k
=1
a
k
je konvergentan ako i samo ako je
niz parcijalnih suma
(
S
n
)
ograniˇcen.
Dokaz.
U Teoremi 2.2.1 smo pokazali da je niz (
S
n
) neopadaju´ci i da iz
ograniˇcenosti niza (
S
n
) sledi konvergencija reda
∞
P
k
=1
a
k
. Sada pokazujemo
obrnuto.
Neka je
∞
P
k
=1
a
k
konvergentan red. Tada postoji zbir
S
=
∞
P
k
=1
a
k
i vaˇzi
S
=
∞
X
k
=1
a
k
=
n
X
k
=1
a
k
+
∞
X
k
=
n
+1
a
k
=
S
n
+
R
n
.
Kako je
a
k
≥
0 za svako
k
∈
N
, to je
R
n
≥
0, pa je
S
≥
S
n
za svako
n
∈
N
. Dakle, niz (
S
n
) je ograniˇcen.
NAPOMENA 2.2.1. Neopadaju´ci niz (
a
n
) je uvek ograniˇcen odozdo svojim prvim
ˇclanom jer je
a
1
≤
a
2
≤ · · ·
.
Zato se ograniˇcenost niza svodi na ograniˇcenost s gornje strane. Analogno, ograniˇcenost
nerastu´ceg niza znaˇci ograniˇcenost s donje strane.
U prethodnim teoremama smo imali neopadaju´ci niz parcijalnih suma (
S
n
), pa smo
pod ograniˇcenoˇs´cu podrazumevali ograniˇcenost odozgo.
4
Vratimo se na negativne redove i posmatrajmo
∞
P
k
=1
b
k
sa
b
k
≤
0 za svako
k
∈
N
. Neka je
a
k
=
|
b
k
|
. Tada je
b
k
=
−
a
k
. Prema Teoremi 2.1.1, za
16
TEORIJA REDOVA
PRIMER 2.2.1. Ispitati konvergenciju reda
(2.2.3)
∞
X
k
=1
ln
³
1 +
1
k
´
.
Stavimo
M
n
= ln
n
(
n
∈
N
). Niz (
M
n
) je rastu´ci jer je
M
n
= ln
n <
ln(
n
+ 1) =
M
n
+1
i vaˇzi
lim
n
→∞
M
n
= +
∞
.
Kako je
M
k
+1
−
M
k
= ln(
k
+ 1)
−
ln
k
= ln
k
+ 1
k
= ln
³
1 +
1
k
´
,
to je
∞
X
k
=1
ln
³
1 +
1
k
´
=
∞
X
k
=1
(
M
k
+1
−
M
k
)
,
tj. red (2.2.3) je red oblika (2.2.1). Prema prethodnom, zakljuˇcujemo da red (2.2.3)
divergira.
4
PRIMER 2.2.2. Ispitati konvergenciju reda
∞
X
k
=1
1
k
(
k
+ 1)
.
Stavimo
M
n
=
n
(
n
∈
N
). Niz (
M
n
) je rastu´ci i vaˇzi lim
n
→∞
M
n
= +
∞
. Kako je
1
M
k
−
1
M
k
+1
=
1
k
−
1
k
+ 1
=
1
k
(
k
+ 1)
,
to je
∞
X
k
=1
1
k
(
k
+ 1)
=
∞
X
k
=1
³
1
M
k
−
1
M
k
+1
´
,
pa je dati red oblika (2.2.2). Zato dati red konvergira i ima sumu
∞
X
k
=1
1
k
(
k
+ 1)
=
1
M
1
= 1
.
Do istog zakljuˇcka smo, samo na drugi naˇcin, doˇsli u Primeru 2.1.2.
4
BROJNI REDOVI
17
2.2.1. Poredbeni kriterijumi konvergencije
Navodimo nekoliko teorema kojima su uspostavljeni kriterijumi za ispiti-
vanje konvergencije pozitivnih redova. Kriterijumi su zasnovani na upored¯i-
vanju ˇclanova reda, pa otuda potiˇce ime poredbeni kriterijumi.
Teorema 2.2.3.
Neka su
∞
P
k
=1
a
k
i
∞
P
k
=1
b
k
pozitivni redovi za ˇcije ˇclanove
vaˇzi
(2.2.4)
a
k
≤
b
k
za svako
k
∈
N
. Tada iz konvergencije reda
∞
P
k
=1
b
k
sledi konvergencija reda
∞
P
k
=1
a
k
. Takod¯e, iz divergencije reda
∞
P
k
=1
a
k
sledi divergencija reda
∞
P
k
=1
b
k
.
Dokaz.
Sa
S
n
i
T
n
oznaˇcimo parcijalne sume
S
n
=
n
X
k
=1
a
k
,
T
n
=
n
X
k
=1
b
k
.
Prema pretpostavci (2.2.4), za svako
n
∈
N
vaˇzi
S
n
≤
T
n
.
Pretpostavimo da je red
∞
P
k
=1
b
k
konvergentan. Prema Teoremi 2.2.2, niz
(
T
n
) je ograniˇcen, tj. postoji konstanta
M
(0
< M <
+
∞
) takva da je
T
n
< M
za svako
n
∈
N
. Tada je
S
n
≤
T
n
< M
, pa je i niz (
S
n
) ograniˇcen.
Ponovnom primenom Teoreme 2.2.2 zakljuˇcujemo da je red
∞
P
k
=1
a
k
konver-
gentan.
Obrnuto, neka je red
∞
P
k
=1
a
k
divergentan. Prema Teoremi 2.2.1, ovaj red
odred¯eno divergira ka +
∞
, ˇsto znaˇci da je
lim
n
→∞
S
n
= +
∞
.
Zbog
S
n
≤
T
n
, tada je i
lim
n
→∞
T
n
= +
∞
,
pa je red
∞
P
k
=1
b
k
takod¯e odred¯eno divergentan.
BROJNI REDOVI
19
je konvergentan. Tada je, prema Teoremi 2.1.1, konvergentan i red
∞
P
k
=1
1
k
2
.
4
PRIMER 2.2.4. Ispitati konvergenciju
harmonijskog reda
(2.2.7)
∞
X
k
=1
1
k
.
U Primeru 2.2.1 smo utvrdili da red
∞
X
k
=1
ln
³
1 +
1
k
´
divergira. Neka je
a
k
= ln
³
1 +
1
k
´
,
b
k
=
1
k
.
Tada je
b
k
6
= 0 za svako
k
∈
N
i
a
k
b
k
=
k
ln
³
1 +
1
k
´
= ln
³
1 +
1
k
´
k
,
odakle je
lim
k
→∞
a
k
b
k
= lim
k
→∞
ln
³
1 +
1
k
´
k
= ln
e
= 1
.
Prema (2.2.5) je
L
= 1
∈
(0
,
+
∞
)
,
pa primenjujemo Teoremu 2.2.4 i zakljuˇcujemo da je harmonijski red divergentan.
Interesantan dokaz divergencije harmonijskog reda, zasnovan na Teoremi 2.2.1, moˇze
se na´ci u [
4
], str. 7.
Primetimo na ovom mestu da za opˇsti ˇclan harmonijskog reda vaˇzi
lim
n
→∞
a
n
= lim
n
→∞
1
n
= 0
,
pa je ovaj red primer da obrnuto tvrd¯enje Teoremi 2.1.4 ne vaˇzi u opˇstem sluˇcaju.
4
PRIMER 2.2.5. Ispitati konvergenciju reda
(2.2.8)
∞
X
k
=1
1
k
p
(
p
= 2
,
3
, . . .
)
.
U Primeru 2.2.3 smo utvrdili da red
∞
P
k
=1
1
k
2
konvergira. Neka je
a
k
=
1
k
p
,
b
k
=
1
k
2
.
20
TEORIJA REDOVA
Tada je
a
k
b
k
6
= 0 za svako
k
∈
N
. Formiramo koliˇcnike
a
k
+1
a
k
=
1
(
k
+ 1)
p
1
k
p
=
³
k
k
+ 1
´
p
,
b
k
+1
b
k
=
1
(
k
+ 1)
2
1
k
2
=
³
k
k
+ 1
´
2
.
Kako je
k
k
+ 1
<
1
,
za svako
k
∈
N
i kako je
p
≥
2, to je
a
k
+1
a
k
=
³
k
k
+ 1
´
p
≤
³
k
k
+ 1
´
2
=
b
k
+1
b
k
,
pa je uslov (2.2.6) ispunjen. Prema Teoremi 2.2.5 iz konvergencije reda
∞
P
k
=1
1
k
2
sledi
konvergencija reda (2.2.8). Red (2.2.8) je specijalni sluˇcaj hiperharmonijskog reda kada
je
p
= 2
,
3
, . . .
prirodan broj. Opˇsti sluˇcaj, kada je
p
∈
R
, razmatramo kasnije.
4
2.2.2. Ostali kriterijumi konvergencije
Teorema 2.2.6.
(
CAUCHYEV KRITERIJUM
)
Neka je
∞
P
k
=1
a
k
pozitivan red.
Ako postoje
m
∈
N
i
q
(0
< q <
1)
tako da je
(2.2.9)
n
√
a
n
≤
q <
1
za svako
n
≥
m
, red
∞
P
k
=1
a
k
je konvergentan. Ako je
n
√
a
n
≥
1
za svako
n
≥
m
, red
∞
P
k
=1
a
k
divergira.
Dokaz.
Iz nejednakosti (2.2.9) sledi
a
n
≤
q
n
za svako
n
≥
m
. Kako je
0
< q <
1, prema Primeru 2.1.3 geometrijski red
∞
P
k
=0
q
k
je konvergentan.
Prema Teoremi 2.1.3, tada je konvergentan i red
∞
P
k
=
m
q
k
. Zbog nejednakosti
a
n
≤
q
n
i prema Teoremi 2.2.3 sledi konvergencija reda
∞
P
k
=1
a
k
.
22
TEORIJA REDOVA
Ako je
a
n
+1
a
n
≥
1 =
1
1
, prema Teoremi 2.2.5 iz divergencije reda
∞
P
k
=1
1
(videti Primer 2.1.3) sledi divergencija reda
∞
P
k
=1
a
k
.
Kao i kod Cauchyevog kriterijuma, jednostavnija za primenu je slede´ca
posledica Teoreme 2.2.8.
Teorema 2.2.9.
(
D’ALAMBERTOV KRITERIJUM
)
Neka je
∞
P
k
=1
a
k
pozitivan
red sa
a
k
6
= 0
za svako
k
∈
N
i neka je
(2.2.12)
L
= lim
n
→∞
a
n
+1
a
n
.
Ako je
L <
1
, red
∞
P
k
=1
a
k
konvergira. Ako je
L >
1
, red
∞
P
k
=1
a
k
divergira.
Teoremama 2.2.7 i 2.2.9 nije obuhva´cen sluˇcaj
L
= 1. Razlog je u ˇcinjenici
da za
L
= 1 red moˇze da bude konvergentan, ali i divergentan. Na primer,
kod harmonijskog reda
∞
P
k
=1
1
k
je
lim
n
→∞
n
√
a
n
= lim
n
→∞
a
n
+1
a
n
= 1
,
a taj red je divergentan. Istovremeno, hiperharmonijski red
∞
P
k
=1
1
k
2
je kon-
vergetan, a takod¯e vaˇzi
lim
n
→∞
n
√
a
n
= lim
n
→∞
a
n
+1
a
n
= 1
.
NAPOMENA 2.2.3. Graniˇcna vrednost lim
n
→∞
n
√
a
n
= 1 kod harmonijskog reda
∞
P
k
=1
1
k
je odred¯ena prema slede´cem. Neka je
f
(
x
) =
x
x
za
x >
0. Tada je ln
f
=
x
ln
x
, pa je
redom:
lim
x
→
0
(ln
f
) = lim
x
→
0
(
x
ln
x
) = lim
x
→
0
ln
x
1
x
= lim
x
→
0
1
x
−
1
x
2
= lim
x
→
0
(
−
x
) = 0
,
ln( lim
x
→
0
f
) = 0
,
lim
x
→
0
f
= lim
x
→
0
x
x
=
e
0
= 1
.
BROJNI REDOVI
23
Pri nalaˇzenju lim
x
→
0
(ln
f
) je upotrebljeno L’Hospitalovo pravilo. Za
a
n
=
1
n
je
lim
n
→∞
n
√
a
n
= lim
n
→∞
n
r
1
n
= lim
n
→∞
³
1
n
´
1
/n
,
ˇsto je samo diskretan oblik graniˇcne vrednosti lim
x
→
0
x
x
(videti [
5
], str. 72–78).
Za hiperharmonijski red
∞
P
k
=1
1
k
2
je lim
n
→∞
n
√
a
n
= 1 odred¯en na isti naˇcin, polaze´ci od
funkcije
f
(
x
) =
x
2
x
za
x >
0.
4
Cauchyev kriterijum je precizniji od D’Alambertovog jer iz (2.2.12) sledi
(2.2.10), dok obrnuto ne mora da vaˇzi ([
5
], str. 51–53). Taˇcnije, postoje
sluˇcajevi u kojima pomo´cu D’Alambertovog ne moˇze, a pomo´cu Cauchyevog
kriterijuma moˇze da se utvrdi konvergencija (divergencija) reda.
PRIMER 2.2.6. Ispitati konvergenciju reda
∞
X
k
=1
³
k
−
1
k
+ 1
´
k
(
k
+1)
.
Za
a
n
=
³
n
−
1
n
+ 1
´
n
(
n
+1)
formiramo
n
√
a
n
=
n
r³
n
−
1
n
+ 1
´
n
(
n
+1)
=
³
n
−
1
n
+ 1
´
n
+1
=
³
1
−
2
n
+ 1
´
n
+1
i nalazimo graniˇcnu vrednost (2.2.10),
L
= lim
n
→∞
n
√
a
n
= lim
n
→∞
³
1
−
2
n
+ 1
´
n
+1
= lim
n
→∞
·³
1
−
2
n
+ 1
´
−
n
+1
2
¸
−
2
=
e
−
2
.
Broj
e
≈
2
.
718
>
1 je transcedentan broj. Ovaj broj se prvi put sre´ce u Napierovom
radu. Kako je
L
=
1
e
2
<
1, prema Cauchyevom kriterijumu (Teorema 2.2.7) dati red
konvergira.
4
PRIMER 2.2.7. Ispitati konvergenciju reda
∞
X
k
=1
k
3
³
c
+
1
k
´
k
,
gde je
c >
0 proizvoljan realan broj.
BROJNI REDOVI
25
PRIMER 2.2.9. Ispitati konvergenciju reda
∞
X
k
=1
1
c
k
+ 1
,
gde je
c >
0 proizvoljan realan broj.
Za
a
n
=
1
c
n
+ 1
formiramo koliˇcnik
a
n
+1
a
n
=
1
c
n
+1
+ 1
1
c
n
+ 1
=
c
n
+ 1
c
n
+1
+ 1
=
1 +
1
c
n
c
+
1
c
n
,
i nalazimo graniˇcnu vrednost (2.2.12). Za
c
≤
1 imamo
L
= lim
n
→∞
a
n
+1
a
n
= lim
n
→∞
c
n
+ 1
c
n
+1
+ 1
= 1
,
a za
c >
1 imamo
L
= lim
n
→∞
a
n
+1
a
n
= lim
n
→∞
1 +
1
c
n
c
+
1
c
n
=
1
c
<
1
.
Primenom D’Alambertovog kriterijuma zakljuˇcujemo slede´ce. Za
c >
1 je
L <
1, pa
posmatrani red konvergira. Za
c
≥
1 je
L
= 1, pa se ne zna da li red konvergira ili
divergira. Med¯utim, za
c <
1 i
c
= 1 je redom:
lim
n
→∞
a
n
= lim
n
→∞
1
c
n
+ 1
= 1
6
= 0
,
lim
n
→∞
a
n
= lim
n
→∞
1
2
=
1
2
6
= 0
,
pa red divergira prema Teoremi 2.1.4.
Dakle, dati red konvergira za
c >
1 i divergira za
c
≤
1.
4
Osim Cauchyevog i D’Alambertovog kriterijuma, med¯u poznatije krite-
rijume spadaju i
Kummerov
,
Raabeov
i
Gaussov
, koji su detaljno opisani
u [
4
], str. 17-22. U razmatranje ovih kriterijuma ne´cemo da se upuˇstamo,
samo pominjemo njihov med¯usobni odnos. Kummerov kriterijum je opˇstijeg
tipa, koji se u specijalnim sluˇcajevima svodi na D’Alambertov ili Raabeov
kriterijum. Pri tome je Raabeov precizniji od D’Alambertovog kriterijuma.
Gaussov kriterijum je precizniji i od Raabeovog.
Navedimo joˇs jedan, ˇcesto primenjivani kriterijum.
Teorema 2.2.10.
(
CAUCHYEV INTEGRALNI KRITERIJUM
)
Neka je realna
funkcija
f
(
x
) (
x
∈
R
)
pozitivna, neprekidna i nerastu´ca za svako
x > x
0
≥
0
.
26
TEORIJA REDOVA
Takod¯e, neka je
a
k
=
f
(
k
)
za svako
k
≥
m
= [
x
0
] + 1 (
k
∈
N
)
, gde je
[
x
0
]
celobrojni deo od
x
0
. Tada red
∞
P
k
=
m
a
k
i nesvojstveni integral
R
+
∞
m
f
(
x
)
dx
istovremeno konvergiraju ili divergiraju.
Zbog Teoreme 2.1.3, pod uslovima Teoreme 2.2.10 vaˇzi da i
∞
X
k
=1
a
k
,
Z
+
∞
m
f
(
x
)
dx
istovremeno konvergiraju ili divergiraju.
NAPOMENA 2.2.4. Ako je
x
0
≥
1, moˇze da se uzme
m
= [
x
0
].
4
PRIMER 2.2.10. Ispitati konvergenciju
hiperharmonijskog reda
(2.2.13)
∞
X
k
=1
1
k
p
,
gde je
p
∈
R
proizvoljan broj.
Posmatrajmo funkciju
f
(
x
) =
1
x
p
.
Ova funkcija je pozitivna, neprekidna i nerastu´ca za svako
x >
0 i
p >
0, pa uzimamo
x
0
= 0. Kako je
m
= [
x
0
] + 1 = 1, stavljamo
a
k
=
1
k
p
=
f
(
k
)
za svako
k
≥
m
= 1, tj. za svako
k
∈
N
. Primenjujemo Teoremu 2.2.10 i nalazimo
Z
+
∞
m
f
(
x
)
dx
=
Z
+
∞
1
dx
x
p
=
x
−
p
+1
−
p
+ 1
¯
¯
¯
+
∞
1
,
p
6
= 1
,
ln
x
¯
¯
¯
+
∞
1
,
p
= 1
,
=
+
∞
,
p <
1
,
1
p
−
1
,
p >
1
,
+
∞
,
p
= 1
,
=
+
∞
,
p
≤
1
,
1
p
−
1
,
p >
1
.
Za
p
≤
0 red (2.2.13) divergira prema Teoremi 2.1.4.
Dakle, nesvojstveni integral, a time i hiperharmonijski red (2.2.13), konvergira za
p >
1
i divergira za
p
≤
1.
4
28
TEORIJA REDOVA
zakljuˇcujemo da
∞
P
k
=4
a
k
konvergira, pa konvergira i
∞
X
k
=1
a
k
=
∞
X
k
=1
1
(
k
−
4)
2
+ 1
.
4
Cauchyev integralni kriterijum moˇze da se iskaˇze i na slede´ci naˇcin.
Teorema 2.2.11.
(
CAUCHYEV INTEGRALNI KRITERIJUM
)
Neka je realna
funkcija
f
(
x
) (
x
∈
R
)
pozitivna, neprekidna i opadaju´ca za svako
x >
0
.
Tada postoji konaˇcna graniˇcna vrednost
lim
n
→∞
µ
n
X
k
=1
a
k
−
Z
n
1
f
(
x
)
dx
¶
,
gde je
a
k
=
f
(
k
)
za svako
k
= 1
, . . . , n
(
n
∈
N
)
.
NAPOMENA 2.2.7. Funkcija
f
(
x
) =
1
x
zadovoljava uslove Teoreme 2.2.11, pa postoji
lim
n
→∞
³
n
X
k
=1
1
k
−
Z
n
1
dx
x
´
,
tj. postoji
γ
= lim
n
→∞
³
n
X
k
=1
1
k
−
ln
n
´
.
Broj
γ
se zove Eulerova konstanta i iznosi
γ
≈
0
.
577. Joˇs uvek nije poznata priroda
broja
γ
, tj. ne zna se da li je
γ
algebarski ili transcedentan, ˇcak ni da li je racionalan ili
iracionalan broj.
4
Na kraju ove celine, pomenimo joˇs
Cauchyev opˇsti princip
konvergencije,
koji je zasnovan na Teoremi 1.1.4 za niz parcijalnih suma (
S
n
). Cauchyev
opˇsti princip je od velike teorijske vaˇznosti, ali se u praksi retko koristi jer
je komplikovan za primenu (videti [
4
], str. 25).
2.3. Alternativni redovi
Definicija 2.3.1.
Red
∞
P
k
=1
a
k
je
alternativni red
ako njegovi ˇclanovi naiz-
meniˇcno menjaju znak, tj. ako za svako
k
∈
N
vaˇzi
a
k
a
k
+1
<
0
.
BROJNI REDOVI
29
Prema definiciji, u alternativnom redu
∞
P
k
=1
a
k
je
a
1
<
0
,
a
2
>
0
,
a
3
<
0
,
a
4
>
0
, . . .
ili
a
1
>
0
,
a
2
<
0
,
a
3
>
0
,
a
4
<
0
, . . . .
Promena znaka ˇclanova reda se reguliˇse drugaˇcijim oznakama:
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
b
k
,
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
+1
b
k
,
gde je
b
k
=
|
a
k
|
>
0 za svako
k
∈
N
. Umesto prethodnih, bez dovod¯enja u
zabunu, nadalje koristimo standardne oznake:
(2.3.1)
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
a
k
,
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
+1
a
k
,
gde je
a
k
>
0 za svako
k
∈
N
. Kako je
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
+1
a
k
=
−
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
a
k
,
svejedno je koji od redova iz (2.3.1) razmatramo.
Definicije i teoreme navedene u delu 2.1 vaˇze za sve brojne, pa i za al-
ternativne redove. Med¯utim, kriterijumi konvergencije pozitivnih redova ne
vaˇze za alternativne redove. Zato su izvedeni drugi kriterijumi, od kojih je
najpoznatiji Leibnizov.
Teorema 2.3.1.
(
LEIBNIZOV KRITERIJUM
)
Alternativni red
(2.3.2)
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
+1
a
k
je konvergentan ako je niz
(
a
n
)
n
∈
N
nerastu´ci i
lim
n
→∞
a
n
= 0
.
Ostatak
R
n
konvergentnog reda
(2
.
3
.
2)
je po modulu manji od prvog zane-
marenog ˇclana, tj.
|
R
n
| ≤
a
n
+1
,
i ima isti znak
(
−
1)
n
kao taj ˇclan.
BROJNI REDOVI
31
S obzirom na pretpostavku
a
k
−
a
k
+1
≥
0 za svako
k
∈
N
, zbir u uglastoj
zagradi je nenegativan, pa
R
n
ima znak (
−
1)
n
, koji stoji uz
a
n
+1
. Drugim
reˇcima, ostatak
R
n
ima isti znak kao prvi zanemareni ˇclan (
−
1)
n
a
n
+1
.
Dalje, za zbir u uglastoj zagradi vaˇzi
(
a
n
+1
−
a
n
+2
) + (
a
n
+3
−
a
n
+4
) +
· · ·
=
a
n
+1
−
(
a
n
+2
−
a
n
+3
)
−
(
a
n
+4
−
a
n
+5
)
− · · · ≤
a
n
+1
.
Imaju´ci u vidu nenegativnost ovog zbira, dobijamo
|
R
n
|
=
¯
¯
(
a
n
+1
−
a
n
+2
) + (
a
n
+3
−
a
n
+4
) +
· · ·
¯
¯
≤
a
n
+1
,
tj.
R
n
je po modulu manji od prvog zanemarenog ˇclana. Ovim je teorema
u potpunosti dokazana.
PRIMER 2.3.1. Ispitati konvergenciju reda
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
+1
1
k
.
Ovde je
a
n
=
1
n
,
pa niz (
a
n
)
n
∈
N
opada i lim
n
→∞
a
n
= 0. Prema Leibnizovom kriterijumu dati alternativni
red konvergira. Ostatak
R
n
ima znak (
−
1)
n
+2
= (
−
1)
n
i vaˇzi
|
R
n
|
< a
n
+1
=
1
n
+ 1
.
4
PRIMER 2.3.2. Ispitati konvergenciju reda
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
k
k
3
+ 1
.
Ovde je
a
n
=
n
n
3
+ 1
,
pa niz (
a
n
)
n
∈
N
opada i lim
n
→∞
a
n
= 0. Prema Leibnizovom kriterijumu dati alternativni
red konvergira. Ostatak
R
n
ima znak (
−
1)
n
+1
i vaˇzi
|
R
n
|
< a
n
+1
=
n
+ 1
(
n
+ 1)
3
+ 1
.
4
32
TEORIJA REDOVA
2.4. Redovi sa proizvoljnim ˇ
clanovima
Alternativni redovi su specijalan sluˇcaj redova sa proizvoljnim ˇclanovima.
Redovi sa proizvoljnim ˇclanovima
su oni ˇciji ˇclanovi imaju razliˇcit znak, pri
ˇcemu promena znaka ne mora da podleˇze nekoj posebnoj pravilnosti kao kod
alternativnih redova.
Kod redova sa proizvoljnim ˇclanovima, ukljuˇcuju´ci i alternativne redove,
razlikuju se dve vrste konvergencije: apsolutna i uslovna konvergencija.
Definicija 2.4.1.
Red sa proizvoljnim ˇclanovima
∞
P
k
=1
a
k
apsolutno kon-
vergira
ako konvergira pozitivan red
∞
P
k
=1
|
a
k
|
.
Iz Definicije 2.4.1 je oˇcigledno da je apsolutna konvergencija nekog reda
isto ˇsto i konvergencija odgovaraju´ceg pozitivnog reda. Zato za ispitivanje
apsolutne konvergencije mogu da se koriste svi kriterijumi navedeni u delu
2.2.
Teorema 2.4.1.
(
CAUCHYEVA TEOREMA
)
Ako je red
∞
P
k
=1
a
k
apsolutno
konvergentan, on je i konvergentan.
Dokaz.
Formiramo nove redove
∞
P
k
=1
b
k
i
∞
P
k
=1
c
k
sa opˇstim ˇclanovima
b
n
=
1
2
¡
|
a
n
|
+
a
n
¢
,
c
n
=
1
2
¡
|
a
n
| −
a
n
¢
i prime´cujemo da je
a
n
=
b
n
−
c
n
.
Kako je
a
n
≤ |
a
n
|
za svako
n
∈
N
, to je
b
n
≥
0
,
c
n
≥
0
,
b
n
≤
1
2
¡
|
a
n
|
+
|
a
n
|
¢
=
|
a
n
|
za svako
n
∈
N
. Zbog
−|
a
n
| ≤
a
n
, tj.
−
a
n
≤ |
a
n
|
za svako
n
∈
N
, takod¯e je
c
n
≤
1
2
¡
|
a
n
|
+
|
a
n
|
¢
=
|
a
n
|
za svako
n
∈
N
. Dakle, redovi
∞
P
k
=1
b
k
i
∞
P
k
=1
c
k
su pozitivni i za njihove opˇste
ˇclanove vaˇze nejednakosti
b
n
≤ |
a
n
|
,
c
n
≤ |
a
n
|
.
34
TEORIJA REDOVA
i nalazimo
L
= lim
n
→∞
|
a
n
|
b
n
= lim
n
→∞
n
3
n
3
+ 1
= 1
.
Zbog
L
= 1
∈
(0
,
+
∞
), red
∞
P
k
=1
|
a
k
|
konvergira, tj. dati red
∞
P
k
=1
a
k
apsolutno konvergira.
Prema Cauchyevoj teoremi, dati red
∞
P
k
=1
a
k
konvergira. Ovu ˇcinjenicu smo ve´c utvrdili
u Primeru 2.3.2 pomo´cu Leibnizovog kriterijuma jer je
∞
P
k
=1
a
k
alternativni red.
4
PRIMER 2.4.2. Ispitati apsolutnu konvergenciju reda
(2.4.1)
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
+1
1
2
k
−
1
.
Opˇsti ˇclan datog reda je
a
n
= (
−
1)
n
+1
1
2
n
−
1
,
pa je
|
a
n
|
=
1
2
n
−
1
.
Red
∞
X
k
=1
|
a
k
|
=
∞
X
k
=1
1
2
k
−
1
=
∞
X
k
=0
1
2
k
je geometrijski red (2.1.7) sa
q
= 1
/
2
<
1. U Primeru 2.1.3 smo pokazali da ovaj red
konvergira i ima sumu (2.1.8), tj.
S
=
∞
X
k
=0
1
2
k
=
1
1
−
1
2
= 2
.
Zato red (2.4.1) apsolutno konvergira i, prema Cauchyevoj teoremi, konvergira.
Primetimo da je (2.4.1) alternativni red, pa smo njegovu konvergenciju (ne i apsolutnu
konvergenciju) mogli jednostavno da utvrdimo pomo´cu Leibnizovog kriterijuma. Pomo´cu
ovog kriterijuma moˇzemo da dobijemo i procenu ostatka
|
R
n
|
=
¯
¯
¯
∞
X
k
=
n
+1
(
−
1)
k
+1
1
2
k
−
1
¯
¯
¯
<
1
2
n
,
ali ne i zbir reda. Med¯utim, kako je (
−
1)
k
+1
= (
−
1)
k
−
1
, red (2.4.1) moˇzemo da zapiˇsemo
u obliku geometrijskog reda (2.1.7), tj.
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
−
1
1
2
k
−
1
=
∞
X
k
=1
³
−
1
2
´
k
−
1
=
∞
X
k
=0
³
−
1
2
´
k
.
BROJNI REDOVI
35
Ovde je
q
=
−
1
/
2 i
|
q
|
<
1, pa red (2.4.1) konvergira prema Primeru 2.1.3 i ima zbir
(2.1.8), tj.
S
=
∞
X
k
=0
(
−
1)
k
1
2
k
=
1
1 +
1
2
=
2
3
.
4
PRIMER 2.4.3. Ispitati apsolutnu konvergenciju reda
(2.4.2)
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
+1
1
k
.
Opˇsti ˇclan datog reda je
a
n
= (
−
1)
n
+1
1
n
,
pa je
|
a
n
|
=
1
n
.
Red
∞
X
k
=1
|
a
k
|
=
∞
X
k
=1
1
k
je harmonijski red (2.2.7), za koji smo u Primeru 2.2.4 utvrdili da divergira. Dakle, red
(2.4.2) ne konvergira apsolutno.
S druge strane, u Primeru 2.3.1 smo ustanovili da red (2.4.2) konvergira. Prema Defini-
ciji 2.4.2, posmatrani red (2.4.2) uslovno konvergira.
4
Na kraju, bez dokaza navodimo neke znaˇcajne teoreme, koje se odnose na
konvergenciju brojnih redova.
Teorema 2.4.2.
(
DIRICHLETOVA TEOREMA
)
Zbir konvergentnog pozi-
tivnog reda ostaje nepromenjen ako se poredak njegovih ˇclanova proizvoljno
promeni.
Neposredna posledica Teoreme 2.4.2 je da
zbir apsolutno konvergentnog
reda ostaje isti pri proizvoljnoj izmeni poretka njegovih ˇclanova
.
Teorema 2.4.3.
Neka je
∞
P
k
=1
a
k
semikonvergentan red i neka su redovi
∞
P
i
=1
b
k
i
,
∞
P
i
=1
c
k
i
formirani samo od pozitivnih, odnosno samo od negativnih
ˇclanova reda
∞
P
k
=1
a
k
, redom. Tada pozitivan red
∞
P
i
=1
b
k
i
odred¯eno divergira ka
+
∞
, a negativan red
∞
P
i
=1
c
k
i
odred¯eno divergira ka
−∞
.
Teorema 2.4.4.
(
RIEMANN–DINIEV STAV
)
Zbir semikonvegentnog reda
zavisi od poretka njegovih ˇclanova. Preciznije, ˇclanovi semikonvergentnog
BROJNI REDOVI
37
PRIMER 2.4.5. Ispitati konvergenciju reda
1 +
1
√
3
−
1
√
2
+
1
√
5
+
1
√
7
−
1
√
4
+
1
√
9
+
1
√
11
−
1
√
6
+
· · ·
.
Dati red ´cemo odmah, grupiˇsu´ci njegove ˇclanove, ali ne menjaju´ci im poredak, da
zapiˇsemo u obliku
(2.4.4)
∞
X
k
=1
³
1
√
4
k
−
3
+
1
√
4
k
−
1
−
1
√
2
k
´
.
Opˇsti ˇclan ovog reda je
a
n
=
1
√
4
n
−
3
+
1
√
4
n
−
1
−
1
√
2
n
=
1
√
n
Ã
1
q
4
−
3
n
+
1
q
4
−
1
n
−
1
√
2
!
.
Neka je
b
n
=
1
√
n
opˇsti ˇclan hiperharmonijskog reda (2.2.13), sa
p
= 1
/
2, za koji je u Primeru 2.2.10 ve´c
pokazano da divergira. Primenom poredbenog kriterijuma datog u Teoremi 2.2.4, nalazi-
mo
L
= lim
n
→∞
a
n
b
n
= lim
n
→∞
Ã
1
q
4
−
3
n
+
1
q
4
−
1
n
−
1
√
2
!
=
1
√
4
+
1
√
4
−
1
√
2
= 1
−
1
√
2
∈
(0
,
+
∞
)
,
pa red (2.4.4) divergira kao i red (2.2.13).
S druge strane, posmatrajmo alternativni red
(2.4.5)
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
+1
1
√
k
= 1
−
1
√
2
+
1
√
3
−
1
√
4
+
· · ·
,
ˇcija konvergencija se lako utvrd¯uje prema Leibnizovom kriterijumu. Med¯utim, red (2.4.5)
je semikonvergentan jer je divergentan red
∞
X
k
=1
¯
¯
¯
(
−
1)
k
+1
1
√
k
¯
¯
¯
=
∞
X
k
=1
1
√
k
.
Upored¯ivanjem redova (2.4.4) i (2.4.5), lako vidimo da je red (2.4.4) nastao iz reda
(2.4.5) promenom poretka ˇclanova. Posle svaka dva uzastopna pozitivna ˇclana reda (2.4.5)
uzet po jedan negativan ˇclan iz niza
³
−
1
√
2
,
−
1
√
4
, . . .
´
.
Dakle, red (2.4.4) ima iste ˇclanove kao i red (2.4.5), samo drugaˇcije pored¯ane. Kako red
(2.4.5) konvergira, a red (2.4.4) divergira, ovim primerom smo ilustrovali Riemann–Diniev
stav u celini.
4
3. FUNKCIONALNI REDOVI
3.1. Definicija, konvergencija i
uniformna konvergencija
Definicija 3.1.1.
Neka je
¡
f
k
(
x
)
¢
∞
k
=1
funkcionalni niz. Beskonaˇcni zbir
funkcija
(3.1.1)
∞
X
k
=1
f
k
(
x
) =
f
1
(
x
) +
f
2
(
x
) +
· · ·
+
f
n
(
x
) +
· · ·
zove se
funkcionalni red
.
Funkcije
f
1
(
x
)
, f
2
(
x
)
, . . .
su ˇclanovi reda, a
f
n
(
x
) je
opˇsti ˇclan
reda (3.1.1).
I svaki drugi beskonaˇcni zbir funkcija
(3.1.2)
∞
X
k
=
m
f
k
(
x
) =
f
m
(
x
) +
f
m
+1
(
x
) +
· · ·
(
m
∈
N
0
)
zove se funkcionalni red. U opˇstem sluˇcaju je
m
6
= 1, pa se redovi (3.1.1) i
(3.1.2) razlikuju za konaˇcno mnogo poˇcetnih ˇclanova.
Definicija 3.1.2.
Zbir prvih
n
ˇclanova
(3.1.3)
S
n
(
x
) =
n
X
k
=1
f
k
(
x
) =
f
1
(
x
) +
· · ·
+
f
n
(
x
) (
n
∈
N
)
je
n
–ta parcijalna suma
reda (3.1.1).
Oˇcigledno je
S
n
(
x
) funkcija, definisana na istom podruˇcju
D
⊆
R
kao i
ˇclanovi niza
f
k
(
x
) (
k
∈
N
).
38
40
TEORIJA REDOVA
Definicija 3.1.5.
Red
∞
P
k
=1
f
k
(
x
)
konvergira na intervalu
(
α, β
) ako niz
parcijalnih suma
¡
S
n
(
x
)
¢
n
∈
N
konvergira na intervalu (
α, β
).
Ako postoji, graniˇcna funkcija
S
(
x
) = lim
n
→∞
S
n
(
x
)
,
x
∈
(
α, β
)
,
je
suma
(
zbir
)
reda
(3.1.1) i zapisuje se sa
(3.1.6)
S
(
x
) =
∞
X
k
=1
f
k
(
x
)
.
Konvergencija na intervalu, u stvari, znaˇci konvergenciju u svakoj taˇcki
tog intervala.
Uniformna konvergencija se definiˇse samo na intervalu, ne i u taˇcki.
Definicija 3.1.6.
Red
∞
P
k
=1
f
k
(
x
)
uniformno
(
ravnomerno
)
konvergira
na
intervalu (
α, β
) ka funkciji
S
(
x
) ako niz parcijalnih suma
¡
S
n
(
x
)
¢
n
∈
N
uni-
formno konvergira ka
S
(
x
) na istom intervalu.
Za funkcionalne redove vaˇzi tvrd¯enje analogno Teoremi 1.2.1 kod funkcio-
nalnih nizova.
Teorema 3.1.1.
Ako je red
∞
P
k
=1
f
k
(
x
)
uniformno konvergentan na inter-
valu
(
α, β
)
, tada je on i konvergentan na tom intervalu. Obrnuto u opˇstem
sluˇcaju ne vaˇzi.
Teorema 3.1.1 je neposredna posledica Definicije 3.1.6, Teoreme 1.2.1 i
Definicije 3.1.5, redom. Prema ovoj teoremi, da bi red bio uniformno kon-
vergentan, pre svega mora da bude konvergentan.
Uniformna konvergencija je mnogo ˇceˇs´ca na intervalima oblika [
α, β
], nego
oblika (
α, β
). Zato ´cemo nadalje, ne umanjuju´ci opˇstost, uniformnu konver-
genciju da razmatramo samo na segmentima [
α, β
].
PRIMER 3.1.2. Ispitati konvergenciju i uniformnu konvergenciju reda
1 +
∞
X
k
=2
x
k
−
2
(
x
−
1)
.
Izuzimaju´ci prvi
f
1
(
x
) = 1, svi ostali ˇclanovi reda imaju isti oblik
f
k
(
x
) =
x
k
−
2
(
x
−
1) =
x
k
−
1
−
x
k
−
2
,
FUNKCIONALNI REDOVI
41
pa je
n
–ta parcijalna suma
S
n
(
x
) =
n
X
k
=1
f
k
(
x
)
= 1 + (
x
−
1) +
(
x
2
−
x
)
+
(
x
3
−
x
2
)
+
· · ·
+
(
x
n
−
1
−
x
n
−
2
)
=
x
n
−
1
(
n
∈
N
)
.
Niz
(
S
n
(
x
)
)
n
∈
N
=
(
x
n
−
1
)
n
∈
N
=
(
x
n
)
n
∈
N
0
je funkcionalni niz (1.2.1), ˇciju smo kon-
vergenciju ispitivali u Primeru 1.2.1 i doˇsli do slede´cih zakljuˇcaka. Niz
(
S
n
(
x
)
)
konvergira
na intervalu (
−
1
,
1] ka funkciji
S
(
x
) =
½
0
,
x
∈
(
−
1
,
1)
,
1
,
x
= 1
,
a uniformno konvergira na svakom segmentu [
−
r, r
]
⊂
(
−
1
,
1) ka funkciji
S
(
x
) = 0. Prema
Definicijama 3.1.5 i 3.1.6, za dati red vaˇzi isti zakljuˇcak.
4
Opˇste osobine funkcionalnih redova su iskazane slede´cim teoremama, koje
su analogne Teoremama 2.1.1–2.1.4 kod brojnih redova, pa ih navodimo bez
dokaza.
Teorema 3.1.2.
Neka je
∞
P
k
=1
f
k
(
x
)
konvergentan red na intervalu
(
α, β
)
sa sumom
S
(
x
) =
∞
X
k
=1
f
k
(
x
)
.
Takod¯e, neka je
c
(
x
)
proizvoljna realna funkcija, definisana i ograniˇcena
na istom intervalu
(
α, β
)
. Tada je na intervalu
(
α, β
)
konvergentan i red
∞
P
k
=1
c
(
x
)
f
k
(
x
)
sa sumom
c
(
x
)
S
(
x
) =
∞
X
k
=1
c
(
x
)
f
k
(
x
)
.
Teorema 3.1.3.
Neka su
∞
P
k
=1
f
k
(
x
)
,
∞
P
k
=1
g
k
(
x
)
konvergentni redovi na
(
α, β
)
sa sumama
S
1
(
x
) =
∞
X
k
=1
f
k
(
x
)
,
S
2
(
x
) =
∞
X
k
=1
g
k
(
x
)
.
FUNKCIONALNI REDOVI
43
gde je
0
< M
k
<
+
∞
za svako
k
∈
N
.
Ako je pozitivan brojni red
∞
P
k
=1
M
k
konvergentan, tada je funkcionalni red
∞
P
k
=1
f
k
(
x
)
uniformno konvergentan na
[
α, β
]
.
Dokaz.
Kako je red
∞
P
k
=1
M
k
konvergentan, prema Napomeni 2.1.2 za svako
ε >
0 postoji
N
(
ε
)
∈
N
tako da za svako
n
≥
N
(
ε
) vaˇzi
¯
¯
¯
∞
X
k
=
n
+1
M
k
¯
¯
¯
=
∞
X
k
=
n
+1
¯
¯
M
k
¯
¯
=
∞
X
k
=
n
+1
M
k
< ε .
Tada za svako
x
∈
[
α, β
] i svako
n
≥
N
(
ε
) vaˇzi
¯
¯
¯
∞
X
k
=
n
+1
f
k
(
x
)
¯
¯
¯
≤
∞
X
k
=
n
+1
¯
¯
f
k
(
x
)
¯
¯
≤
∞
X
k
=
n
+1
M
k
< ε
i, prema Napomeni 3.1.1, sledi tvrd¯enje.
PRIMER 3.1.3. Na [
α, β
] = [
−
1
,
1] ispitati uniformnu konvergenciju reda
∞
X
k
=0
x
k
2
k
.
Za
x
∈
[
−
1
,
1] i
f
k
(
x
) =
x
k
2
k
vaˇzi
¯
¯
¯
x
k
2
k
¯
¯
¯
≤
1
2
k
=
M
k
.
Brojni red
∞
X
k
=0
M
k
=
∞
X
k
=0
1
2
k
je geometrijski red (2.1.7) sa
q
= 1
/
2
<
1, pa je konvergentan prema Primeru 2.1.3. Pri-
menjuju´ci Weierstrassov kriterijum zakljuˇcujemo da je dati red uniformno konvergentan
na [
−
1
,
1].
4
Zbog velikog praktiˇcnog znaˇcaja, navodimo bez dokaza osobine uniformno
konvergentnih redova. Dokazi se mogu na´ci, npr., u [
4
], str. 43–46.
Teorema 3.1.7.
Neka su funkcije
f
k
(
x
)
neprekidne na
[
α, β
]
za svako
k
∈
N
i neka je red
∞
P
k
=1
f
k
(
x
)
uniformno konvergentan na
[
α, β
]
. Tada je
zbir
S
(
x
) =
∞
X
k
=1
f
k
(
x
)
44
TEORIJA REDOVA
neprekidna funkcija na
[
α, β
]
.
Teorema 3.1.8.
Neka su funkcije
f
k
(
x
)
neprekidne na
[
α, β
]
za svako
k
∈
N
i neka je red
∞
P
k
=1
f
k
(
x
)
uniformno konvergentan na
[
α, β
]
. Tada red
∞
P
k
=1
f
k
(
x
)
moˇze da se integrali ˇclan po ˇclan, tj. za svako
x
1
,
x
2
(
α
≤
x
1
≤
x
2
≤
β
)
vaˇzi
Z
x
2
x
1
³
∞
X
k
=1
f
k
(
x
)
´
dx
=
∞
X
k
=1
³Z
x
2
x
1
f
k
(
x
)
dx
´
.
Teorema 3.1.9.
Neka su funkcije
f
k
(
x
)
diferencijabilne i
f
0
k
(
x
)
nepre-
kidne na
[
α, β
]
za svako
k
∈
N
. Takod¯e, neka je red
∞
P
k
=1
f
k
(
x
)
konvergentan,
a red
∞
P
k
=1
f
0
k
(
x
)
uniformno konvergentan na
[
α, β
]
. Tada red
∞
P
k
=1
f
k
(
x
)
moˇze
da se diferencira ˇclan po ˇclan, tj. za svako
x
∈
[
α, β
]
vaˇzi
³
∞
X
k
=1
f
k
(
x
)
´
0
=
∞
X
k
=1
f
0
k
(
x
)
.
3.1.2. Apsolutna konvergencija
Osim konvergencije i uniformne konvergencije, kod funkcionalnih redova
se uvodi i pojam apsolutne konvergencije.
Definicija 3.1.7.
Red
∞
P
k
=1
f
k
(
x
)
apsolutno konvergira u taˇcki
x
=
x
0
∈
D
ako apsolutno konvergira brojni red
∞
P
k
=1
f
k
(
x
0
).
Definicija 3.1.8.
Red
∞
P
k
=1
f
k
(
x
)
apsolutno konvergira na intervalu
(
α, β
)
ako apsolutno konvergira u svakoj taˇcki tog intervala.
Imaju´ci u vidu Definicije 3.1.4 i 3.1.5, kao i Teoremu 2.4.1, jednostavno se
sagledava da iz apsolutne konvergencije sledi konvergencija, ali ne i obrnuto.
Apsolutna i uniformna konvergencija ne mogu da se porede na ovaj naˇcin.
46
TEORIJA REDOVA
Stepeni red je i svaki drugi red
∞
X
k
=
m
a
k
x
k
(
m
∈
N
0
)
,
koji se od reda (3.2.1) razlikuje za konaˇcno mnogo poˇcetnih ˇclanova. Nadalje
posmatramo redove sa
m
= 0, tj.
(3.2.2)
∞
X
k
=0
a
k
x
k
.
Oˇcigledno, svaki stepeni red konvergira u taˇcki
x
= 0 jer se svodi na
koeficijent
a
0
. Med¯utim, postoje stepeni redovi koji nisu konvergentni ni za
jedno
x
6
= 0.
Najpoznatiji kriterijum za utvrd¯ivanje konvergencije potencijalnih redova
je Abelov.
Teorema 3.2.1.
(
ABELOV STAV
)
Vaˇze slede´ca tvrd¯enja.
1
◦
Ako je stepeni red
∞
P
k
=0
a
k
x
k
konvergentan za neko
x
=
P
6
= 0
, on je
apsolutno konvergentan za svako
x
za koje je
|
x
|
<
|
P
|
.
2
◦
Ako je stepeni red
∞
P
k
=0
a
k
x
k
divergentan za neko
x
=
Q
6
= 0
, on je
divergentan za svako
x
za koje je
|
x
|
>
|
Q
|
.
Dokaz.
1
◦
Prema pretpostavci, brojni red
∞
P
k
=0
a
k
P
k
je konvergentan i,
prema Teoremi 2.1.4, za njegov opˇsti ˇclan vaˇzi lim
n
→∞
a
n
P
n
= 0. Zato postoji
konstanta
M
(0
< M <
+
∞
) takva da je
¯
¯
a
n
P
n
¯
¯
≤
M
za svako
n
∈
N
0
.
Kako je
P
6
= 0, dalje je
¯
¯
a
n
x
n
¯
¯
=
¯
¯
¯
a
n
P
n
x
n
P
n
¯
¯
¯
=
¯
¯
a
n
P
n
¯
¯
¯
¯
¯
x
P
¯
¯
¯
n
≤
M
¯
¯
¯
x
P
¯
¯
¯
n
.
Za svako fiksirano
x
i
q
=
¯
¯
¯
x
P
¯
¯
¯
, red
∞
P
k
=0
¯
¯
¯
x
P
¯
¯
¯
k
je geometrijski red (2.1.7),
koji konvergira za
|
q
|
=
¯
¯
¯
x
P
¯
¯
¯
<
1, tj.
|
x
|
<
|
P
|
. Prema Teoremi 2.1.1,
tada za
|
x
|
<
|
P
|
konvergira red
∞
P
k
=0
M
¯
¯
¯
x
P
¯
¯
¯
k
i, prema Teoremi 2.2.3, red
∞
P
k
=0
¯
¯
a
k
x
k
¯
¯
. Dakle, prema Definiciji 3.1.8, posmatrani stepeni red (3.2.2)
apsolutno konvergira.
FUNKCIONALNI REDOVI
47
2
◦
Pretpostavimo suprotno, da je red (3.2.2) konvergentan za neko
x
=
x
0
za koje je
|
x
0
|
>
|
Q
|
, tj.
−|
x
0
|
< Q <
|
x
0
|
. Prema tvrd¯enju 1
◦
, red (3.2.2)
je tada konvergentan za svako
x
za koje je
|
x
|
<
|
x
0
|
, tj.
−|
x
0
|
< x <
|
x
0
|
,
pa i za
x
=
Q
. Drugim reˇcima, konvergentan je brojni red
∞
P
k
=0
a
k
Q
k
, ˇsto je
suprotno pretpostavci teoreme.
Umesto Abelovog stava, u praksi se mnogo ˇceˇs´ce koristi njegova posledica.
Teorema 3.2.2.
Za svaki red
∞
P
k
=0
a
k
x
k
postoji broj
R
(0
≤
R
≤
+
∞
)
,
takav da vaˇzi:
1
◦
red
∞
P
k
=0
a
k
x
k
apsolutno konvergira za
|
x
|
< R
,
2
◦
red
∞
P
k
=0
a
k
x
k
divergira za
|
x
|
> R
.
Broj
R
, ˇciju egzistenciju obezbed¯uje prethodna teorema, zove se
polupre-
ˇcnik
ili
radijus konvergencije
. Ako je
R >
0, interval (
−
R, R
) je
interval
konvergencije
, tj. oblast konvergencije reda.
Odmah prime´cujemo da Teoreme 3.2.1 i 3.2.2 ne kazuju niˇsta o konver-
genciji reda za
|
x
|
=
R
, tj.
x
=
±
R
. Med¯utim, tada se red (3.2.2) svodi na
brojne redove
∞
X
k
=0
a
k
R
k
,
∞
X
k
=0
(
−
1)
k
a
k
R
k
,
pa treba ispitivati njihovu konvergenciju prema nekom od ranije navedenih
kriterijuma.
Polupreˇcnik konvergencije se najˇceˇs´ce odred¯uje primenom Cauchyevog
(Teorema 2.2.7) ili D’Alambertovog kriterijuma (Teorema 2.2.9), na slede´ci
naˇcin.
Za red (3.2.2) formiramo koliˇcnik
¯
¯
¯
¯
f
n
+1
(
x
)
f
n
(
x
)
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
a
n
+1
x
n
+1
a
n
x
n
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
a
n
+1
a
n
¯
¯
¯
|
x
|
.
Prema D’Alambertovom kriterijumu, za svako konkretno
x
6
= 0, brojni red
koji se dobija iz (3.2.2) apsolutno konvergira ako je
lim
n
→∞
¯
¯
¯
a
n
+1
a
n
¯
¯
¯
|
x
|
=
|
x
|
lim
n
→∞
¯
¯
¯
a
n
+1
a
n
¯
¯
¯
<
1
,
tj.
|
x
|
<
1
lim
n
→∞
¯
¯
¯
a
n
+1
a
n
¯
¯
¯
.
FUNKCIONALNI REDOVI
49
pa red konvergira za svako
x
∈
(
−
1
,
1).
Za
x
= 1 dati red postaje divergentan harmonijski red (2.2.7). Za
x
=
−
1 dati red je
konvergentan alternativni red (2.4.2).
Zakljuˇcujemo da posmatrani red konvergira za svako
x
∈
[
−
1
,
1).
4
PRIMER 3.2.3. Ispitati konvergenciju reda
∞
X
k
=1
1
k
2
x
k
.
Kako je
a
n
=
1
n
2
, iz (3.2.3) sledi
R
= lim
n
→∞
¯
¯
¯
a
n
a
n
+1
¯
¯
¯
= lim
n
→∞
(
n
+ 1)
2
n
2
= 1
,
pa red konvergira za svako
x
∈
(
−
1
,
1).
Za
x
= 1 dobija se konvergentan hiperharmonijski red (2.2.8) sa
p
= 2. Za
x
=
−
1
dobija se alternativni red
∞
P
k
=1
(
−
1)
k
1
k
2
. Ovaj red konvergira jer apsolutno konvergira kao
hiperharmonijski red.
Dakle, posmatrani red konvergira za svako
x
∈
[
−
1
,
1].
4
PRIMER 3.2.4. Ispitati konvergenciju reda
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
k
2
k
x
k
.
Kako je
a
n
=
(
−
1)
n
n
2
n
, iz (3.2.4) sledi
R
= lim
n
→∞
1
n
p
|
a
n
|
= lim
n
→∞
1
n
r¯
¯
¯
(
−
1)
n
n
2
n
¯
¯
¯
= lim
n
→∞
n
√
n
2
n
= 2 lim
n
→∞
n
√
n
= 2
,
pa red konvergira za svako
x
∈
(
−
2
,
2).
Za
x
= 2 dobija se konvergentan alternativni red (2.4.2), a za
x
=
−
2 divergentan
harmonijski red (2.2.7).
Posmatrani red konvergira za svako
x
∈
(
−
2
,
2].
4
3.2.1. Uniformna konvergencija stepenih redova
Teorema 3.2.3.
Stepeni red
∞
P
k
=0
a
k
x
k
je uniformno konvergentan na seg-
mentu
[
−
r, r
]
, gde je
0
< r < R
proizvoljan broj i
R
radijus konvergencije.
50
TEORIJA REDOVA
Dokaz.
Za
x
∈
[
−
r, r
] je
|
x
| ≤
r
i
¯
¯
a
k
x
k
¯
¯
=
|
a
k
||
x
|
k
≤ |
a
k
|
r
k
za svako
k
∈
N
0
.
S druge strane, za
x
=
r < R
posmatrani red
(3.2.2) apsolutno konvergira prema Teoremi 3.2.2, tj. konvergira brojni
red
∞
P
k
=0
¯
¯
a
k
x
k
¯
¯
=
∞
P
k
=0
|
a
k
|
r
k
. Prema Weierstrassovom kriterijumu (Teore-
ma 3.1.6), sa
M
k
=
|
a
k
|
r
k
, red (3.2.2) uniformno konvergira.
Slede´ce dve teoreme imaju veliku praktiˇcnu primenu, a posledica su uni-
formne konvergencije stepenih redova.
Teorema 3.2.4.
Ako je
R
polupreˇcnik konvergencije i
−
R < α < β < R
,
zbir stepenog reda
S
(
x
) =
∞
X
k
=0
a
k
x
k
je neprekidna funkcija na segmentu
[
α, β
]
.
Dokaz.
Neka je
r
= max
{|
α
|
,
|
β
|}
. Tada je [
α, β
]
⊆
[
−
r, r
]. Prema Teo-
remi 3.2.3, red
∞
P
k
=0
a
k
x
k
uniformno konvergira na [
−
r, r
], pa i na [
α, β
]. Kako
su
f
k
(
x
) =
a
k
x
k
neprekidne funkcije za svako
k
∈
N
0
, prema Teoremi 3.1.7
sledi tvrd¯enje.
Teorema 3.2.5.
Ako je
R
polupreˇcnik konvergencije i
−
R < α < β < R
,
stepeni red
∞
P
k
=0
a
k
x
k
na segmentu
[
α, β
]
moˇze da se integrali i diferencira
proizvoljan broj puta. Pri tome, svi dobijeni redovi imaju isti polupreˇcnik
konvergencije
R
.
Dokaz teoreme izostavljamo, uz napomenu da je teorema posledica Teo-
rema 3.1.8 i 3.1.9.
Konvergencija stepenog reda (3.2.2) i redova koji iz njega nastaju inte-
gracijom i diferenciranjem moˇze da se razlikuje u taˇckama
x
=
±
R
. Na
primer, red (3.2.2) moˇze da bude divergentan u
x
=
R
, a red koji se dobija
integracijom konvergentan i obrnuto.
PRIMER 3.2.5. Ispitati konvergenciju i uniformnu konvergenciju i na´ci zbir reda
(3.2.6)
∞
X
k
=0
x
k
.
52
TEORIJA REDOVA
ˇsto je red (3.2.5) koji konvergira za
t
∈
[
−
1
,
1). Zato (3.2.10) konvergira za
x
∈
(
−
1
,
1] i
ima zbir
S
(
x
) =
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
+1
k
x
k
.
Prema Teoremi 3.2.5, red (3.2.10) moˇze da se diferencira ˇclan po ˇclan. Dobija se
S
0
(
x
) =
µ
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
+1
k
x
k
¶
0
=
∞
X
k
=1
³
(
−
1)
k
+1
k
x
k
´
0
=
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
+1
k
kx
k
−
1
=
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
+1
x
k
−
1
=
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
−
1
x
k
−
1
=
∞
X
k
=0
(
−
1)
k
x
k
,
ˇsto je red (3.2.8) sa zbirom (3.2.9). Dakle, za
x
∈
(
−
1
,
1) imamo
S
0
(
x
) =
1
1 +
x
.
Kako je
S
(0) = 0, integracijom leve i desne strane poslednje jednakosti na [0
, x
] za
|
x
|
<
1
sledi
Z
x
0
S
0
(
t
)
dt
=
S
(
t
)
¯
¯
¯
x
0
=
S
(
x
)
−
S
(0) =
S
(
x
)
,
Z
x
0
S
0
(
t
)
dt
=
Z
x
0
dt
1 +
t
= ln
|
1 +
t
|
¯
¯
¯
x
0
= ln(1 +
x
)
,
pa je zbirna funkcija
(3.2.11)
S
(
x
) = ln(1 +
x
) =
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
+1
k
x
k
,
x
∈
(
−
1
,
1]
.
Prime´cujemo da za
x
=
R
= 1 dati red (3.2.10) konvergira, a red (3.2.8), koji se iz
(3.2.10) dobija diferenciranjem, divergira. Zbog konvergencije reda (3.2.10) i neprekidnosti
funkcije ln(1 +
x
) u
x
= 1, jednakost (3.2.11) vaˇzi i za
x
= 1. Tada je
ln 2 =
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
+1
1
k
.
Kod stepenih redova se integracija uvek vrˇsi na segmentu [0
, x
]. Uzima se 0 jer svaki
stepeni red konvergira u taˇcki
x
= 0, dok je
x
promenljiva taˇcka iz intervala konvergenci-
je.
4
PRIMER 3.2.8. Ispitati konvergenciju i na´ci zbir reda
(3.2.12)
∞
X
k
=0
(
−
1)
k
2
k
+ 1
x
2
k
+1
.
FUNKCIONALNI REDOVI
53
Kako je
∞
X
k
=0
(
−
1)
k
2
k
+ 1
x
2
k
+1
=
x
∞
X
k
=0
(
−
1)
k
2
k
+ 1
x
2
k
,
prema Teoremi 3.1.2 sa
c
(
x
) =
x
, red (3.2.12) i red
(3.2.13)
∞
X
k
=0
(
−
1)
k
2
k
+ 1
x
2
k
imaju isti interval konvergencije. Smenom
t
=
x
2
≥
0 red (3.2.13) postaje stepeni red
∞
X
k
=0
(
−
1)
k
2
k
+ 1
t
k
.
Koriste´ci (3.2.3) lako nalazimo
R
= 1, pa ovaj red konvergira za
t
∈
(
−
1
,
1). Zbog
t
=
x
2
je
t
∈
[0
,
1) i
x
∈
(
−
1
,
1). Za
x
=
±
1 se iz (3.2.13) dobija alternativni red koji konver-
gira prema Leibnizovom kriterijumu. Znaˇci da redovi (3.2.13) i (3.2.12) konvergiraju na
segmentu [
−
1
,
1].
Posmatrajmo red
(3.2.14)
∞
X
k
=0
(
−
1)
k
x
2
k
.
Imaju´ci u vidu (
−
1)
k
x
2
k
=
(
−
x
2
)
k
i postupaju´ci kao u Primeru 3.2.6, nalazimo
1
1 +
x
2
=
∞
X
k
=0
(
−
1)
k
x
2
k
,
x
∈
(
−
1
,
1)
.
Integracijom poslednje jednakosti na [0
, x
] za
|
x
|
<
1 sledi
Z
x
0
dt
1 +
t
2
=
∞
X
k
=0
(
−
1)
k
Z
x
0
t
2
k
dt ,
arctan
t
¯
¯
¯
x
0
=
∞
X
k
=0
(
−
1)
k
t
2
k
+1
2
k
+ 1
¯
¯
¯
¯
x
0
,
pa je traˇzeni zbir funkcija
(3.2.15)
S
(
x
) = arctan
x
=
∞
X
k
=0
(
−
1)
k
2
k
+ 1
x
2
k
+1
,
x
∈
[
−
1
,
1]
.
Prime´cujemo da za
x
=
±
R
=
±
1 red (3.2.14) divergira, a zadati red (3.2.12) konver-
gira, pri ˇcemu je (3.2.12) dobijen integracijom (3.2.14). Zbog konvergencije reda (3.2.12)
i neprekidnosti funkcije arctan
x
u
x
=
±
1, jednakost (3.2.15) vaˇzi i za
x
=
±
1. Tada je
arctan 1 =
π
4
=
∞
X
k
=0
(
−
1)
k
1
2
k
+ 1
.
4
FUNKCIONALNI REDOVI
55
ˇsto je traˇzeni zbir reda (3.2.16) u sluˇcaju
i
= 1. Daljim diferenciranjem sledi
³
x
(1
−
x
)
2
´
0
=
∞
X
k
=1
k
2
x
k
−
1
=
1
x
∞
X
k
=1
k
2
x
k
,
tj.
x
(1 +
x
)
(1
−
x
)
3
=
∞
X
k
=1
k
2
x
k
,
ˇsto je traˇzeni zbir reda (3.2.16) u sluˇcaju
i
= 2. Na isti naˇcin nalazimo zbir reda (3.2.16)
za
i
= 3,
x
(1 + 4
x
+
x
2
)
(1
−
x
)
4
=
∞
X
k
=1
k
3
x
k
.
4
3.2.2. Predstavljanje funkcija pomo´
cu stepenih redova
Neka je (
−
R, R
) sa
R
6
= 0 interval konvergencije potencijalnog reda (3.2.2),
tj.
(3.2.17)
∞
X
k
=0
a
k
x
k
.
Tada na (
−
R, R
) postoji zbir reda (3.2.17),
(3.2.18)
S
(
x
) =
∞
X
k
=0
a
k
x
k
,
x
∈
(
−
R, R
)
.
Prema Teoremi 3.2.5, red (3.2.17) moˇze proizvoljan broj puta da se dife-
rencira i integrali, pri ˇcemu dobijeni redovi konvergiraju na istom intervalu
(
−
R, R
). Dakle, za svako
n
∈
N
postoje izvodi
S
(
n
)
(
x
) =
³
∞
X
k
=0
a
k
x
k
´
(
n
)
=
∞
X
k
=0
¡
a
k
x
k
¢
(
n
)
=
∞
X
k
=
n
b
kn
x
k
−
n
,
x
∈
(
−
R, R
)
.
Sukcesivnim nalaˇzenjem izvoda
S
0
(
x
),
S
00
(
x
), itd., lako se uoˇcava da je
b
kn
=
k
!
(
k
−
n
)!
a
k
56
TEORIJA REDOVA
za svako
n
∈
N
i svako
k
≥
n
. Kako svaki stepeni red konvergira u
x
= 0, to
postoji
S
(0) =
a
0
i
S
(
n
)
(0) =
b
nn
, tj. za svako
k
∈
N
0
postoji
(3.2.19)
S
(
k
)
(0) =
k
!
a
k
.
Postavlja se sada obrnuto pitanje. Ako je
f
(
x
) funkcija koja ima
f
(
k
)
(0)
za svako
k
∈
N
0
, da li postoji red oblika (3.2.17), koji na nekom intervalu
(
−
R, R
) (
R
6
= 0) konvergira baˇs ka funkciji
f
(
x
), tj.
(3.2.20)
f
(
x
) =
∞
X
k
=0
a
k
x
k
,
x
∈
(
−
R, R
)
.
Na ovo pitanje ´cemo da se vratimo neˇsto kasnije. Prvo pokazujemo slede´cu
teoremu.
Teorema 3.2.6.
Ako postoji red
∞
P
k
=0
a
k
x
k
tako da vaˇzi
f
(
x
) =
∞
P
k
=0
a
k
x
k
,
tada je taj red jedinstven i glasi
(3.2.21)
∞
X
k
=0
f
(
k
)
(0)
k
!
x
k
.
Dokaz.
Pretpostavimo da vaˇzi (3.2.20). Kako su jednakosti (3.2.18) i
(3.2.20) iste, iz (3.2.19) sledi
S
(
k
)
(0) =
f
(
k
)
(0) =
k
!
a
k
za svako
k
∈
N
0
, tj.
(3.2.22)
a
k
=
f
(
k
)
(0)
k
!
.
Koeficijenti (3.2.22) su jednoznaˇcno odred¯eni funkcijom
f
(
x
), pa je red
(3.2.21) jedinstven.
Prema prethodnoj teoremi, ako funkcija
f
(
x
) moˇze da se predstavi poten-
cijalnim redom, tada je taj red jedinstven i vaˇzi
(3.2.23)
f
(
x
) =
∞
X
k
=0
f
(
k
)
(0)
k
!
x
k
,
x
∈
(
−
R, R
)
.
Jednakost (3.2.23) je
beskonaˇcni razvoj
ili samo
razvoj
funkcije
f
(
x
) u okolini
taˇcke
x
= 0. ˇ
Cesto se i za sam red (3.2.21) kaˇze da je to razvoj funkcije
f
(
x
).
Teorema 3.2.6 oˇcigledno polazi od pretpostavke da postoji
R
6
= 0 tako da
red (3.2.21) konvergira na (
−
R, R
). Med¯utim, red (3.2.21) moˇze da bude
58
TEORIJA REDOVA
Posmatramo prvo funkciju
f
(
x
) = sin
x
. Kod ove funkcije je
f
(
k
)
(
x
) = sin
³
x
+
kπ
2
´
,
pa je
|
f
(
k
)
(
x
)
|
=
¯
¯
¯
sin
³
x
+
kπ
2
´¯
¯
¯
≤
1
za svako
x
∈
R
i svako
k
∈
N
0
, ˇsto znaˇci da postoji razvoj (3.2.23) na (
−∞
,
+
∞
). Kako
je
f
(
k
)
(0) = sin
kπ
2
,
to je
f
(2
k
)
(0) = 0
,
f
(2
k
+1)
(0) = (
−
1)
k
,
pa razvoj (3.2.23) glasi
(3.2.26)
sin
x
=
∞
X
k
=0
(
−
1)
k
(2
k
+ 1)!
x
2
k
+1
,
x
∈
(
−∞
,
+
∞
)
.
Sliˇcno se nalazi i razvoj funkcije
f
(
x
) = cos
x
,
(3.2.27)
cos
x
=
∞
X
k
=0
(
−
1)
k
(2
k
)!
x
2
k
,
x
∈
(
−∞
,
+
∞
)
.
4
PRIMER 3.2.12. Na´ci razvoj funkcije
f
(
x
) = (1 +
x
)
p
(
p
∈
R
)
.
Jednostavno se nalazi:
f
(
k
)
(
x
) =
p
(
p
−
1)
· · ·
(
p
−
(
k
−
1)
)
(1 +
x
)
p
−
k
,
f
(
k
)
(0) =
p
(
p
−
1)
· · ·
(
p
−
(
k
−
1)
)
za svako
k
∈
N
0
, pa je
f
(
k
)
(0)
k
!
=
p
(
p
−
1)
· · ·
(
p
−
(
k
−
1)
)
k
!
=
³
p
k
´
.
Za red (3.2.21) lako se nalazi polupreˇcnik konvergencije
R
= 1, pa razvoj (3.2.23) postaje
(3.2.28)
(1 +
x
)
p
=
∞
X
k
=0
³
p
k
´
x
k
,
x
∈
(
−
1
,
1)
.
FUNKCIONALNI REDOVI
59
Specijalno, ako je
p
=
n
∈
N
, (3.2.28) se svodi na dobro poznatu binomnu formulu
(1 +
x
)
n
=
n
X
k
=0
³
n
k
´
x
k
,
koja vaˇzi za svako konaˇcno
x
∈
R
.
4
Jednakosti (3.2.7), (3.2.9), (3.2.11), (3.2.15), (3.2.25), (3.2.26), (3.2.27)
i (3.2.28) su veoma vaˇzne iz dva razloga. S jedne strane, neki beskonaˇcni
zbirovi su predstavljeni u konaˇcnom (analitiˇckom) obliku, pomo´cu odgo-
varaju´ce zbirne funkcije.
S druge strane, neke elementarne funkcije su
predstavljene beskonaˇcnim zbirom, ˇsto omogu´cava izraˇcunavanje konkret-
nih vrednosti tih funkcija sa proizvoljnom, unapred zadatom taˇcnoˇs´cu.
3.3. Fourierovi redovi
Definicija 3.3.1.
Trigonometrijski red
je funkcionalni red oblika
(3.3.1)
1
2
a
0
+
∞
X
k
=1
(
a
k
cos
kx
+
b
k
sin
kx
)
,
gde je
a
0
∈
R
i
a
k
, b
k
∈
R
za svako
k
∈
N
.
Teorema 3.3.1.
Ako su brojni redovi
∞
P
k
=1
|
a
k
|
i
∞
P
k
=1
|
b
k
|
konvergentni, tada
je trigonometrijski red
(3
.
3
.
1)
apsolutno i uniformno konvergentan za svako
x
∈
R
.
Dokaz.
Za svako
k
∈
N
vaˇzi
|
a
k
cos
kx
+
b
k
sin
kx
| ≤ |
a
k
cos
kx
|
+
|
b
k
sin
kx
| ≤ |
a
k
|
+
|
b
k
|
=
M
k
.
Brojni red
∞
X
k
=1
M
k
=
∞
X
k
=1
(
|
a
k
|
+
|
b
k
|
) =
∞
X
k
=1
|
a
k
|
+
∞
X
k
=1
|
b
k
|
je konvergentan jer su konvergentni redovi
∞
P
k
=1
|
a
k
|
i
∞
P
k
=1
|
b
k
|
(Teorema 2.1.2).
Prema Weierstrassovom kriterijumu (Teorema 3.1.6) i Napomeni 3.1.2, sledi
tvrd¯enje.
FUNKCIONALNI REDOVI
61
Red (3.3.3) je uniformno konvergentan na [
−
π, π
], pa moˇze da se integrali
ˇclan po ˇclan (Teorema 3.1.8). Koriste´ci (3.3.4) dobija se
Z
π
−
π
f
(
x
)
dx
=
1
2
a
0
Z
π
−
π
dx
+
∞
X
k
=1
µ
a
k
Z
π
−
π
cos
kx dx
+
b
k
Z
π
−
π
sin
kx dx
¶
=
1
2
a
0
Z
π
−
π
dx
=
a
0
π ,
odakle je
(3.3.5)
a
0
=
1
π
Z
π
−
π
f
(
x
)
dx .
Dalje, mnoˇze´ci (3.3.3) sa cos
nx
i integrale´ci, prema (3.3.4) sledi:
Z
π
−
π
f
(
x
) cos
nx dx
=
1
2
a
0
Z
π
−
π
cos
nx dx
+
∞
X
k
=1
µ
a
k
Z
π
−
π
cos
kx
cos
nx dx
+
b
k
Z
π
−
π
sin
kx
cos
nx dx
¶
=
a
n
Z
π
−
π
cos
2
nx dx
=
a
n
π ,
(3.3.6)
a
n
=
1
π
Z
π
−
π
f
(
x
) cos
nx dx
(
n
∈
N
)
.
Analogno, mnoˇze´ci (3.3.3) sa sin
nx
i integrale´ci, dobija se
(3.3.7)
b
n
=
1
π
Z
π
−
π
f
(
x
) sin
nx dx
(
n
∈
N
)
.
Jednakosti (3.3.5), (3.3.6) i (3.3.7) poznate su kao
Euler–Fourierove for-
mule
, dok su koeficijenti
a
0
,
a
k
i
b
k
(
k
∈
N
)
Fourierovi koeficijenti
funkcije
f
(
x
). Jednakost (3.3.3), sa Fourierovim koeficijentima, je
Fourierov razvoj
funkcije
f
(
x
). Trigonometrijski red (3.3.1), sa Fourierovim koeficijentima, je
Fourierov red
ili, takod¯e,
Fourierov razvoj
funkcije
f
(
x
).
Specijalni sluˇcajevi prethodno navedenih formula nastaju kada je
f
(
x
)
parna, odnosno neparna funkcija.
62
TEORIJA REDOVA
Neka je
f
(
x
) parna funkcija na segmentu [
−
π, π
].
Tada je funkcija
f
(
x
) cos
nx
parna, a
f
(
x
) sin
nx
neparna. Formule (3.3.5), (3.3.6) i (3.3.7)
postaju:
(3.3.8)
a
0
=
2
π
Z
π
0
f
(
x
)
dx ,
a
n
=
2
π
Z
π
0
f
(
x
) cos
nx dx
(
n
∈
N
)
,
b
n
= 0 (
n
∈
N
)
,
pa se razvoj (3.3.3) svodi na
(3.3.9)
f
(
x
) =
1
2
a
0
+
∞
X
k
=1
a
k
cos
kx ,
gde se
a
0
,
a
k
(
k
∈
N
) izraˇcunavaju pomo´cu (3.3.8).
Ako je
f
(
x
) neparna funkcija na [
−
π, π
], funkcija
f
(
x
) cos
nx
je neparna, a
f
(
x
) sin
nx
je parna. U ovom sluˇcaju formule (3.3.5), (3.3.6) i (3.3.7) glase:
(3.3.10)
a
0
= 0
,
a
n
= 0 (
n
∈
N
)
,
b
n
=
2
π
Z
π
0
f
(
x
) sin
nx dx
(
n
∈
N
)
,
a razvoj (3.3.3) postaje
(3.3.11)
f
(
x
) =
∞
X
k
=1
b
k
sin
kx ,
gde je
b
k
(
k
∈
N
) odred¯eno sa (3.3.10).
Sve prethodno smo izveli pod pretpostavkom da postoji trigonometrijski
red (3.3.1), koji je uniformno konvergentan na [
−
π, π
] i takav da za peri-
odiˇcnu funkciju
f
(
x
), s periodom 2
π
, vaˇzi (3.3.3). Pri tome su koeficijenti
odred¯eni sa (3.3.5), (3.3.6) i (3.3.7).
Sada se postavlja obrnuti problem. Da li je red (3.3.1), ˇciji su koeficijenti
dati sa (3.3.5), (3.3.6) i (3.3.7), na [
−
π, π
] konvergentan? Ako jeste, da li je
njegov zbir baˇs funkcija
f
(
x
)? Da bismo odgovorili na ova pitanja uvodimo
slede´ce pretpostavke, poznate pod imenom
Dirichletovi uslovi
.
1
◦
Funkcija
f
(
x
)
je na segmentu
[
−
π, π
]
neprekidna, ili ima konaˇcno
mnogo prekida prve vrste.
64
TEORIJA REDOVA
NAPOMENA 3.3.1. Uporedimo jednakosti (3.3.3) i (3.3.12). Na osnovu uˇcinjene pret-
postavke o uniformnoj konvergenciji reda (3.3.1), jednakost (3.3.3) odred¯uje funkciju
f
(
x
),
koja je
neprekidna
na [
−
π, π
]. Fourierovi koeficijenti su odred¯eni iz (3.3.3), dakle pod
pretpostavkom neprekidnosti funkcije
f
(
x
). Med¯utim, za odred¯ivanje Fourierovih koefi-
cijenata dovoljna je samo integrabilnost funkcije
f
(
x
) na [
−
π, π
], ˇsto je slabiji uslov od
neprekidnosti. Zato Dirichletov uslov 1
◦
ukljuˇcuje i prekidne funkcije, ˇsto za posledicu
ima da Dirichletova teorema garantuje samo konvergenciju, ne i uniformnu konvergenciju
Fourierovog reda. Dalja posledica je da jednakost (3.3.12) odred¯uje funkciju
F
(
x
) koja je
u opˇstem sluˇcaju
prekidna
na [
−
π, π
].
Dakle, u opˇstem sluˇcaju je
f
(
x
)
6
=
F
(
x
) u konaˇcno mnogo taˇcaka prekida funkcije
f
(
x
) iz (
−
π, π
), ukljuˇcuju´ci i taˇcke
−
π
,
π
, pa se jednakosti (3.3.3) i (3.3.12) razlikuju. I
pored toga, za jednakost (3.3.12) se kaˇze da je to
Fourierov razvoj
funkcije
f
(
x
), kao i za
jednakost (3.3.3).
4
Do sada smo posmatrali Fourierov razvoj (3.3.12) funkcije
f
(
x
) koja je
data na segmentu [
−
π, π
]. Analognim postupkom se dobija i Fourierov razvoj
funkcije
f
(
x
) koja je data na proizvoljnom segmentu [
α, β
],
(3.3.13)
F
(
x
) =
1
2
a
0
+
∞
X
k
=1
µ
a
k
cos
2
kπ
β
−
α
x
+
b
k
sin
2
kπ
β
−
α
x
¶
,
gde se Fourierovi koeficijenti odred¯uju sa:
(3.3.14)
a
0
=
2
β
−
α
Z
β
α
f
(
x
)
dx ,
a
n
=
2
β
−
α
Z
β
α
f
(
x
) cos
2
nπ
β
−
α
x dx
(
n
∈
N
)
,
b
n
=
2
β
−
α
Z
β
α
f
(
x
) sin
2
nπ
β
−
α
x dx
(
n
∈
N
)
.
Od posebne vaˇznosti su slede´ca dva specijalna sluˇcaja. Neka je segment
[
α, β
] simetriˇcan, tj. neka je
[
α, β
] = [
−
r, r
] (
r >
0)
.
Tada je Fourierov razvoj
(3.3.15)
F
(
x
) =
1
2
a
0
+
∞
X
k
=1
µ
a
k
cos
kπ
r
x
+
b
k
sin
kπ
r
x
¶
,
sa koeficijentima:
(3.3.16)
a
0
=
1
r
Z
r
−
r
f
(
x
)
dx ,
a
n
=
1
r
Z
r
−
r
f
(
x
) cos
nπ
r
x dx
(
n
∈
N
)
,
b
n
=
1
r
Z
r
−
r
f
(
x
) sin
nπ
r
x dx
(
n
∈
N
)
.
FUNKCIONALNI REDOVI
65
Neka je
α
= 0,
β
=
π
, tj. posmatramo segment
[
α, β
] = [0
, π
]
.
Fourierov razvoj je
(3.3.17)
F
(
x
) =
1
2
a
0
+
∞
X
k
=1
(
a
k
cos 2
kx
+
b
k
sin 2
kx
)
,
gde je:
(3.3.18)
a
0
=
2
π
Z
π
0
f
(
x
)
dx ,
a
n
=
2
π
Z
π
0
f
(
x
) cos 2
nx dx
(
n
∈
N
)
,
b
n
=
2
π
Z
π
0
f
(
x
) sin 2
nx dx
(
n
∈
N
)
.
Iz ranije pomenutog razloga i ovde se funkcija
f
(
x
), umesto na [
α, β
], zadaje
na (
α, β
], [
α, β
) ili (
α, β
).
Na kraju, razmotrimo i slede´ci problem. Ako je funkcija
f
(
x
) definisana
na [0
, π
], kako je razviti u trigonometrijski red koji sadrˇzi samo kosinuse
(kosinusni red) ili samo sinuse (sinusni red)? Drugim reˇcima, treba odrediti
kosinusni
ili
sinusni razvoj
funkcije
f
(
x
).
Znamo da je Fourierov razvoj neke funkcije kosinusni (3.3.9) ako je ta
funkcija parna, a sinusni (3.3.11) ako je ona neparna na [
−
π, π
]. Zato zadatu
funkciju
f
(
x
) treba produˇziti na [
−
π,
0), tako da nova funkcija bude parna,
odnosno neparna. Parno produˇzenje funkcije
f
(
x
) je funkcija
(3.3.19)
f
1
(
x
) =
½
f
(
x
)
,
x
∈
[0
, π
]
,
f
(
−
x
)
,
x
∈
[
−
π,
0)
,
a neparno produˇzenje funkcija
(3.3.20)
f
2
(
x
) =
½
f
(
x
)
,
x
∈
[0
, π
]
,
−
f
(
−
x
)
,
x
∈
[
−
π,
0)
.
Fourierovi redovi funkcija
f
(
x
),
f
1
(
x
) i
f
2
(
x
) imaju, jasno, razliˇcite zbirne
funkcije
F
(
x
),
F
1
(
x
) i
F
2
(
x
), ali se sve one med¯usobno poklapaju na (0
, π
) i
iste su kao funkcija
f
(
x
) u njenim taˇckama neprekidnosti iz (0
, π
). Analogno
vaˇzi ako je
f
(
x
) zadata na [
−
π,
0], samo se tada parno (neparno) produˇzuje
FUNKCIONALNI REDOVI
67
Funkcija
f
(
x
) je prekidna u taˇcki
x
= 0 i za levu i desnu graniˇcnu vrednost ima
lim
x
→
0
−
f
(
x
) =
c
1
,
lim
x
→
0+
f
(
x
) =
c
2
.
Kako je, joˇs,
lim
x
→−
π
+
f
(
x
) =
c
1
,
lim
x
→
π
−
f
(
x
) =
c
2
,
iz tvrd¯enja 2
◦
i 3
◦
Dirichletove teoreme sledi
F
(0) =
F
(
±
π
) =
c
1
+
c
2
2
.
Grafici funkcija
f
(
x
) i
F
(
x
) prikazani su na Slikama 3.3.1 i 3.3.2, redom. Pri tome je
uzeta u obzir i periodiˇcnost funkcije
F
(
x
) s periodom 2
π
.
x
x
y
y
0
0
c
1
c
1
c
2
c
2
p
p
p
p
p
2
p
2
p
3
p
3
Slika 3.3.1.
Slika 3.3.2.
U taˇcki
x
=
π
2
funkcija
f
(
x
) je neprekidna, pa je
F
³
π
2
´
=
f
³
π
2
´
=
c
2
. S druge
strane, za
x
=
π
2
iz (3.3.21) sledi
F
³
π
2
´
=
c
1
+
c
2
2
+
2(
c
2
−
c
1
)
π
∞
X
k
=1
1
2
k
−
1
sin(2
k
−
1)
π
2
.
Kako je
sin(2
k
−
1)
π
2
= (
−
1)
k
−
1
(
k
∈
N
)
,
to je:
c
2
=
c
1
+
c
2
2
+
2(
c
2
−
c
1
)
π
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
−
1
1
2
k
−
1
,
(3.3.22)
∞
X
k
=0
(
−
1)
k
1
2
k
+ 1
=
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
−
1
1
2
k
−
1
=
π
4
.
Zbir (3.3.22) smo ve´c naˇsli u Primeru 3.2.8, samo na drugi naˇcin, koriste´ci razvoj funkcije
arctan
x
u stepeni red.
4
PRIMER 3.3.2. Na´ci Fourierov razvoj funkcije
f
(
x
) =
x ,
x
∈
(
−
π, π
)
.
68
TEORIJA REDOVA
Funkcija
f
(
x
) je neparna i zadata na intervalu (
−
π, π
). Zato Fourierove koeficijente
odred¯ujemo prema (3.3.10) i nalazimo:
a
0
= 0
,
a
n
= 0
(
n
∈
N
)
,
b
n
=
2
π
Z
π
0
f
(
x
) sin
nx dx
=
2
π
Z
π
0
x
sin
nx dx
=
2
π
µ
−
1
n
x
cos
nx
¯
¯
¯
π
0
+
1
n
Z
π
0
cos
nx dx
¶
=
−
2
nπ
π
cos
nπ
=
−
2
n
(
−
1)
n
=
2
n
(
−
1)
n
+1
(
n
∈
N
)
.
Fourierov razvoj ima oblik (3.3.11) i glasi
F
(
x
) =
∞
X
k
=1
b
k
sin
kx
= 2
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
+1
k
sin
kx ,
pri ˇcemu je
F
(
±
π
) =
f
(
−
π
+ 0) +
f
(
π
−
0)
2
=
−
π
+
π
2
= 0
.
Grafik funkcije
F
(
x
) prikazan je na Slici 3.3.3.
x
y
0
p
p
p
p
p
2
p
2
p
3
p
3
Slika 3.3.3.
Primetimo da je
F
³
π
2
´
=
f
³
π
2
´
=
π
2
i
π
2
= 2
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
+1
k
sin
kπ
2
.
Za
k
= 2
m
i
k
= 2
m
−
1 (
m
∈
N
) je redom:
sin
kπ
2
= sin
mπ
= 0
,
sin
kπ
2
= sin(2
m
−
1)
π
2
= (
−
1)
m
−
1
(
m
∈
N
)
.
Zato je
π
2
= 2
∞
X
m
=1
(
−
1)
2
m
−
1+1
2
m
−
1
sin(2
m
−
1)
π
2
= 2
∞
X
m
=1
1
2
m
−
1
sin(2
m
−
1)
π
2
= 2
∞
X
m
=1
(
−
1)
m
−
1
1
2
m
−
1
,
70
TEORIJA REDOVA
x
y
0
p
p
p
p
2
p
2
p
3
p
3
Slika 3.3.4.
Za
x
= 0 imamo
F
(0) =
f
(0) = 0 i
0 =
π
2
−
4
π
∞
X
k
=1
1
(2
k
−
1)
2
,
pa je
(3.3.23)
∞
X
k
=1
1
(2
k
−
1)
2
=
π
2
8
.
4
PRIMER 3.3.4. Na´ci Fourierov razvoj funkcije
f
(
x
) =
x
2
,
x
∈
(1
,
3)
.
Na osnovu dobijenog rezultata na´ci sume brojnih redova:
∞
X
k
=1
1
k
2
,
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
−
1
1
k
2
.
Funkcija
f
(
x
) je zadata na intervalu (
α, β
) = (1
,
3), pa za odred¯ivanje Fourierovih
koeficijenata koristimo (3.3.14) i dobijamo:
a
0
=
2
β
−
α
Z
β
α
f
(
x
)
dx
=
2
2
Z
3
1
x
2
dx
=
26
3
,
a
n
=
2
β
−
α
Z
β
α
f
(
x
) cos
2
nπ
β
−
α
x dx
=
Z
3
1
x
2
cos
nπx dx
=
4
n
2
π
2
(
−
1)
n
(
n
∈
N
)
,
b
n
=
2
β
−
α
Z
β
α
f
(
x
) sin
2
nπ
β
−
α
x dx
=
Z
3
1
x
2
sin
nπx dx
=
8
nπ
(
−
1)
n
+1
(
n
∈
N
)
.
Pri izraˇcunavanju koeficijenata
a
n
,
b
n
(
n
∈
N
), odgovaraju´ci integrali su reˇseni dvostru-
kom primenom parcijalne integracije.
Jednakost (3.3.13) glasi
F
(
x
) =
1
2
a
0
+
∞
X
k
=1
(
a
k
cos
kπx
+
b
k
sin
kπx
)
=
13
3
+
∞
X
k
=1
µ
4(
−
1)
k
k
2
π
2
cos
kπx
+
8(
−
1)
k
+1
kπ
sin
kπx
¶
,
FUNKCIONALNI REDOVI
71
pri ˇcemu je
F
(1) =
F
(3) =
f
(1 + 0) +
f
(3
−
0)
2
=
1 + 9
2
= 5
.
Grafik funkcije
F
(
x
) prikazan je na Slici 3.3.5.
x
y
1
1
1
3
9
5
Slika 3.3.5.
Za
x
= 1 imamo
F
(1) = 5 i
5 =
13
3
+
∞
X
k
=1
µ
4(
−
1)
k
k
2
π
2
cos
kπ
+
8(
−
1)
k
+1
kπ
sin
kπ
¶
.
Zbog cos
kπ
= (
−
1)
k
i sin
kπ
= 0 (
k
∈
N
), iz poslednje jednakosti sledi
(3.3.24)
∞
X
k
=1
1
k
2
=
π
2
6
.
Da bismo dobili zbir drugog zadatog brojnog reda, rastavljamo taj red na zbir dva nova
reda, u kojima se sumiranje vrˇsi samo po parnim
k
= 2
m
, odnosno samo po neparnim
vrednostima
k
= 2
m
−
1 (
m
∈
N
). Dobijamo
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
−
1
1
k
2
=
∞
X
m
=1
(
−
1)
2
m
−
1
1
(2
m
)
2
+
∞
X
m
=1
(
−
1)
2
m
−
1
−
1
1
(2
m
−
1)
2
,
ili, ˇsto je isto,
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
−
1
1
k
2
=
−
1
4
∞
X
k
=1
1
k
2
+
∞
X
k
=1
1
(2
k
−
1)
2
.
Konaˇcno, prema (3.3.23) i (3.3.24) dobijamo
(3.3.25)
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
−
1
1
k
2
=
−
1
4
·
π
2
6
+
π
2
8
=
π
2
12
.
4
NAPOMENA 3.3.2. Do zbira (3.3.25) moˇze da se dod¯e i direktno, npr. pomo´cu
Fourierovog razvoja funkcije
f
(
x
) =
x
2
2
na
x
∈
(
−
π, π
) za
x
= 0 ili pomo´cu Fourierovog
FUNKCIONALNI REDOVI
73
Fourierov razvoj (3.3.17) postaje
F
(
x
) =
π
2
3
+
∞
X
k
=1
³
1
k
2
cos 2
kx
−
π
k
sin 2
kx
´
,
pri ˇcemu je
F
(0) =
F
(
π
) =
π
2
2
.
Grafik funkcije
F
(
x
) prikazan je na slede´coj slici.
x
y
0
p
p
p
2
p
2
p
2
Slika 3.3.6.
Kosinusni razvoj dobijamo parnim produˇzenjem funkcije
f
(
x
) u funkciju
f
1
(
x
) datu
sa (3.3.19). Med¯utim,
f
(
x
) =
x
2
je ve´c parna funkcija, pa je
f
1
(
x
) =
f
(
x
) i traˇzimo
Fourierov razvoj funkcije
f
(
x
) =
x
2
na [
−
π, π
]. Fourierovi koeficijenti se izraˇcunavaju
prema (3.3.8):
a
0
=
2
π
Z
π
0
x
2
dx
=
2
π
2
3
,
a
n
=
2
π
Z
π
0
x
2
cos
nx dx
=
4
n
2
(
−
1)
n
(
n
∈
N
)
,
b
n
= 0
(
n
∈
N
)
,
pa kosinusni razvoj (3.3.9) glasi
F
(
x
) =
1
2
a
0
+
∞
X
k
=1
a
k
cos
kx
=
π
2
3
+ 4
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
k
2
cos
kx ,
uz
F
(
±
π
) =
π
2
.
Grafik funkcije
F
(
x
) prikazan je na Slici 3.3.7.
74
TEORIJA REDOVA
x
y
0
p
p
p
2
p
2
p
2
p
3
p
3
Slika 3.3.7.
Sinusni razvoj dobijamo neparnim produˇzenjem funkcije
f
(
x
) u funkciju (3.3.20), tj.
f
2
(
x
) =
½
x
2
,
x
∈
[0
, π
]
,
−
x
2
,
x
∈
[
−
π,
0)
.
Fourierovi koeficijenti se izraˇcunavaju prema (3.3.10):
a
0
= 0
,
a
n
= 0
(
n
∈
N
)
,
b
n
=
2
π
Z
π
0
x
2
sin
nx dx
=
2
π
n
(
−
1)
n
+1
+
4
n
3
π
[
(
−
1)
n
−
1
]
(
n
∈
N
)
i sinusni razvoj (3.3.11) glasi
F
(
x
) =
∞
X
k
=1
b
k
sin
kx
=
∞
X
k
=1
³
2
π
k
(
−
1)
k
+1
+
4
k
3
π
[
(
−
1)
k
−
1
]
´
sin
kx ,
uz
F
(
±
π
) = 0
.
Dobijeni razvoj moˇze da se predstavi i na slede´ci naˇcin. Za
n
= 2
k
i
n
= 2
k
−
1 (
k
∈
N
)
je redom:
b
2
k
=
−
π
k
,
b
2
k
−
1
=
2
π
2
k
−
1
−
8
(2
k
−
1)
3
π
(
k
∈
N
)
,
pa je
F
(
x
) =
∞
X
k
=1
b
2
k
−
1
sin(2
k
−
1)
x
+
∞
X
k
=1
b
2
k
sin 2
kx
= 2
∞
X
k
=1
³
π
2
k
−
1
−
4
(2
k
−
1)
3
π
´
sin(2
k
−
1)
x
−
π
∞
X
k
=1
1
k
sin 2
kx .
Grafik funkcije
F
(
x
) izgleda kao na Slici 3.3.8.
76
TEORIJA REDOVA
Kako je 1
−
(
−
1)
n
+1
= 2 za
n
= 2
k
i 1
−
(
−
1)
n
+1
= 0 za
n
= 2
k
−
1 (
k
∈
N
), to je:
a
2
k
=
1
4
k
2
−
1
,
a
2
k
−
1
= 0
(
k
∈
N
)
,
pa kosinusni razvoj glasi
F
(
x
) =
∞
X
k
=1
a
2
k
cos 2
kx
=
∞
X
k
=1
1
4
k
2
−
1
cos 2
kx ,
pri ˇcemu je
F
(
±
π
) =
1
2
.
Za
x
= 0 je
F
(0) =
f
(0) =
1
2
, pa je traˇzeni zbir brojnog reda
∞
X
k
=1
1
4
k
2
−
1
=
1
2
.
4
4. ZADACI ZA VEˇ
ZBU
1
.
Ispitati konvergenciju i na´ci zbir reda
∞
P
k
=1
a
k
, gde je
a
k
= arctan
1
2
k
2
.
Reˇsenje.
Koriˇs´cenjem formule
arctan
x
±
arctan
y
= arctan
x
±
y
1
∓
xy
dobija se:
a
k
= arctan
1
2
k
−
1
−
arctan
1
2
k
+ 1
,
S
n
=
n
X
k
=1
a
k
= arctan 1
−
arctan
1
2
n
+ 1
,
S
= lim
n
→∞
S
n
= arctan 1 =
π
4
.
Prema Definiciji 2.1.4, red
∞
P
k
=1
a
k
konvergira i ima zbir
S
=
π/
4.
2
.
Ispitati konvergenciju i na´ci zbir reda
∞
P
k
=1
a
k
, gde je
a
k
=
sin
1
k
(
k
+ 1)
cos
1
k
cos
1
k
+ 1
.
Reˇsenje.
Koriˇs´cenjem adicione formule
sin(
x
±
y
) = sin
x
cos
y
±
cos
x
sin
y
77
ZADACI ZA VEˇ
ZBU
79
Prema istom primeru, red
∞
P
k
=1
1
q
k
=
∞
P
k
=1
³
1
q
´
k
konvergira za
¯
¯
¯
1
q
¯
¯
¯
<
1, tj.
|
q
|
>
1. Zbir
ovog reda je
S
=
∞
X
k
=1
1
q
k
=
1
q
∞
X
k
=0
1
q
k
=
1
q
1
1
−
1
q
=
1
q
−
1
.
5
.
Ispitati konvergenciju i na´ci zbir redova
∞
P
k
=0
a
k
i
∞
P
k
=0
b
k
, gde je:
a
k
=
q
k
cos
kx ,
b
k
=
q
k
sin
kx
(
|
q
|
<
1)
i
x
∈
R
proizvoljna konstanta.
Reˇsenje.
Formiramo novi red
∞
P
k
=0
c
k
, gde je
c
k
=
a
k
+
ib
k
=
q
k
(cos
kx
+
i
sin
kx
) =
q
k
e
ikx
=
(
qe
ix
)
k
i
i
=
√
−
1 imaginarna jedinica. Red
∞
P
k
=0
c
k
je, tzv., kompleksan red jer za ˇclanove ima
kompleksne brojeve. Ovakve redove nismo teorijski razmatrali, pa ovaj primer navodimo
samo kao njihovu ilustraciju. Kompleksni redovi su opisani u [
1
]. Neka od tvrd¯enja koja
vaˇze za realne redove, u analognom obliku vaˇze i za kompleksne redove. Takve su, npr.,
Teoreme 2.1.1–2.1.4 (videti [
1
], str. 130–134) i Teorema 2.4.1 (videti [
1
], str. 149–150).
Kako je
|
c
k
|
=
|
q
|
k
i
|
q
|
<
1, red
∞
P
k
=0
|
c
k
|
konvergira, pa konvergira i red
∞
P
k
=0
c
k
. Red
∞
P
k
=0
c
k
=
∞
P
k
=0
(
qe
ix
)
k
je ”geometrijski” i ima zbir oblika (2.1.8), tj.
S
=
1
1
−
qe
ix
=
1
1
−
q
(cos
x
+
i
sin
x
)
=
1
−
q
cos
x
1 +
q
2
−
2
q
cos
x
+
i
q
sin
x
1 +
q
2
−
2
q
cos
x
.
Vidimo da je zbir
S
kompleksan broj, ˇsto je prirodno jer su ˇclanovi reda kompleksni
brojevi. Izjednaˇcavanjem realnih i imaginarnih delova, iz jednakosti
∞
X
k
=0
c
k
=
∞
X
k
=0
a
k
+
i
∞
X
k
=0
b
k
sledi:
S
1
=
∞
X
k
=0
a
k
=
1
−
q
cos
x
1 +
q
2
−
2
q
cos
x
,
S
2
=
∞
X
k
=0
b
k
=
q
sin
x
1 +
q
2
−
2
q
cos
x
.
80
TEORIJA REDOVA
6
.
Ispitati konvergenciju reda
∞
P
k
=1
a
k
, gde je
a
k
=
³
2
k
2
−
3
2
k
2
+ 1
´
k
2
.
Reˇsenje.
Vaˇzi lim
x
→∞
³
1 +
1
x
´
x
=
e
(videti [
3
], str. 324—325).
Kako je opˇsti ˇclan
a
n
=
³
1
−
4
2
n
2
+ 1
´
n
2
=
"
³
1
−
4
2
n
2
+ 1
´
−
2
n
2
+ 1
4
#
−
4
n
2
2
n
2
+ 1
,
to je
lim
n
→∞
a
n
= exp
³
lim
n
→∞
−
4
n
2
2
n
2
+ 1
´
=
e
−
2
6
= 0
.
Prema Teoremi 2.1.4, red
∞
P
k
=1
a
k
divergira.
7
.
Ispitati konvergenciju redova
∞
P
k
=1
a
k
, gde je:
(1
◦
)
a
k
=
1
k
³
2
5
´
k
,
(2
◦
)
a
k
=
1
(ln
k
)
ln
k
(
k
≥
2)
.
Reˇsenje.
Zadatak se reˇsava primenom poredbenog kriterijuma iz Teoreme 2.2.3.
(1
◦
) Neka je
b
k
=
³
2
5
´
k
. Za
k
≥
1 je
1
k
≤
1, pa je
a
k
≤
³
2
5
´
k
=
b
k
za svako
k
∈
N
.
Kako je
∞
P
k
=1
b
k
=
∞
P
k
=1
³
2
5
´
k
konvergentan geometrijski red, to je i
∞
P
k
=1
a
k
konvergentan.
(2
◦
) Neka je
b
k
=
1
k
2
. Kako je
(ln
k
)
ln
k
=
e
ln
[
(ln
k
)
ln
k
]
=
e
(ln
k
)
[
ln(ln
k
)
]
=
(
e
ln
k
)
ln(ln
k
)
=
k
ln(ln
k
)
,
i lim
k
→∞
ln(ln
k
) = +
∞
, to postoji
m
∈
N
,
m
≥
2 tako da je ln(ln
k
)
>
2 i
k
ln(ln
k
)
> k
2
za svako
k
≥
m
. Zato je
a
k
≤
1
k
2
=
b
k
za svako
k
≥
m
. Prema Napomeni 2.2.2, iz
konvergencije hiperharmonijskog reda
∞
P
k
=1
b
k
=
∞
P
k
=1
1
k
2
(Primer 2.2.3) sledi konvergencija
reda
∞
P
k
=1
a
k
.
82
TEORIJA REDOVA
i kako hiperharmonijski red
∞
P
k
=1
b
k
=
∞
P
k
=1
1
k
p
za
p
=
5
6
<
1 divergira (Primer 2.2.10), to
divergira i red
∞
P
k
=1
a
k
.
(4
◦
) Neka je
f
(
x
) =
x
−
1
/x
. Tada je:
ln
f
=
−
ln
x
x
,
lim
x
→∞
(ln
f
) =
−
lim
x
→∞
ln
x
x
=
−
lim
x
→∞
1
x
= 0
,
pa je ln( lim
x
→∞
f
) = 0 i lim
x
→∞
f
(
x
) = lim
x
→∞
x
−
1
/x
=
e
0
= 1.
Za
b
k
=
1
k
je
L
= lim
k
→∞
a
k
b
k
= lim
k
→∞
k
−
1
/k
= 1
6
= 0
,
pa red
∞
P
k
=1
a
k
divergira kao i harmonijski red
∞
P
k
=1
b
k
=
∞
P
k
=1
1
k
.
(5
◦
) Vaˇzi
(
c
x
)
0
=
c
x
ln
c
i lim
x
→
0
c
x
−
1
x
= ln
c
.
Za
b
k
=
1
k
je
L
= lim
k
→∞
a
k
b
k
= lim
k
→∞
c
1
/k
−
1
1
k
= ln
c
6
= 0
,
pa red
∞
P
k
=1
a
k
divergira jer divergira harmonijski red
∞
P
k
=1
b
k
=
∞
P
k
=1
1
k
.
(6
◦
) Kako je lim
x
→
0
sin
x
x
= 1 (videti [
3
], str. 323–324), to je sin
x
∼
x
kad
x
→
0.
Neka je
b
k
=
³
2
3
´
k
. Tada je
a
k
=
2
k
3
k
sin
1
3
k
1
3
k
∼
³
2
3
´
k
=
b
k
.
Red
∞
P
k
=1
b
k
=
∞
P
k
=1
³
2
3
´
k
je konvergentan geometrijski red, pa je i red
∞
P
k
=1
a
k
konvergentan.
9
.
Ako je lim
k
→∞
ka
k
=
a
6
= 0, dokazati da je
∞
P
k
=1
a
k
divergentan red.
Reˇsenje.
Neka je
b
k
=
1
k
. Kako je
L
= lim
k
→∞
a
k
b
k
= lim
k
→∞
a
k
1
k
= lim
k
→∞
ka
k
=
a
6
= 0
,
ZADACI ZA VEˇ
ZBU
83
iz divergencije harmonijskog reda
∞
P
k
=1
b
k
=
∞
P
k
=1
1
k
sledi divergencija reda
∞
P
k
=1
a
k
.
10
.
Ispitati konvergenciju redova
∞
P
k
=1
a
k
, gde je:
(1
◦
)
a
k
=
³
3
k
k
+ 5
´
k
³
k
+ 2
k
+ 3
´
k
2
,
(2
◦
)
a
k
=
k
2
³
k
2
k
−
1
´
k
.
Reˇsenje.
Zadatak reˇsavamo primenom Cauchyevog kriterijuma (Teorema 2.2.7).
(1
◦
) Za opˇsti ˇclan
a
n
nalazimo
L
= lim
n
→∞
n
√
a
n
= lim
n
→∞
3
n
n
+ 5
³
n
+ 2
n
+ 3
´
n
= 3 lim
n
→∞
³
1
−
1
n
+ 3
´
n
= 3
e
−
1
>
1
,
pa red
∞
P
k
=1
a
k
divergira.
(2
◦
) Sliˇcno kao u Zadatku 8(4
◦
), pokazuje se da je lim
x
→∞
x
2
/x
= 1.
Prema prethodnom je
L
= lim
n
→∞
n
√
a
n
= lim
n
→∞
n
√
n
2
n
2
n
−
1
=
1
2
lim
n
→∞
n
2
/n
=
1
2
<
1
i red
∞
P
k
=1
a
k
konvergira.
11
.
Ispitati konvergenciju redova
∞
P
k
=1
a
k
, gde je:
(1
◦
)
a
k
=
3
k
k
!
k
k
,
(2
◦
)
a
k
=
(2
k
+ 1)!!
3
k
(
k
!)
2
.
Reˇsenje.
Zadatak reˇsavamo primenom D’Alambertovog kriterijuma (Teorema 2.2.9).
(1
◦
) Za opˇsti ˇclan
a
n
nalazimo
L
= lim
n
→∞
a
n
+1
a
n
= lim
n
→∞
3
n
+1
(
n
+ 1)!
(
n
+ 1)
n
+1
n
n
3
n
n
!
= lim
n
→∞
3
³
n
n
+ 1
´
n
= 3
e
−
1
>
1
,
pa red
∞
P
k
=1
a
k
divergira.
(2
◦
) Kako je
L
= lim
n
→∞
a
n
+1
a
n
= lim
n
→∞
(2
n
+ 3)!!
3
n
+1
(
(
n
+ 1)!
)
2
3
n
(
n
!)
2
(2
n
+ 1)!!
= lim
n
→∞
2
n
+ 3
3(
n
+ 1)
2
= 0
<
1
,
ZADACI ZA VEˇ
ZBU
85
Za
p
= 1 je
Z
+
∞
m
f
(
x
)
dx
=
Z
+
∞
m
dx
x
ln
x
=
Z
+
∞
ln
m
dt
t
= ln
t
¯
¯
¯
+
∞
ln
m
= +
∞
.
Dakle, red
∞
P
k
=2
a
k
konvergira za
p >
1 i divergira za
p
≤
1.
13
.
Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergenciju alternativnih redova
∞
P
k
=1
a
k
,
gde je:
a
k
=
(
−
1)
k
(
k
!)
3
,
(2
◦
)
a
k
=
(
−
2)
k
(
k
2
)!
,
(1
◦
)
a
k
=
(
−
1)
k
+1
ln(
k
+ 1)
,
(4
◦
)
a
k
= (
−
1)
k
−
1
tan
1
k
.
(3
◦
)
Reˇsenje.
(1
◦
) Kako je
|
a
n
|
=
1
(
n
!)
3
i
L
= lim
n
→∞
|
a
n
+1
|
|
a
n
|
= lim
n
→∞
(
n
!)
3
[
(
n
+ 1)!
]
3
= lim
n
→∞
1
(
n
+ 1)
3
= 0
<
1
,
red
∞
P
k
=1
|
a
k
|
konvergira prema D’Alambertovom kriterijumu. Tada
∞
P
k
=1
a
k
apsolutno kon-
vergira prema Definiciji 2.4.1 i konvergira prema Teoremi 2.4.1.
(2
◦
) Kako je
L
= lim
n
→∞
|
a
n
+1
|
|
a
n
|
= lim
n
→∞
2(
n
2
)!
[
(
n
+ 1)
2
]
!
= lim
n
→∞
2
(
n
2
+ 2
n
+ 1)(
n
2
+ 2
n
)
· · ·
(
n
2
+ 1)
= 0
<
1
,
red
∞
P
k
=1
|
a
k
|
konvergira, pa
∞
P
k
=1
a
k
apsolutno konvergira, a time i konvergira.
(3
◦
) Za
x
≥
1, funkcija
f
(
x
) =
x
−
ln
x
raste i vaˇzi
f
(1) = 1
>
0. Zato je
f
(
x
)
>
0, tj.
x >
ln
x
, za svako
x
≥
1.
Kako je
|
a
k
|
=
1
ln(
k
+ 1)
, prema prethodnom sledi
1
k
+ 1
<
1
ln(
k
+ 1)
.
Red
∞
P
k
=1
1
k
+ 1
=
∞
P
k
=2
1
k
divergira prema Teoremi 2.1.3 jer divergira red
∞
P
k
=1
1
k
. Prema pored-
benom kriterijumu iz Teoreme 2.2.3, tada divergira i red
∞
P
k
=1
|
a
k
|
.
86
TEORIJA REDOVA
S druge strane, niz
(
|
a
n
|
)
n
∈
N
je opadaju´ci i vaˇzi lim
n
→∞
|
a
n
|
= 0, pa red
∞
P
k
=1
a
k
konvergira
prema Leibnizovom kriterijumu (Teorema 2.3.1).
Dakle, red
∞
P
k
=1
a
k
uslovno konvergira prema Definiciji 2.4.2.
(4
◦
) Kako je lim
x
→
0
tan
x
x
= 1, to je tan
x
∼
x
kad
x
→
0.
Prema prethodnom je
|
a
k
|
= tan
1
k
∼
1
k
,
pa
∞
P
k
=1
|
a
k
|
divergira kao i harmonijski red
∞
P
k
=1
1
k
.
Niz
(
|
a
n
|
)
n
∈
N
opada i vaˇzi lim
n
→∞
|
a
n
|
= 0, pa
∞
P
k
=1
a
k
konvergira prema Leibnizovom
kriterijumu.
Dakle,
∞
P
k
=1
a
k
uslovno konvergira.
14
.
Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergenciju alternativnih redova
∞
P
k
=1
a
k
,
gde je:
(1
◦
)
a
k
=
(
−
1)
k
k
p
,
(2
◦
)
a
k
= (
−
1)
k
√
k
k
2
+ 1
.
Reˇsenje.
(1
◦
) Ovde je
|
a
k
|
=
1
k
p
. Prema Primeru 2.2.10, hiperharmonijski red
∞
P
k
=1
1
k
p
konvergira za
p >
1 i divergira za
p
≤
1. Zato za
p >
1 red
∞
P
k
=1
a
k
apsolutno konvergira.
Za 0
< p
≤
1, niz
(
|
a
n
|
)
n
∈
N
opada i vaˇzi lim
n
→∞
|
a
n
|
= 0, pa red
∞
P
k
=1
a
k
konvergira
prema Leibnizovom kriterijumu.
Za
p
≤
0,
∞
P
k
=1
a
k
divergira prema Teoremi 2.1.4.
Dakle,
∞
P
k
=1
a
k
apsolutno konvergira za
p >
1 i uslovno konvergira za 0
< p
≤
1.
(2
◦
) Ovde je
a
k
= (
−
1)
k
√
k
k
2
+ 1
∼
(
−
1)
k
1
k
3
/
2
.
Prema rezultatu pod (1
◦
), red
∞
P
k
=1
(
−
1)
k
1
k
3
/
2
apsolutno konvergira jer je
p
=
3
2
>
1. Zato
i dati red
∞
P
k
=1
a
k
apsolutno konvergira.
88
TEORIJA REDOVA
Reˇsenje.
Rastavljanjem
f
k
(
x
) na delimiˇcne razlomke i sumiranjem sledi:
f
k
(
x
) =
1
1 + (
k
−
1)
x
−
1
1 +
kx
,
S
n
(
x
) =
n
X
k
=1
f
k
(
x
) = 1
−
1
1 +
nx
,
S
(
x
) = lim
n
→∞
S
n
(
x
) = 1
,
x
∈
[
α, β
]
.
Iz
|
R
n
(
x
)
|
=
|
S
(
x
)
−
S
n
(
x
)
|
=
1
1 +
nx
≤
1
1 +
nα
<
1
nα
,
za proizvoljno
ε >
0 sledi
|
R
n
(
x
)
|
< ε
kad je
1
nα
< ε
, tj.
n >
1
αε
. Zato postoji
N
(
ε
) =
h
1
αε
i
+ 1
∈
N
tako da je
|
R
n
(
x
)
|
< ε
za svako
n
≥
N
(
ε
) i svako
x
∈
[
α, β
].
Prema Napomeni 3.1.1, red
∞
P
k
=1
f
k
(
x
) uniformno konvergira na svakom segmentu [
α, β
] sa
0
< α < β
ka funkciji
S
(
x
) = 1.
17
.
U navedenim intervalima ispitati uniformnu konvergenciju redova
∞
P
k
=1
f
k
(
x
), gde je:
f
k
(
x
) =
1
x
2
+
k
2
,
x
∈
(
−∞
,
+
∞
)
,
(1
◦
)
f
k
(
x
) =
x
2
e
−
kx
,
x
∈
[0
,
+
∞
)
.
(2
◦
)
Reˇsenje.
Zadatak reˇsavamo primenom Weierstrassovog kriterijuma (Teorema 3.1.6).
(1
◦
) Kako je
|
f
k
(
x
)
|
=
1
x
2
+
k
2
≤
1
k
2
=
M
k
za svako
x
∈
(
−∞
,
+
∞
) i svako
k
∈
N
i kako je
∞
P
k
=1
M
k
=
∞
P
k
=1
1
k
2
konvergentan hiper-
harmonijski red, to
∞
P
k
=1
f
k
(
x
) uniformno konvergira na (
−∞
,
+
∞
).
(2
◦
) Ispitivanjem monotonosti funkcije
f
k
(
x
) pomo´cu
f
0
k
(
x
) =
xe
−
kx
(2
−
kx
), utvrd¯u-
jemo
max
x
∈
[0
,
+
∞
)
|
f
k
(
x
)
|
=
f
k
³
2
k
´
=
4
k
2
e
−
2
=
M
k
,
pa je
|
f
k
(
x
)
| ≤
M
k
za svako
x
∈
[0
,
+
∞
) i svako
k
∈
N
. Red
∞
P
k
=1
M
k
= 4
e
−
2
∞
P
k
=1
1
k
2
je
konvergentan, pa je
∞
P
k
=1
f
k
(
x
) uniformno konvergentan na [0
,
+
∞
).
ZADACI ZA VEˇ
ZBU
89
18
.
Ako je
|
x
| ≥
r
, 0
< r <
+
∞
, ispitati uniformnu konvergenciju reda
∞
P
k
=1
f
k
(
x
), gde je
f
k
(
x
) =
(
−
1)
k
k
√
k
1
x
.
Reˇsenje.
Zadatak reˇsavamo primenom Weierstrassovog kriterijuma.
Za
|
x
| ≥
r
je
|
f
k
(
x
)
|
=
1
k
√
k
1
|
x
|
≤
1
k
√
k
1
r
=
M
k
.
Red
∞
P
k
=1
M
k
=
1
r
∞
P
k
=1
1
k
√
k
=
1
r
∞
P
k
=1
1
k
3
/
2
je konvergentan hiperharmonijski red, pa
∞
P
k
=1
f
k
(
x
) uniformno konvergira na (
−∞
,
−
r
]
∪
[
r,
+
∞
) za svako
r
takvo da je 0
< r <
+
∞
.
Ovo je primer koji ukazuje na ˇcinjenicu da oblast konvergencije ne mora obavezno da
bude interval, ve´c moˇze da ima i drugaˇciji oblik. Konkretno, ovde je oblast konvergencije
unija intervala.
19
.
Ispitati konvergenciju potencijalnih redova
∞
P
k
=1
a
k
x
k
, gde je:
a
k
=
√
k
+ 1
−
√
k ,
(2
◦
)
a
k
=
1
k
p
,
(1
◦
)
a
k
=
c
−
√
k
(
c >
0)
.
(3
◦
)
Reˇsenje.
Radijus konvergencije odred¯ujemo prema (3.2.3).
(1
◦
) Kako je
R
= lim
n
→∞
¯
¯
¯
a
n
a
n
+1
¯
¯
¯
= lim
n
→∞
√
n
+ 1
−
√
n
√
n
+ 2
−
√
n
+ 1
= lim
n
→∞
√
n
+ 2 +
√
n
+ 1
√
n
+ 1 +
√
n
= 1
,
prema Teoremi 3.2.2 red
∞
P
k
=1
a
k
x
k
konvergira za svako
x
∈
(
−
1
,
1).
Za
x
= 1, dati red se svodi na brojni
∞
P
k
=1
a
k
=
∞
P
k
=1
(
√
k
+ 1
−
√
k
)
, za koji je:
S
n
=
n
X
k
=1
(
p
k
+ 1
−
√
k
)
=
√
n
+ 1
−
1
,
lim
n
→∞
S
n
= +
∞
,
pa
∞
P
k
=1
a
k
divergira.
ZADACI ZA VEˇ
ZBU
91
Za
x
=
−
1 dobijamo alternativni red
∞
P
k
=1
(
−
1)
k
a
k
=
∞
P
k
=1
(
−
1)
k
c
−
√
k
. Za
c >
1 vaˇzi:
lim
n
→∞
a
n
= lim
n
→∞
1
c
√
n
= 0
,
a
n
=
1
c
√
n
>
1
c
√
n
+1
=
a
n
+1
,
pa red konvergira prema Leibnizovom kriterijumu. Za 0
< c
≤
1 red divergira prema
Teoremi 2.1.4.
Dakle, zavisno od vrednosti broja
c
imamo slede´ca tri sluˇcaja. Dati red
∞
P
k
=1
a
k
x
k
konvergira za svako
x
∈
(
−
1
,
1] ako je
c <
1, za svako
x
∈
(
−
1
,
1) ako je
c
= 1 ili za svako
x
∈
[
−
1
,
1) ako je
c >
1.
20
.
Ispitati konvergenciju reda
∞
P
k
=1
f
k
(
x
), gde je
f
k
(
x
) =
³
1 +
1
k
´
−
k
2
e
−
kx
.
Reˇsenje.
Uvod¯enjem smene
t
=
e
−
x
, dati red postaje stepeni
∞
X
k
=1
b
k
t
k
=
∞
X
k
=1
³
1 +
1
k
´
−
k
2
t
k
.
Radijus konvergencije odred¯ujemo prema (3.2.4) i dobijamo
R
= lim
n
→∞
1
n
√
b
n
= lim
n
→∞
³
1 +
1
n
´
n
=
e .
Kako je
e
−
x
>
0 za svako
x
∈
R
, to iz
|
t
|
< e
sledi
|
e
−
x
|
< e
, tj. 0
< e
−
x
< e
i dalje:
ln
e
−
x
<
ln
e
,
−∞
<
−
x <
1,
−
1
< x <
+
∞
.
Za
x
=
−
1 se dobija brojni red
∞
P
k
=1
a
k
=
∞
P
k
=1
³
1 +
1
k
´
−
k
2
e
k
. Za opˇsti ˇclan ovog reda
vaˇzi
a
n
=
e
n
·³
1 +
1
n
´
n
¸
n
=
e
³
1 +
1
n
´
n
n
>
1
(videti [
3
], str. 137–139), pa je lim
n
→∞
a
n
6
= 0 i red divergira prema Teoremi 2.1.4.
Dakle, dati red
∞
P
k
=1
f
k
(
x
) konvergira za svako
x
∈
(
−
1
,
+
∞
).
21
.
Ispitati konvergenciju reda
∞
P
k
=1
f
k
(
x
), gde je
f
k
(
x
) =
k
³
9
2
´
k
x
k
(1
−
x
)
k
.
92
TEORIJA REDOVA
Reˇsenje.
Smenom
t
=
x
(1
−
x
) dati red postaje stepeni
∞
X
k
=1
b
k
t
k
=
∞
X
k
=1
k
³
9
2
´
k
t
k
.
Radijus konvergencije odred¯ujemo prema (3.2.4) i dobijamo
R
= lim
n
→∞
1
n
√
b
n
=
2
9
lim
n
→∞
1
n
√
n
=
2
9
,
gde je lim
n
→∞
n
√
n
= 1 odred¯en kao u Primeru 2.2.7 ili u Zadatku 8(4
◦
).
Za
t
=
2
9
dobija se brojni red
∞
P
k
=1
k
, a za
t
=
−
2
9
red
∞
P
k
=1
(
−
1)
k
k
. Oba dobijena reda
divergiraju prema Teoremi 2.1.4.
Zakljuˇcujemo da red
∞
P
k
=1
b
k
t
k
konvergira za svako
t
∈
³
−
2
9
,
2
9
´
.
Kako je
t
=
−
x
2
+
x
, diskusijom znaka kvadratnog trinoma, iz
−
2
9
< t <
2
9
sledi da
red
∞
P
k
=1
f
k
(
x
) konvergira za svako
x
∈
³
3
−
√
17
6
,
1
3
´
∪
³
2
3
,
3 +
√
17
6
´
.
22
.
Ispitati konvergenciju i na´ci zbir potencijalnih redova
∞
P
k
=1
a
k
x
k
, gde je:
a
k
=
1
k
5
k
,
(2
◦
)
a
k
=
k
2
−
1
2
k
.
(1
◦
)
Reˇsenje.
(1
◦
) Radijus konvergencije je
R
= lim
n
→∞
¯
¯
¯
a
n
a
n
+1
¯
¯
¯
= lim
n
→∞
(
n
+ 1) 5
n
+1
n
5
n
= 5 lim
n
→∞
n
+ 1
n
= 5
,
pa red konvergira za
x
∈
(
−
5
,
5).
Za
x
= 5 se dobija harmonijski red (2.2.7) koji divergira. Za
x
=
−
5 se dobija alter-
nativni red
∞
P
k
=1
(
−
1)
k
k
iz Primera 2.3.1 koji konvergira prema Leibnizovom kriterijumu.
Dakle, dati red
∞
P
k
=1
a
k
x
k
konvergira za svako
x
∈
[
−
5
,
5), tj. postoji zbir
S
(
x
) =
∞
X
k
=1
1
k
5
k
x
k
,
x
∈
[
−
5
,
5)
.
94
TEORIJA REDOVA
Ponovnom integracijom i primenom (3.2.9) sledi
Z
S
2
(
x
)
dx
=
∞
X
k
=1
k
−
1
2
k
x
k
−
1
k
−
1
=
∞
X
k
=1
1
2
k
x
k
−
1
=
1
2
∞
X
k
=1
x
k
−
1
2
k
−
1
=
1
2
∞
X
k
=1
³
x
2
´
k
−
1
=
1
2
∞
X
k
=0
³
x
2
´
k
=
1
2
1
1
−
x
2
=
1
2
−
x
,
pa je
S
2
(
x
) =
³
1
2
−
x
´
0
=
1
(2
−
x
)
2
.
Zato je
S
1
(
x
) =
x
3
S
2
(
x
) =
x
3
(2
−
x
)
2
,
S
(
x
) =
S
0
1
(
x
) =
³
x
3
(2
−
x
)
2
´
0
=
x
2
(6
−
x
)
(2
−
x
)
3
,
x
∈
(
−
2
,
2)
.
23
.
Ispitati konvergenciju i na´ci zbir potencijalnog reda
∞
P
k
=1
a
k
x
k
, gde je
a
k
=
(
−
1)
k
k
2
(
k
+ 1)!
.
Reˇsenje.
Radijus konvergencije je
R
= lim
n
→∞
¯
¯
¯
a
n
a
n
+1
¯
¯
¯
= lim
n
→∞
(
n
+ 2)
³
n
n
+ 1
´
2
= +
∞
,
pa red
∞
P
k
=1
a
k
x
k
konvergira za svako
x
∈
(
−∞
,
+
∞
).
Posmatrajmo novi red
∞
P
k
=0
(
−
1)
k
(
k
+ 1)!
x
k
. Lako se nalazi radijus konvergencije
R
= +
∞
,
pa i ovaj red konvergira za svako
x
∈
(
−∞
,
+
∞
), tj. postoji zbir
S
1
(
x
) =
∞
X
k
=0
(
−
1)
k
(
k
+ 1)!
x
k
,
x
∈
(
−∞
,
+
∞
)
.
Koriste´ci razvoj (3.2.25) funkcije
e
x
, zbir
S
1
(
x
) moˇze da se predstavi na naˇcin
S
1
(
x
) =
−
1
x
∞
X
k
=0
(
−
1)
k
+1
(
k
+ 1)!
x
k
+1
=
−
1
x
∞
X
k
=1
(
−
x
)
k
k
!
=
−
1
x
³
−
1 +
∞
X
k
=0
(
−
x
)
k
k
!
´
=
−
1
x
(
−
1 +
e
−
x
)
=
1
x
(
1
−
e
−
x
)
.
ZADACI ZA VEˇ
ZBU
95
Primenjujemo Teoremu 3.2.5 i diferenciranjem nalazimo:
S
0
1
(
x
) =
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
(
k
+ 1)!
kx
k
−
1
=
1
x
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
k
(
k
+ 1)!
x
k
,
S
0
1
(
x
) =
xe
−
x
+
e
−
x
−
1
x
2
,
odakle sledi
S
2
(
x
) =
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
k
(
k
+ 1)!
x
k
=
xS
0
1
(
x
) =
xe
−
x
+
e
−
x
−
1
x
.
Ponavljamo postupak sa
S
2
(
x
) i nalazimo
S
0
2
(
x
) =
1
x
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
k
2
(
k
+ 1)!
x
k
=
−
x
2
e
−
x
−
xe
−
x
−
e
−
x
+ 1
x
2
,
pa je traˇzeni zbir
S
(
x
) =
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
k
2
(
k
+ 1)!
x
k
=
xS
0
2
(
x
) =
1
x
−
³
x
+ 1 +
1
x
´
e
−
x
,
x
∈
(
−∞
,
+
∞
)
.
24
.
Ispitati konvergenciju i na´ci zbir redova
∞
P
k
=1
f
k
(
x
), gde je:
f
k
(
x
) =
2
k
2
k
−
1
x
2
k
−
1
,
(1
◦
)
f
k
(
x
) =
k
+ 1
9
k
x
2
k
+1
.
(2
◦
)
Reˇsenje.
(1
◦
) Neka je
g
k
(
x
) =
2
k
2
k
−
1
x
2
k
.
Kako je
f
k
(
x
) =
1
x
g
k
(
x
), prema Teoremi 3.1.2 i Napomeni 3.1.3 redovi
∞
P
k
=1
f
k
(
x
) i
∞
P
k
=1
g
k
(
x
) imaju isti interval konvergencije. Zato umesto reda
∞
P
k
=1
f
k
(
x
) posmatramo red
∞
P
k
=1
g
k
(
x
). Smenom
t
=
x
2
≥
0 red
∞
P
k
=1
g
k
(
x
) postaje stepeni
∞
X
k
=1
a
k
t
k
=
∞
X
k
=1
2
k
2
k
−
1
t
k
,
ZADACI ZA VEˇ
ZBU
97
Radi jednostavnosti, prvo nalazimo zbir
S
1
(
t
) =
∞
X
k
=1
k
+ 1
9
k
t
k
.
Integracijom se dobija
Z
S
1
(
t
)
dt
=
∞
X
k
=1
1
9
k
t
k
+1
=
t
∞
X
k
=1
³
t
9
´
k
=
t
t
9
∞
X
k
=1
³
t
9
´
k
−
1
=
t
2
9
∞
X
k
=0
³
t
9
´
k
=
t
2
9
−
t
,
pa je
S
1
(
t
) =
³
t
2
9
−
t
´
0
=
t
(18
−
t
)
(9
−
t
)
2
.
Zato je
S
(
x
) =
x
∞
X
k
=1
k
+ 1
9
k
(
x
2
)
k
=
xS
1
(
x
2
)
=
x
3
(
18
−
x
2
)
(
9
−
x
2
)
2
,
x
∈
(
−
3
,
3)
.
25
.
Ispitati konvergenciju i na´ci zbir redova
∞
P
k
=1
f
k
(
x
), gde je:
f
k
(
x
) =
(
−
1)
k
−
1
k
(2
k
−
1)
x
2
k
,
(1
◦
)
f
k
(
x
) =
(
−
1)
k
+1
4
k
2
−
1
³
x
−
1
x
+ 1
´
2
k
+1
.
(2
◦
)
Reˇsenje.
(1
◦
) Smenom
t
=
x
2
≥
0 dati red postaje stepeni
∞
X
k
=1
a
k
t
k
=
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
−
1
k
(2
k
−
1)
t
k
,
za koji je
R
= lim
n
→∞
¯
¯
¯
a
n
a
n
+1
¯
¯
¯
= lim
n
→∞
(
n
+ 1)(2
n
+ 1)
n
(2
n
−
1)
= 1
,
pa red konvergira za
t
∈
[0
,
1). Zato red
∞
P
k
=1
f
k
(
x
) konvergira za
x
2
∈
[0
,
1), tj.
x
∈
(
−
1
,
1).
Za
x
=
±
1 dobijamo alternativni red
∞
P
k
=1
(
−
1)
k
−
1
k
(2
k
−
1)
koji apsolutno konvergira zbog
1
k
(2
k
−
1)
∼
1
k
2
. Dakle, red
∞
P
k
=1
f
k
(
x
) konvergira za svako
x
∈
[
−
1
,
1], pa postoji zbir
S
(
x
) =
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
−
1
k
(2
k
−
1)
x
2
k
,
x
∈
[
−
1
,
1]
.
98
TEORIJA REDOVA
Primenjujemo Teoremu 3.2.5 i sukcesivnim diferenciranjem nalazimo:
S
0
(
x
) = 2
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
−
1
2
k
−
1
x
2
k
−
1
,
S
00
(
x
) = 2
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
−
1
x
2
k
−
2
= 2
∞
X
k
=0
(
−
1)
k
x
2
k
=
2
1 +
x
2
.
Kako je
S
0
(0) = 0, integracijom poslednje jednakosti sledi:
Z
x
0
S
00
(
t
)
dt
=
S
0
(
t
)
¯
¯
¯
x
0
=
S
0
(
x
)
−
S
0
(0) =
S
0
(
x
)
,
Z
x
0
S
00
(
t
)
dt
= 2
Z
x
0
dt
1 +
t
2
= 2 arctan
x ,
pa je
S
0
(
x
) = 2 arctan
x .
Ponavljamo integraciju na
S
0
(
x
) i dobijamo:
Z
x
0
S
0
(
t
)
dt
=
S
(
t
)
¯
¯
¯
x
0
=
S
(
x
)
−
S
(0) =
S
(
x
)
,
Z
x
0
S
0
(
t
)
dt
= 2
Z
x
0
arctan
t dt
= 2
x
arctan
x
−
ln
(
1 +
x
2
)
,
tj. traˇzeni zbir
S
(
x
) = 2
x
arctan
x
−
ln
(
1 +
x
2
)
,
x
∈
[
−
1
,
1]
.
Integral
R
arctan
t dt
je reˇsen parcijalnom integracijom.
(2
◦
) Umesto reda
∞
P
k
=1
f
k
(
x
) posmatramo red
∞
P
k
=1
g
k
(
x
), gde je
f
k
(
x
) =
x
−
1
x
+ 1
g
k
(
x
).
Smenom
t
=
³
x
−
1
x
+ 1
´
2
≥
0 posmatrani red postaje stepeni
∞
X
k
=1
a
k
t
k
=
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
+1
4
k
2
−
1
t
k
,
za koji je
R
= 1, pa red konvergira za
t
∈
[0
,
1). Zato red
∞
P
k
=1
g
k
(
x
) konvergira za
−
1
<
x
−
1
x
+ 1
<
1. Elementarnim reˇsavanjem poslednje dve nejednakosti se dobija
x >
0.
Za
x
= 0 dobijamo alternativni red
∞
P
k
=1
(
−
1)
k
4
k
2
−
1
koji apsolutno konvergira na osnovu
1
4
k
2
−
1
∼
1
k
2
. Dakle, red
∞
P
k
=1
g
k
(
x
) konvergira za
x
∈
[0
,
+
∞
). Kako je funkcija
100
TEORIJA REDOVA
Integral
R
u
arctan
u du
je reˇsen parcijalnom integracijom.
26
.
Razviti u stepeni red funkcije:
(1
◦
)
f
(
x
) = cos
2
x ,
(2
◦
)
f
(
x
) =
x
x
2
−
5
x
+ 6
i odrediti oblast konvergencije dobijenih redova.
Reˇsenje.
(1
◦
) Koriste´ci (3.2.27) nalazimo
f
(
x
) = cos
2
x
=
1 + cos 2
x
2
=
1
2
+
1
2
∞
X
k
=0
(
−
1)
k
(2
k
)!
(2
x
)
2
k
=
1
2
+
1
2
+
∞
X
k
=0
(
−
1)
k
4
k
(2
k
)!
x
2
k
,
x
∈
(
−∞
,
+
∞
)
.
(2
◦
) Rastavljanjem
f
(
x
) na delimiˇcne razlomke, dobijamo
f
(
x
) =
x
x
2
−
5
x
+ 6
=
x
(
x
−
2)(
x
−
3)
=
3
x
−
3
−
2
x
−
2
=
1
x
3
−
1
−
1
x
2
−
1
=
1
1
−
x
2
−
1
1
−
x
3
.
Prema (3.2.7) je
1
1
−
x
2
=
∞
X
k
=0
³
x
2
´
k
,
x
2
∈
(
−
1
,
1)
,
1
1
−
x
3
=
∞
X
k
=0
³
x
3
´
k
,
x
3
∈
(
−
1
,
1)
.
Kako iz
x
2
∈
(
−
1
,
1) sledi
x
∈
(
−
2
,
2) i iz
x
3
∈
(
−
1
,
1) sledi
x
∈
(
−
3
,
3) i kako je
(
−
2
,
2)
∩
(
−
3
,
3) = (
−
2
,
2), to je
f
(
x
) =
∞
X
k
=0
³
x
2
´
k
−
∞
X
k
=0
³
x
3
´
k
=
∞
X
k
=0
³
1
2
k
−
1
3
k
´
x
k
,
x
∈
(
−
2
,
2)
.
27
.
Razviti u stepeni red funkciju
f
(
x
) = ln
r
1 +
x
1
−
x
ZADACI ZA VEˇ
ZBU
101
i odrediti oblast konvergencije dobijenog reda.
Reˇsenje.
Kako je
f
(
x
) = ln
r
1 +
x
1
−
x
=
1
2
ln(1 +
x
)
−
1
2
ln(1
−
x
)
,
prema (3.2.11) je:
ln(1 +
x
) =
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
+1
k
x
k
,
x
∈
(
−
1
,
1]
,
ln(1
−
x
) =
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
+1
k
(
−
x
)
k
=
−
∞
X
k
=1
1
k
x
k
,
x
∈
[
−
1
,
1)
i
f
(
x
) =
1
2
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
+1
k
x
k
+
1
2
∞
X
k
=1
1
k
x
k
=
1
2
∞
X
k
=1
h
(
−
1)
k
+1
+ 1
i
1
k
x
k
,
x
∈
(
−
1
,
1)
.
Za
k
= 2
m
je (
−
1)
k
+1
+ 1 = 0, a za
k
= 2
m
−
1 je (
−
1)
k
+1
+ 1 = 2, gde je
m
∈
N
. Zato
je
f
(
x
) =
1
2
∞
X
m
=1
2
2
m
−
1
x
2
m
−
1
=
∞
X
k
=1
1
2
k
−
1
x
2
k
−
1
,
x
∈
(
−
1
,
1)
.
Oblast konvergencije smo dobili kao (
−
1
,
1) = (
−
1
,
1]
∩
[
−
1
,
1), dakle koriˇs´cenjem ve´c
izvedenih oblasti konvergencije u (3.2.11). Med¯utim, mogli smo i da iskoristimo poznati
razvoj (3.2.11), pa tek onda da odredimo oblast konvergencije. Tako je, za dobijeni razvoj
funkcije
f
(
x
),
R
= lim
n
→∞
2
n
+ 1
2
n
−
1
= 1, a za
x
=
±
1 brojni redovi
±
∞
P
k
=1
1
2
k
−
1
divergiraju
zbog
1
2
k
−
1
∼
1
k
. Dakle, oblast konvergencije je (
−
1
,
1). Ovo je, prirodno, isti rezultat
kao onaj koji smo ve´c dobili.
28
.
Razviti u stepeni red funkciju
f
(
x
) =
Z
x
0
arctan
t dt
i odrediti oblast konvergencije dobijenog reda.
Reˇsenje.
Zadatak se reˇsava integracijom jednakosti (3.2.15) na [
−
1
,
1] i dobija se
f
(
x
) =
Z
x
0
³
∞
X
k
=0
(
−
1)
k
2
k
+ 1
t
2
k
+1
´
dt
=
∞
X
k
=0
(
−
1)
k
2
k
+ 1
t
2
k
+2
2
k
+ 2
¯
¯
¯
x
0
=
∞
X
k
=0
(
−
1)
k
(2
k
+ 1)(2
k
+ 2)
x
2
k
+2
,
x
∈
[
−
1
,
1]
.
ZADACI ZA VEˇ
ZBU
103
Pri tome je
f
(
x
) =
F
(
x
) za svako
x
∈
(
−
π, π
),
x
6
= 0.
Grafik funkcije
F
(
x
) je prikazan na slede´coj slici.
x
y
0
p
p
p
3
p
1
1
p
2
p
3
2
31
.
Na´ci Fourierov razvoj funkcije
f
(
x
) =
½
x
(
π
+
x
)
,
x
∈
(
−
π,
0]
,
x
(
π
−
x
)
,
x
∈
[0
, π
)
.
Na osnovu dobijenog rezultata na´ci zbir brojnog reda
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
(2
k
−
1)
3
.
Uputstvo.
Data funkcija je neparna zbog
f
(
−
x
) =
½
−
x
(
π
−
x
)
,
−
x
∈
(
−
π,
0]
,
−
x
(
π
+
x
)
,
−
x
∈
[0
, π
)
,
=
½
−
x
(
π
−
x
)
,
x
∈
[0
, π
)
,
−
x
(
π
+
x
)
,
x
∈
(
−
π,
0]
,
=
½
−
x
(
π
+
x
)
,
x
∈
(
−
π,
0]
,
−
x
(
π
−
x
)
,
x
∈
[0
, π
)
,
=
−
f
(
x
)
,
pa za odred¯ivanje Fourierovih koeficijenata koristimo (3.3.10) i dobijamo:
F
(
x
) =
8
π
∞
X
k
=1
1
(2
k
−
1)
3
sin(2
k
−
1)
x ,
F
(
±
π
) = 0
,
pri ˇcemu je
f
(
x
) =
F
(
x
) za svako
x
∈
(
−
π, π
).
Za
x
=
π
2
je
f
³
π
2
´
=
π
2
4
,
f
³
π
2
´
=
F
³
π
2
´
=
8
π
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
+1
(2
k
−
1)
3
=
−
8
π
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
(2
k
−
1)
3
,
pa je
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
(2
k
−
1)
3
=
−
π
3
32
.
104
TEORIJA REDOVA
32
.
Na´ci kosinusni razvoj funkcije
f
(
x
) =
sin
2
x ,
x
∈
£
0
,
π
2
¤
,
1
,
x
∈
£
π
2
, π
¢
.
Reˇsenje.
Kosinusni razvoj dobijamo parnim produˇzenjem funkcije
f
(
x
) na (
−
π, π
) u
funkciju
f
1
(
x
) datu sa (3.3.19), tj.
f
1
(
x
) =
sin
2
x ,
x
∈
[
−
π
2
,
π
2
]
,
1
,
x
∈
(
−
π,
−
π
2
]
∪
[
π
2
, π
)
.
Kosinusni razvoj funkcije
f
(
x
) isti je kao Fourierov razvoj funkcije
f
1
(
x
) na (
−
π, π
).
Izraˇcunavanjem Fourierovih koeficijenata prema (3.3.8) sledi:
a
0
=
2
π
Z
π
0
f
1
(
x
)
dx
=
2
π
Z
π/
2
0
sin
2
x dx
+
2
π
Z
π
π/
2
dx
=
3
2
,
a
n
=
2
π
Z
π
0
f
1
(
x
) cos
nx dx
=
−
4
n
(4
−
n
2
)
π
sin
nπ
2
(
n
6
= 2)
,
a
2
=
2
π
Z
π
0
f
1
(
x
) cos 2
x dx
=
−
1
4
.
Kako je sin
nπ
2
= 0 za
n
= 2
k
i sin
nπ
2
= (
−
1)
k
+1
za
n
= 2
k
−
1 (
k
∈
N
), to je
a
2
k
= 0
,
a
2
k
−
1
=
−
4
(2
k
−
1)
[
4
−
(2
k
−
1)
2
]
π
(
k
∈
N
)
,
pa traˇzeni razvoj glasi:
F
(
x
) =
3
4
−
4
3
π
cos
x
−
1
4
cos 2
x
−
4
π
∞
X
k
=3
1
(2
k
−
1)
[
4
−
(2
k
−
1)
2
]
cos(2
k
−
1)
x ,
F
(
±
π
) = 1
,
pri ˇcemu je
f
(
x
) =
F
(
x
) za svako
x
∈
[0
, π
).
106
PRILOG
Stepeni razvoji funkcija
sa intervalima konvergencije
su slede´ci :
1
◦
1
1
−
x
=
∞
P
k
=0
x
k
,
x
∈
(
−
1
,
1) ;
2
◦
(1 +
x
)
p
=
∞
P
k
=0
³
p
k
´
x
k
(
p
∈
R
) ,
x
∈
(
−
1
,
1) ;
3
◦
e
x
=
∞
P
k
=0
1
k
!
x
k
,
x
∈
(
−∞
,
+
∞
) ;
4
◦
ln(1 +
x
) =
∞
P
k
=1
(
−
1)
k
+1
k
x
k
,
x
∈
(
−
1
,
1] ;
5
◦
sin
x
=
∞
P
k
=0
(
−
1)
k
(2
k
+ 1)!
x
2
k
+1
,
x
∈
(
−∞
,
+
∞
) ;
6
◦
cos
x
=
∞
P
k
=0
(
−
1)
k
(2
k
)!
x
2
k
,
x
∈
(
−∞
,
+
∞
) ;
7
◦
arctan
x
=
∞
P
k
=0
(
−
1)
k
2
k
+ 1
x
2
k
+1
,
x
∈
[
−
1
,
1] .
LITERATURA
1. R. Dimitrijevi´
c
:
Analiza realnih funkcija viˇse promenljivih
, Autor, Niˇs,
1999.
2. G. V. Milovanovi´
c, R. ˇ
Z. D
¯ ord¯evi´
c
:
Matematika za studente tehniˇckih
fakulteta, II deo
, ˇ
Cuperak plavi, Niˇs, 1996.
3. G. V. Milovanovi´
c, R. ˇ
Z. D
¯ ord¯evi´
c
:
Matematika za studente tehniˇckih
fakulteta, I deo
, Elektronski fakultet u Niˇsu, Niˇs, 2002.
4. D. S. Mitrinovi´
c
:
Predavanja o redovima
, Grad¯evinska knjiga, Beograd,
1974.
5. L. Stefanovi´
c
:
Teorija nizova za studente tehniˇckih fakulteta
, SKC Niˇs,
Niˇs, 2010.
107
