UNIVERZITET U NOVOM SADU
FAKULTET TEHNI ˇ
CKIH NAUKA
Tatjana Grbi´c
Jovanka Pantovi´c
Silvia Likavec
Nataˇsa Sladoje
Tibor Luki´c
Ljiljana Teofanov
Zbirka reˇ
senih zadataka
iz Matematike I
Novi Sad, 2009. god.
Naslov:
Zbirka reˇsenih zadataka iz Matematike I
Autori:
dr Tatjana Grbi´c, docent FTN u Novom Sadu
dr Silvia Likavec, docent Univerziteta u Torinu (Universit´a di Torino)
mr Tibor Luki´c, asistent FTN u Novom Sadu
dr Jovanka Pantovi´c, vanredni profesor FTN u Novom Sadu
dr Nataˇsa Sladoje, docent FTN u Novom Sadu
dr Ljiljana Teofanov, docent FTN u Novom Sadu
Recenzenti:
dr Jovanka Niki´c,
redovni profesor FTN u Novom Sadu
dr Silvia Gilezan,
redovni profesor FTN u Novom Sadu
dr Mirjana Borisavljevi´c,
redovni profesor Saobra´cajnog fakulteta Univerziteta u Beogradu
Tiraˇz:
300
Predgovor
Tre´ce izdanje
Zbirke reˇsenih zadataka iz Matematike I
je rasprodato u veoma
kratkom roku, a interesovanje za
Zbirku
i dalje postoji, pre svega med¯u stu-
dentima prve godine razliˇcitih odseka Fakulteta tehniˇckih nauka Univerziteta
u Novom Sadu, ali i med¯u studentima drugih fakulteta koji se u okviru kur-
seva matematike na svojim studijama susre´cu sa temama i sadrˇzajima koji su
obuhva´ceni
Zbirkom
. ˇ
Cetvrto izdanje
Zbirke
smo pripremili sa ˇzeljom da njen
prepoznatljiv sadrˇzaj bude od pomo´ci u savladavanju oblasti iz Matematike I i
narednim generacijama studenata. Zahvaljujemo se svima koji su nam ukazali
na postoje´ce ˇstamparske greˇske, koje smo u ovom izdanju otklonili.
ˇ
Stampanje ˇ
Cetvrtog izdanja
Zbirke reˇsenih zadataka iz Matematike I
realizo-
vano je uz finansijsku podrˇsku Tempus projekta JEP - 41099 - 2006, “Doctoral
School Towards European Knowledge Society – DEUKS’. Veoma nam je drago
ˇsto smo, zahvaljuju´ci ovoj podrˇsci, u mogu´cnosti da ve´ci deo tiraˇza ustupimo
Biblioteci Fakulteta tehniˇckih nauka u Novom Sadu i da na taj naˇcin ovo izdanje
Zbirke
uˇcinimo pristupaˇcnim veoma velikom broju studenata.
U Novom Sadu, 10. avgust 2009. godine
Autori
1
Slobodni vektori
•
U skupu
E
2
ured¯enih parova taˇcaka prostora
E
definiˇsemo relaciju
ρ
na
slede´ci naˇcin
a) Ako je
A
=
B
ili
C
=
D
, tada je (
A, B
)
ρ
(
C, D
)
⇔
A
=
B
i
C
=
D.
b) Ako je
A
6
=
B
i
C
6
=
D
, tada je (
A, B
)
ρ
(
C, D
)
⇔
(duˇz
AB
je para-
lelna, podudarna i isto orijentisana kao duˇz
CD
).
Relacija
ρ
je relacija ekvivalencije. Klase ekvivalencije u odnosu na relaciju
ρ
zovu se
slobodni vektori
. Skup svih slobodnih vektora oznaˇcava´cemo
sa
V.
•
Vektor ˇciji je predstavnik (
A, B
) oznaˇcava´cemo sa
−−→
AB,
ili kra´ce sa
~a.
A
B
•
Intenzitet vektora
−−→
AB
je merni broj duˇzi
AB
i oznaˇcava se sa
|
−−→
AB
|
.
•
Pravac vektora
−−→
AB
je pravac odred¯en taˇckama
A
i
B.
•
Smer vektora
−−→
AB,
(
A
6
=
B
) je od taˇcke
A
do taˇcke
B.
•
Vektor ˇciji je intenzitet jednak 1 naziva se
jediniˇ
cni vektor
.
•
Vektori su
jednaki
ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.
•
Vektor kod kojeg je
A
=
B
zva´cemo
nula vektor
i oznaˇcavati sa
~
0 ili 0
.
Intenzitet nula vektora je 0, a pravac i smer se ne definiˇsu.
•
Vektor koji ima isti pravac i intenzitet kao vektor
−−→
AB,
a suprotan smer,
je vektor
−−→
BA
i naziva se
suprotan vektor
vektora
−−→
AB
.
5
Zbirka reˇsenih zadataka iz Matematike I
7
Na osnovu definicije skalarnog proizvoda imamo da se ugao izmed¯u vektora
~a
i
~b
moˇze raˇcunati na slede´ci naˇcin
∠
(
~a,~b
) = arccos
~a
·
~b
|
~a
||
~b
|
,
0
≤
∠
(
~a,~b
)
≤
π.
•
Neka je
~a
6
= 0
.
Tada je
projekcija vektora
~b
na vektor
~a
definisana sa:
pr
~
a
~b
=
|
~b
|
cos
∠
(
~a,~b
)
.
•
Vektorski proizvod vektora
~a
i
~b
je vektor, u oznaci
~a
×
~b,
odred¯en na
slede´ci naˇcin:
a)
|
~a
×
~b
|
=
|
~a
| |
~b
| |
sin
∠
(
~a,~b
)
|
,
b) (
~a
×
~b
)
⊥
~a
i (
~a
×
~b
)
⊥
~b,
c) vektori
~a, ~b
i
~a
×
~b
ˇcine desni sistem vektora.
Osobine vektorskog proizvoda:
a)
~a
×
~b
=
−
(
~b
×
~a
)
,
b) (
∀
α
∈
R
)
α
(
~a
×
~b
) = (
α~a
)
×
~b
=
~a
×
(
α~b
)
,
c)
~a
k
~b
⇔
~a
×
~b
= 0 (
uslov paralelnosti
),
d)
~a
×
~a
= 0
,
e) Intenzitet vektorskog proizvoda dva nekolinearna vektora jednak je
povrˇsini paralelograma koji je konstruisan nad tim vektorima.
•
Meˇ
soviti proizvod vektora
~a, ~b
i
~c
je skalarni proizvod vektora
~a
i
~b
×
~c,
tj.
~a
·
(
~b
×
~c
)
.
Osobine meˇsovitog proizvoda:
a) Vektori
~a, ~b
i
~c
su koplanarni
⇔
~a
·
(
~b
×
~c
) = 0 (
uslov koplanarnosti
),
b) Apsolutna vrednost meˇsovitog proizvoda tri nekoplanarna vektora
jednaka je zapremini paralelepipeda koji je konstruisan nad vek-
torima
~a, ~b
i
~c
kao ivicama.
•
Dekartov
(pravougli) koordinatni sistem u prostoru je odred¯en, ako su
- Date tri prave koje se obiˇcno nazivaju
x, y
i
z
i svake dve se seku
pod pravim uglom u taˇcki
O
(0
,
0
,
0)
.
- Na svakoj od datih pravih izabran je jedan smer i nazvan pozitivan.
- Na pozitivnim smerovima pravih
x, y
i
z
izabrane su taˇcke
E
1
(1
,
0
,
0)
,
E
2
(0
,
1
,
0) i
E
3
(0
,
0
,
1) redom.
