Uvod u spektralnu analizu signala
Milan R. Rapai´c
Fakultet tehniˇckih nauka, Novi Sad
5. septembar 2013
Sadržaj
1
Motivacija
3
2
Prostoperiodiˇcna kretanja
5
3
Furijeovi redovi
15
4
Metod impedansi
26
5
Furijeova transformacija
33
6
Jedno uopštenje Furijeove transformacije
47
2
U nastavku ´cemo izložiti osnovne elemente i principe spektralne analize signala. Preciznije, prikaza´cemo
na koji se naˇcin “proizvoljna” promena ili kretanje (signal) može razložiti na elementarna, prostoperiodiˇcna
kretanja (signale).
Furijeovi redovi (i uopšte Furijeova transformacija i druge sliˇcne “integralne” transformacije) imaju
izuzetno veliku primenu u širokom spektru inženjerskih disciplina, ali i u mnogim drugim oblastima.
Otuda je veoma teško izabrati jedan pristup ovoj materiji koji bi u potpunosti odgovarao svakom ˇcitaocu.
Ovaj tekst je prvenstveno prilago ¯
den ˇcitaocima koji ´ce spektralni razvoj primenjivati u oblastima obrade
merenog signala (u smislu filtriranja, detekcije ivica i sl.), te za potrebe analize i sinteze linearnih di-
namiˇckih procesa, sa posebnim naglaskom na linearne sisteme upravljanja. S tim u vezi, pretpostavi´cemo
da se sve veliˇcine koje posmatramo menjaju
u vremenu
, odnosno da signali koje posmatramo zavise od
jedne nezavisne promenljive koju tumaˇcimo kao vreme. Bez razlike smo mogli posmatrati prostorne pro-
mene – svi rezultati bi ostali nepromenjeni.
Iako ´cemo pojam signala uvesti na vrlo opšti naˇcin,
u narednom izlaganju ´cemo se ograniˇciti na vremenski
kontinualne signale
. Podse´camo ˇcitaoca da su vremenski kontinualni signali definisani nad neprekidnim
vremenskim intervalima. Posmatra´cemo najpre periodiˇcne signale i signale konaˇcnog trajanja. Vide´cemo
da su sa stanovišta spektralne analize ovi signali me ¯
dusobno veoma bliski. Spektralna analiza periodiˇcnih
signala (tj. signala konaˇcnog trajanja) naziva se razvojem signala u
Furijeov red
. Spektralna analiza signala
neograniˇcenog trajanja naziva se razvojem u
Furijeov integral
, odnosno
Furijeovom transformacijom
.
U tom smislu, podjednako dobar naslov teku´ceg odeljka bio bi i “Uvod u Furijeove redove i Furijeovu
transformaciju”.
Imaju´ci u vidu teku´ci nivo tehnološkog razvoja, moglo bi se pomisliti da je za inženjersko obrazovanje
dovoljno poznavati elemente spektralnog razvoja digitalnih (taˇcnije: vremenski diskretnih) signala. Kon-
aˇcno, gotovo sva obrada signala se danas vrši pomo´cu digitalnih raˇcunara, a savremeni upravljaˇcki ure ¯
daji
su i sami digitalni. Ipak, smatramo da je u cilju potpunog razumevanja spektralne analize signala uopšte
neophodno najpre pravilno razumeti spektralnu analizu vremenski kontinualnih (analognih) signala. Na-
jpre,
spektralna anliza analognih signala je deo našeg svakodnevnog iskustva i poimanja sveta koji nas okružuje
.
Svaki ˇcovek koji je u stanju da vidi ili ˇcuje suštinski razume spektralnu analizu!
Spektralna analiza u srži nije
ni teška, ni komplikovana, ni preterano apstraktna! Ona je samo jedno široko uopštenje naˇcina na koji
doživljavamo boje i tonove na sluˇcaj veliˇcina koje po svojoj fiziˇckoj prirodi ne moraju biti svetlost ili zvuk. S
obzirom da prostor i vreme intuitivno poimamo kao neprekidne, daleko je lakše razumeti spektralnu anal-
izu analognih signala – diskretizacija neretko prikriva suštinsku jednostavnost osnovnih principa. Dalje,
iako su upravljaˇcki ure ¯
daji obiˇcno digitalni, objekti upravljanja najˇceš´ce to nisu, a isto važi i za mnoge sen-
zore, izvršne organe, te druge elemente upravljaˇckih petlji. Otuda je važno napomenuti da se spektralna
analiza kontinualnih signala veoma uspešno koristi pri rešavanju obiˇcnih i parcijalnih diferencijalnih jed-
naˇcina, koje su osnovni alat za modelovanje raznovrsnih fiziˇckih pojava i tehniˇckih procesa. Ilustracije radi,
svako ko je ikada koristio metod kompleksnih predstavnika (metod impedansi) za rešavanje elektriˇcnih
kola implicitno se služio Furijeovim redovima. Prethodno razmatranje, naravno, predstavlja samo kratak
pregled osnovnih mogu´cnosti primene spektralne analize signala i ni približno ne iscrpljuje njen znaˇcaj.
Organizacija izlaganja.
Motivacijom za izuˇcavanje spektralne analize signala kratko se bavimo u pr-
vom odeljku. Prostoperiodiˇcnim signalima i kretanjima bavimo se u narednom, drugom odeljku. Furijeovi
redovi su uvedeni u tre´cem, a metod impedansi u ˇcetvrtom odeljku. Konaˇcno, Furijeovu transformaciju i
jedno njeno uopštenje uvodimo u poslednja dva odeljka.
4
Razlaganjem zvuˇcnog signala na spektralne komponente dobi-
jamo pojedinaˇcne tonove. Zvuk je mehaniˇcki talas u opsegu uˇces-
tansti od par desetina do par desetina hiljada Herca. Zvukove nižih
uˇcestanosti nazivamo infrazvucima, a zvuke viših uˇcestanosti ul-
trazvucima. Upravo nam sposobnost da razlikujemo pojedine har-
monijske komponente zvuˇcnog talasa omogu´cava da komuniciramo
putem govora, da raspoznajemo glasove drugih ljudi i uživamo u
muzici.
Spektralna analiza ima višestruku primenu. Razliˇcite prostope-
riodiˇcne komponente signala ˇcesto imaju potpuno razliˇcit smisao i
znaˇcaj u konkretnoj oblasti. Tako se, recimo, pri analizi merenog sig-
nala ˇcitav talasni oblik najˇceš´ce može rekonstruisati samo na osnovu
relativno malog broja prostoperiodiˇcnih komponenata niske uˇces-
tanosti. Merni šum je obiˇcno lokalizovan na višim uˇcestanostima, te
se eliminacijom brzih harmonika merni šum veoma uspešno može
otkloniti. Sliˇcno, s obzirom da su komponente niskih uˇcestanosti
obiˇcno sasvim dovoljne za rekonstrukciju oblika signala, spektralna
analiza se veoma uspešno može koristiti u kompresiji. Brze spek-
tralne komponente sadrže informacije o brzim promenama signala,
te se na osnovu njih može vršiti detekcija naglih promena signala.
Nagle promene vrednosti signala mogu ukazivati na promenu pon-
ašanja procesa koji generiše signal ili naglu promenu u drugim sig-
nalima koji na taj proces utiˇcu. Pri analizi slike, na ovaj naˇcin se
mogu detektovati ivice. Uopšte, pri analizi razliˇcitih tipova signale
odre ¯
dena svojstva su ˇcesto frekvencijski lokalizovana, odnosno mogu
se prepoznati na unapred poznatom skupu uˇcestanosti.
Dobro je poznato da se dinamiˇcki procesi razliˇcito ponašaju u
odnosu na ulazne (pobudne) signale razliˇcitih frekvencija. U svakod-
nevnom životu svedoci smo da se svetlost i zvuk razliˇcitih uˇces-
tanosti na razliˇcit naˇcin prostiru kroz razliˇcite sredine. Ova osobina
je dragocena kako pri analizi, tako i pri sintezi sistema za obradu
signala i upravljaˇckih sistema. U nastavku ´cemo se posebno baviti
linearnim, stacionarnim, dinamiˇckim procesima koji zdovoljavaju
princip superpozicije. Sa taˇcke analize, recimo, linerni, stacionarni
procesi se opisuju linearnim, diferencijalnim jednaˇcinama sa kon-
stantnim koeficijentima. Jednaˇcine pomenutog tipa imaju izvanredan
znaˇcaj pri modelovanju fiziˇckih pojava i drugih fenomena iz naše
okoline. Spektralni razvoj omogu´cava kvalitativnu i kvantitativnu
analizu ovih jednaˇcina, te dublje razumevanje prirode procesa koji se
njima opisuju. Na osnovu ovakve analize dalje se projektuju razliˇciti
tipovi linearnih filtara i regulatora.
5
2
Prostoperiodi ˇcna kretanja
Prostoperiodiˇcni signali
−
1
1
1
2
3
4
t
Slika
3
: Primer periodiˇcnog signala.
Periodiˇcan signal koji nije prostope-
riodiˇcan (koji nema sinusni oblik)
ponekad se naziva složeno-periodiˇcnim
signalom.
Periodiˇcni signali.
Signal je
periodiˇcan
ukoliko mu se vrednosti
ponavljaju na identiˇcan naˇcin nakon datog vremenskog intervala.
Drugim reˇcima, signal
f
je periodiˇcan sa
periodom
T
>
0 ukoliko je
za svaki vremenski trenutak
t
f
(
t
) =
f
(
t
+
T
)
.
(
1
)
Jasno, ukoliko je
T
period signala tada važi
f
(
t
) =
f
(
t
±
T
) =
f
(
t
±
2
T
) =
. . . .
Najmanji pozitivan broj
T
za koji je zadovoljen uslov periodiˇcnosti (
1
)
naziva se
osnovnim periodom
.
Prostoperiodiˇcni signali.
Prostoperiodiˇcni signal (osnovnog)
perioda
T
>
0 je svaki signal
f
koji se može zapisati u jednom od
slede´cih ekvivalentnih oblika:
f
(
t
) =
a
cos
(
2
π
T
t
) +
b
sin
(
2
π
T
t
)
,
(
2
)
f
(
t
) =
A
cos
(
2
π
T
t
+
ϕ
)
,
(
3
)
f
(
t
) =
A
sin
(
2
π
T
t
+
φ
)
.
(
4
)
Koeficijente
a
i
b
nazivamo doprinosima sinusne i kosinusne kom-
ponente prostoperiodiˇcnog signala. Pozitivni koeficijent
A
se naziva
amplitudom
prostoperiodiˇcnog signala, dok su
ϕ
i
φ
fazni stavovi
u
kosinusnom i sinusnom obliku zapisa, tim redom.
Relaciju
[=]
treba ˇcitati kao ‚‚imaju
iste fiziˇcke dimenzije”. Tako, recimo,
izraz
f
[=]
a
znaˇci da se veliˇcine
f
i
a
mere istim jedinicama, recimo
Voltima. U tom sluˇcaju, pisa´cemo i
f
[=]
1
V
. Samu jedinicu kojom se meri
neka fiziˇcka veliˇcina, recimo signal
f
,
obeležava´cemo sa
[
f
]
, pa tako možemo
pisati
[
f
] =
1
V
.
Koeficijenti
a
,
b
i
A
imaju istu fiziˇcku dimenziju kao i sam signal
f
,
što zapisujemo kao
f
[=]
a
[=]
b
[=]
A
,
odnosno kao
[
f
] = [
a
] = [
b
] = [
A
]
.
Fazni stavovi
ϕ
i
φ
su uglovne veliˇcine koje izražavamo u radijan-
ima. Ugao od jednog radijana odgovara uglu ˇciji je odgovaraju´ci
kružni luk jednak polupreˇcniku kružnice. Otuda radijan suštinski
predstavlja neimenovanu veliˇcinu,
[
φ
] = [
ϕ
] =
1rad .
(
5
)
Broj punih perioda u jediniˇcnom intervalu vremena naziva se
uˇcestanoš´cu
(tj.
frekvencijom
) signala. Broja vrednost uˇcestanosti je,
dakle, reciproˇcna brojnoj vrednosti osnovnog perioda
ν
=
1
T
.
(
6
)
7
−
1.2
−
1
−
0.8
−
0.6
−
0.4
−
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
−
2
2
sin
(
2
π
t
)
cos
(
2
π
t
)
2 cos
(
2
π
t
)
−
sin
(
2
π
t
) =
√
5 cos
(
2
π
t
−
1
2
)
t
Slika
4
: Prikaz superpozicije dva
prostoperiodiˇcna talasa kružne uˇces-
tanosti 2
π
. Nakon superpozicije rezul-
tuju´ci talas ostaje iste uˇcestanosti,
dok mu se amplituda i fazni pomeraj
menjaju.
Harmonijski oscilatori
Postoji izvestan broj prirodnih pojava koje iskazuju prostoperi-
odiˇcno ponašanje. Svaki fiziˇcki sistem koji se menja po protope-
riodiˇcnom zakonu nazivamo
harmonijskim oscilatorom
. Dublje
razumevanje harmonijskih oscilatora omogu´ci´ce nam da se bolje up-
oznamo sa osobinama prostoperiodiˇcnih signala i prostoperiodiˇcnih
kretanja uopšte.
Jednaˇcina harmonijskog kretanja.
Pre nego što prikažemo
konkretne primere prostoperiodiˇcnog kretanja, ukratko ´cemo raz-
motriti diferencijalnu jednaˇcinu kojoj se povinuje svako takvo kre-
tanje:
jednaˇcinu harmonijskog oscilatora
,
d
2
f
dt
2
+
ω
2
f
=
0 .
(
16
)
U pitanju je linearna, diferencijalna jednaˇcina sa konstantnim koefi-
cijentima. Nije teško pokazati, što ˇcitaocu ostavljamo za vežbu, da je
opšte rešenje jednaˇcine harmonijskog oscilovanja
f
(
t
) =
a
cos
(
ω
t
) +
b
sin
(
ω
t
)
,
(
17
)
gde su
a
i
b
realne konstante ˇciju vrednost možemo birati na proizvol-
jan naˇcin. Rešenje jednaˇcine (
16
) je, dakle, prostoperiodiˇcni signal
kružne uˇcestanosti omega. Konkretne vrednosti konstanti
a
i
b
dobi-
jaju se na osnovu dodatnih uslova. Primera radi, ukoliko su poznate
poˇcetne vrednosti signala
f
i njegovog prvog izvoda ˙
f
, tada se odgo-
varaju´ce vrednosti koeficijenata
a
i
b
lako mogu izraˇcunati.
x
y
ϕ
sin
(
ϕ
)
cos
(
ϕ
)
ϕ
=
ω
t
Slika
5
: Telo koje se ravnomerno (ne-
promenljivom ugaonom brzinom) kre´ce
po kružnici jediniˇcnog preˇcnika.
Ravnomerno kružno kretanje.
Kao primer jednostavnog pro-
stoperiodiˇcnog kretanja, posmatrajmo telo koje se ravnomerno kre´ce
po kružnici jediniˇcnog polupreˇcnika (videti sliku
5
). Položaj tela na
kružnici jednoznaˇcno je odre ¯
den poznavanjem vrednosti ugla
ϕ
.
Ukoliko je u trenutku
t
=
0 ugaoni položaj tela
ϕ
(
0
) =
ϕ
0
, te ukoliko
je ugaona brzina kretanja
ω
nepromenljiva, tada je u proizvoljnom
