Zbirka zadataka iz elektrotehnike

Sonja Krstić

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1  

priručnik za vežbe u 

laboratoriji 

VŠER 

Beograd 

2012. 

  1

Elektrostatika 

Sadržaj:

1. KULONOV 

ZAKON ..................................................................................................1 

Teorijska Osnova......................................................................................................1 
Zadatak Vežbe..........................................................................................................3 

2. ELEKTROSTATI

Č

KO POLJE .....................................................................................7 

Teorijska Osnova......................................................................................................7 
Zadatak Vežbe..........................................................................................................9 

3. ELEKTROSTATI

Č

KI POTENCIJAL ........................................................................... 13 

Teorijska Osnova.................................................................................................... 13 
Zadatak Vežbe........................................................................................................ 15 

4. GAUSOV 

ZAKON .................................................................................................. 19 

Teorijska Osnova.................................................................................................... 19 
Zadatak Vežbe........................................................................................................ 21 

5. KONDENZATORI.................................................................................................. 23 

Teorijska Osnova.................................................................................................... 23 
Zadatak Vežbe........................................................................................................ 26 

6. ENERGIJA 

ELEKTROSTATI

Č

KOG POLJA ............................................................... 300 

Teorijska Osnova.................................................................................................... 30 
Zadatak Vežbe........................................................................................................ 31 

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

  1

vežba broj 1 

1.

KULONOV ZAKON 

U ovoj vežbi: 

Ta

č

kasta  naelektrisanja 

Definicija kulonovog zakona 

Matemati

č

ki oblik kulonovog zakona 

Konstanta srazmernosti 

Dielektri

č

na konstanta 

Elektrostati

č

ke sile 

Teorijska Osnova 

Kulonov zakon je zakon koji govori o elektrostati

č

kim silama izme

đ

u ta

č

kastih naelektrisanja. 

Ta

č

kasto naelektrisanje

  je naelektrisanje koje ima odre

đ

enu koli

č

inu elektri

č

nog optere

ć

enja i 

nema dimenzije. U praksi se za ta

č

kasta naelektrisanja smatraju pozitivno i negativno naelektrisane 

č

estice i sva naelektrisana tela 

č

ije su dimenzije zanemarljive u odnosu na rastojanje izme

đ

u njih. 

U izrazu za Kulonov zakon konstanta srazmernosti je  

2

2

9

0

C

Nm

10

9

4

1

⋅

=

=

πε

k

, 

a 

ε

0

 je dielektri

č

na konstanta vakuuma i vazduha i iznosi 

2

2

12

2

2

9

2

2

9

0

Nm

C

10

85

,

8

Nm

C

36

10

C

Nm

10

9

4

1

4

1

−

−

⋅

=

=

⋅

⋅

=

=

π

π

π

ε

k

. 

Sila

 je vektorska veli

č

ina što zna

č

i da je odre

đ

ena intenzitetom, pravcem i smerom. Intenzitet 

sile je odre

đ

en brojnim vrednostima, a 

osnovna jedinica 

je 

Njutn

 [N]. Pravac Kulonove sile 

definisan je 

jedini

č

nim vektorom

012

r

r

. Smer Kulonove sile definisan je jedini

č

nim vektorom 

012

r

r

 i 

algebarskim intenzitetom sile. 

Jedini

č

ni vektor

012

r

r

 je vektor, koji po Kulonovom zakonu ima: 

- intenzitet 1, 
- pravac linije koja spaja naelektrisanja 

Q

1

 i 

Q

2

, 

012

2

12

2

1

0

12

4

1

r

r

Q

Q

F

r

r

⋅

⋅

=

πε

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

  2

- smer od naelektrisanja

 Q

1

 ka naelektrisanju

 Q

2

. 

Jedinica za koli

č

inu naelektrisanja je 

Kulon

 [

C

]. 

Ako je 

Q

1

> 0 i 

Q

2

< 0 onda je sila 

21

F

r

 privla

č

na. Zna

č

i, 

Q

2

 deluje na 

Q

1

 i privla

č

i ga ka sebi. 

Ako je 

Q

1

> 0 

i 

Q

2

> 0

 onda je sila 

21

F

r

odbojna. Zna

č

i, 

Q

2

deluje na 

Q

1

 i gura ga od sebe 

(napadna ta

č

ka sile je u 

Q

1

). 

Ako je 

Q

1

> 0

 i 

Q

2

< 0

 onda je sila  

12

F

r

 privla

č

na. Zna

č

i, 

Q

1

deluje na 

Q

2

 i privla

č

i ga ka sebi. 

Jedini

č

ni vektor 

012

021

r

r

r

r

−

=

, što zna

č

i da mu je intenzitet jednak 1, pravac je isti kao pravac 

jedini

č

nog vektora 

012

r

r

, a smer je od 

Q

2

 ka 

Q

1

 (suprotan od smera 

012

r

r

). Zato je i sila 

21

F

r

kojom 

Q

2

 deluje na 

Q

1

 suprotnog smera od sile 

12

F

r

: 

021

2

12

2

1

0

21

4

1

r

r

Q

Q

F

r

r

⋅

⋅

=

πε

. 

Ako je 

Q

1

> 0  i 

Q

2

> 0 onda je sila 

12

F

r

 odbojna. Zna

č

i, 

Q

1

 deluje na 

Q

2

 i gura ga od sebe 

(napadna ta

č

ka sile je u ta

č

ki u kojoj se nalazi 

Q

2

). 

Primer 1 

Primer 2 

Primer 3 

Primer 4 

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

  4

(

)

=

⋅

−

⋅

⋅

−

⋅

=

⋅

⋅

=

−

−

012

2

11

11

2

2

9

012

2

12

2

1

12

m

2

,

0

C)

10

6

(

C)

10

4

(

C

Nm

10

9

r

r

r

Q

Q

k

F

r

r

r

012

11

012

11

11

9

N

10

54

N

04

,

0

10

6

4

9

r

r

r

r

⋅

⋅

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

−

−

−

I u ovom slu

č

aju je algebarski intenzitet sile pozitivan a sila je odbojna, i prikazana je na 

slici 

1.1. 

c) Zamenom brojnih vrednosti u izrazu za Kulonov zakon dobijamo: 

(

)

=

⋅

−

⋅

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

−

−

012

2

11

11

2

2

9

012

2

12

2

1

12

m

2

,

0

C)

10

6

(

C

10

4

C

Nm

10

9

r

r

r

Q

Q

k

F

r

r

r

012

11

012

11

11

9

N

10

54

N

04

,

0

10

6

4

9

r

r

r

r

⋅

⋅

−

=

⋅

⋅

⋅

⋅

−

=

−

−

−

U ovom slu

č

aju je algebarski intenzitet sile jednak 

N

10

54

11

12

−

⋅

−

=

F

 i pošto je negativan to 

zna

č

i da je smer Kulonove sile suprotan od smera jedini

č

nog vektora 

012

r

r

. Kao što smo ve

ć

pomenuli, jedini

č

ni vektor je usmeren od naelektrisanja 

Q

1

 ka naelektrisanju 

Q

2

 i Kulonova sila je 

privla

č

na. I ovo je o

č

ekivani rezultat, pošto su 

Q

1

 i 

Q

2

 naelektrisanja suprotnog znaka.  

Na 

slici

1.2 

nacrtan je pravi smer 

sila 

12

F

r

 i 

21

F

r

. Sila 

21

F

r

 je istog 

intenziteta i pravca, a suprotnog smera 
od sile 

12

F

r

. 

Slika 1.2. 

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

  5

1.2 

Dve kuglice polupre

č

nika 

a = 

2 mm naelektrisane su istim koli

č

inama naelektrisanja 

Q

. 

Intenzitet sile koja deluje izme

đ

u njih je 9·10

-7 

N. Kuglice su na rastojaju 

r = 

2 dm.  Odrediti 

koli

č

inu naelekrisanja

 Q

 kojom su naelektrisane kuglice. 

Rešenje: 

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

  7

vežba broj 2 

2.

ELEKTROSTATI

Č

KO POLJE 

U ovoj vežbi: 

Elektrostati

č

ko polje  

Elektri

č

no polje 

Probno optere

ć

enje 

Razlaganje vektora 

Princip superpozicije 

Teorijska Osnova 

Probno optere

ć

enje

Q

p

 je ta

č

kasto naelektrisanje koje koristimo u eksperimentima, a tako je 

osmišljeno da ne uti

č

e na rezultate eksperimenta. Zna

č

i: uvek je pozitivno i barem dva reda veli

č

ine 

(barem 100 puta) manjeg naelektrisanja od ostalih naelektrisanja u okolini. 

Šta je 

x

  komponenta vektora polja, a šta je

 y

  komponenta vektora polja? 

To su projekcije vektora polja na 

x

 i 

y

 ose koordinatnog sistema u ravni. 

i

E

i

E

E

x

r

r

r

r

r

⋅

⋅

=

⋅

=

α

cos

x

j

E

j

E

E

y

r

r

r

r

r

⋅

⋅

=

⋅

=

α

sin

y

gde su :  
  

i

r

- jedini

č

ni vektor 

x

-ose (on definiše 

pravac i smer

 x

-ose), 

j

r

- jedini

č

ni vektor 

y

-ose (on definiše 

pravac i smer

 y

-ose), 

p

Q

F

E

r

r

=

Slika 2.1

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

  8

E

r

 - intenzitet vektora 

E

r

, 

x

E

r

- intenzitet projekcije vektora 

E

r

 na

 x

-osu, 

y

E

r

- intenzitet projekcije vektora 

E

r

 na

 y

-osu. 

Polje u okolini ta

č

kastog naelektrisanja je 

radijalno

 i 

opada sa kvadratom rastojanja u svim pravcima. 

0

2

0

p

0

2

p

0

p

r

4

1

r

4

1

r

Q

Q

r

Q

Q

Q

F

E

r

r

r

r

⋅

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

=

πε

πε

+

E

-

E

Slika 2.3

linije elektrostati

č

kog polja uvek 

su usmerene od pozitivnog naelektrisanja

Slika 2.4 linije elektrostati

č

kog polja uvek 

su usmerene ka negativnom naelektrisanju

Linije elektrostati

č

kog polja su linije na koje je vektor elektrostati

č

kog polja tangentan u svakoj 

ta

č

ki. 

Elektrostati

č

ko polje u ta

č

ki A jednako je vektorskom zbiru elektrostati

č

kih polja koja stvaraju 

pojedina naelektrisanja u ta

č

ki A (

princip superpozicije

). Na primer, u ta

č

ki A koja se nalazi u 

okolini tri ta

č

kasta naelektrisanja, elektrostati

č

ko polje je: 

3

2

1

A

E

E

E

E

r

r

r

r

+

+

=

. 

Jedinica za ja

č

inu elektrostati

č

kog polja je 

C

N

 ili 

m

V

. 

E

r

2

1

r

~

Slika 2.2

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

 10

sili 

12

F

r

 iz zadatka I.1.1. Dakle, s obzirom da su vrednosti naelektrisanja 

Q

1

 i 

Q

2

 iste kao u zadatku 

1.1, kao što je o

č

ekivano dobili smo isti rezultat. Vektor 

2

F

r

 je prikazan na 

slici 2.5

. 

Slika 2.6 

Slika 2.7

c)

 Kada se u istu ta

č

ku postavi negativno naelektrisanje 

Q

3

, sila koja deluje na to naelektrisanje 

je: 

(

)

0

11

11

0

3

3

N

10

54

C

10

6

C

N

9

r

r

Q

E

F

r

r

r

r

−

−

⋅

−

=

⋅

−

⋅

=

⋅

=

S obzirom da je naelektrisanje 

Q

3

 iste brojne vrednosti kao i naelektrisanje 

Q

2

 a suprotnog 

znaka, sila 

3

F

r

 ima isti intenzitet kao sila 

2

F

r

 ali je suprotnog smera. Dakle, pošto je naelektrisanje 

Q

3

 negativno, sila 

3

F

r

 je istog pravca a suprotnog smera od vektora ja

č

ine elektrostati

č

kog polja 

E

r

 u 

posmatranoj ta

č

ki, kao što je prikazano na 

slici 2.7

. 

d) Zamenom brojnih vrednosti u izrazu za vektor ja

č

ine elektrostati

č

kog polja dobijamo: 

(

)

(

)

(

)

0

0

2

1

11

9

0

2

11

2

2

9

0

2

1

C

N

9

C

N

10

2

10

4

10

9

m

0,2

C

10

4

C

Nm

10

9

r

r

r

r

r

Q

k

E

r

r

r

r

r

−

=

⋅

⋅

⋅

⋅

−

=

⋅

−

⋅

=

⋅

⋅

=

−

−

−

. 

Algebarski intenzitet ja

č

ine elektrostati

č

kog 

polja je: 

C

N

9

−

=

E

, 

i pošto je negativan, smer ovog vektora je suprotan 
od smera jedini

č

nog vektora 

0

r

r

 (uvek usmerenog 

od naelektrisanja) – vektor 

E

r

 je usmeren ka 

ta

č

kastom naelektrisanju kao što je prikazano na 

slici 2.8. Uopšte, elektrostati

č

ko polje, koje stvara 

negativno ta

č

kasto naelektrisanje, je radijalno, a 

vektor ja

č

ine elektrostati

č

kog polja je uvek 

usmeren ka naelektrisanju. 

Sila koja deluje na naelektrisanje

  Q

2

postavljeno u posmatranu ta

č

ku je: 

0

11

11

0

2

2

N

10

54

C

10

6

C

N

9

r

r

Q

E

F

r

r

r

r

−

−

⋅

−

=

⋅

⋅

−

=

⋅

=

  Sila koja deluje na naelektrisanje

  Q

3

postavljeno u posmatranu ta

č

ku je: 

(

)

0

11

11

0

3

3

N

10

54

C

10

6

C

N

9

r

r

Q

E

F

r

r

r

r

−

−

⋅

=

⋅

−

⋅

−

=

⋅

=

r

r

0

Q

1

<0

F

Q

3

<0

E

Slika 2.8 

r

r

0

Q

1

<0

F

Q

2

>0

E

Slika 2.9 

r

r

0

Q

1

<0

F

Q

3

<0

E

Slika 2.10 

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

 11

2.2 

Koliki je intenzitet sile koja deluje na ta

č

kasto naelektrisanje 

Q

 = 10 pC koje se nalazi u 

ta

č

ki u kojoj je ja

č

ina elektrostati

č

kog polja 

E 

= 3 

C

N

? 

Rešenje: 

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

 13

vežba broj 3 

3.

ELEKTROSTATI

Č

KI 

POTENCIJAL 

U ovoj vežbi: 

Elektrostati

č

ki potencijal 

Ta

č

ka nultog potencijala 

Napon 

Ekvipotencijalna površina  

Teorijska Osnova 

Elektrostati

č

ki potencijal neke ta

č

ke se izra

č

unava u opštem slu

č

aju kao linijski integral vektora 

elektrostati

č

kog polja duž bilo koje putanje, ra

č

unato od ta

č

ke 

č

iji potencijal tražimo pa do 

referentne ta

č

ke. 

∫

⋅

=

R

A

A

l

d

E

V

r

r

Referentna ta

č

ka je ta

č

ka u odnosu na koju se elektrostati

č

ki potencijal odre

đ

uje. Ona se može 

proizvoljno izabrati, ali se naj

č

eš

ć

e za referentnu ta

č

ku uzima ta

č

ka u beskona

č

nosti. 

Č

esto se ta 

ta

č

ka zove i 

ta

č

ka nultog potencijala

 zato što je elektrostati

č

ki potencijal referentne ta

č

ke 0V. 

Razlika elektrostati

č

kih potencijala dveju ta

č

aka je 

napon

. Jedinica za napon je Volt [V]. 

B

A

AB

V

V

U

−

=

Zašto je uopšte uvedena razlika potencijala kao potpuno nova fizi

č

ka veli

č

ina? Zato što 

elektrostati

č

ki potencijal zavisi od izbora referentne ta

č

ke, a napon ne. 

AB

B

A

B

R

R

A

B

R

R

A

R

B

R

A

B

A

U

l

d

E

l

d

E

l

d

E

l

d

E

l

d

E

l

d

E

l

d

E

V

V

=

⋅

=

⋅

+

⋅

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

−

−

⋅

=

⋅

−

⋅

=

−

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

Zašto je 

U

AB

 = -

U

BA

? 

BA

A

B

B

A

B

A

AB

U

l

d

E

l

d

E

l

d

E

U

−

=

⋅

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

−

−

=

⋅

=

∫

∫

∫

r

r

r

r

r

r

p

e

Q

W

V

=

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

 14

Na primer, ako je napon 

V

10

12

=

U

, onda je napon 

V

10

21

−

=

U

. Ako je napon 

V

50

MN

−

=

U

, 

onda je napon 

V

50

NM

=

U

.  

Ekvipotencijalna površina

 je površina 

č

ije su sve ta

č

ke na istom potencijalu. 

C

B

A

0

C

0

B

0

A

4

1

4

1

4

1

V

V

V

r

Q

V

r

Q

V

r

Q

V

=

=

⇒

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

⋅

=

⋅

=

⋅

=

πε

πε

πε

Pošto su sve ta

č

ke ove sfere na istom rastojanju od naelektrisanja 

Q

, onda je i njihov 

elektrostati

č

ki potencijal isti. Zato ova sfera predstavlja ekvipotencijalnu površinu. 

Q

r

r

r

A

B

C

V

Primer 1 

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

 16

3.2 

Tri ta

č

kasta naelektrisanja 

Q

A

 = 10 pC, 

Q

B

 = -10 pC i 

Q

C

 = 10 pC nalaze se u vakuumu u 

temenima jednakostrani

č

nog trougla stranice 

a

 = 

3

m. Odrediti potencijal u centru (težištu) 

trougla. 

Rešenje: 

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

 17

3.3 

Dva mala naelektrisana tela naelektrisanja 

Q

1

 = 4 pC i 

Q

2

 = 2 pC, nalaze se u vazduhu na 

rastojanju 

r

 = 30 cm, kao na slici. 

a)

 Odrediti vektor ja

č

ine elektrostati

č

kog polja u ta

č

ki A koja se nalazi na pravoj izme

đ

u ova 

dva naelektrisanja, a udaljena je od naelektrisanja 

Q

1

 za 

r

1

 = 20 cm. 

b)

 Odrediti vektor ja

č

ine elektrostati

č

kog polja u ta

č

ki B koja se nalazi na pravoj koju 

odre

đ

uju ova dva naelektrisanja, sa strane naelektrisanja 

Q

2

, a udaljena je od njega za 

r

2

 = 10cm. 

c)

 Odrediti potencijale ta

č

aka A i B. 

d)

 Odrediti napon 

U

AB

. Koliki je napon 

U

BA

? 

e)

 Odrediti silu (njen pravac, smer i intenzitet) koja bi delovala na naelektrisanje 

Q

pA

 = 1 pC 

kada bi se postavilo u ta

č

ku A. 

f)

 Odrediti silu (njen pravac, smer i intenzitet) koja bi delovala na naelektrisanje 

Q

pB

 = -1 pC 

kada bi se postavilo u ta

č

ku B. 

Rešenje: 

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

19 

ežba broj 4 

4.

GAUSOV ZAKON 

U ovoj vežbi: 

Gausov zakon  

Uopšten Gausov zakon  

Slobodna naelektrisanja  

Vezana naelektrisanja  

Polarizacija dielektrika  

Vektor elektri

č

ne indukcije 

Teorijska Osnova 

Gausovim zakonom se izra

č

unava vektor elektrostati

č

kog polja 

E

r

. Gausov zakon važi u 

vakuumu, a približno važi i u vazduhu. 

Elektroni u provodniku su 

slobodna naelektrisanja

. Postoje i 

vezana naelektrisanja

. To su ona 

naelektrisanja koja se izdvajaju uz samu ivicu dielektrika unetog u polje. 

Vezana naelektrisanja

 su 

posledica polarizacije dielektrika. 

Polarizacija dielektrika

 je pojava pri kojoj dolazi do razdvajanja centara pozitivnih i negativnih 

naelektrisanja u atomu dielektrika. Od neutralnih atoma stvaraju se elektri

č

ni dipoli i orijentišu se u 

smeru polja u koje smo uneli dielektrik, kao što je prikazano na slici. Spolja gledano, pozitivni i 

0

ε

Q

s

d

E

S

∫

=

⋅

r

r

Q

s

d

D

S

∫

=

⋅

r

r

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

20 

negativni krajevi susednih dipola u dielektriku se poništavaju. Ostaju neponištena samo vezana 
naelektrisanja u sloju dielektrika neposredno uz površinu. Negativna su u onom sloju koji je najbliži 
pozitivnom izvoru polja, a pozitivna naelektrisanja su na suprotnom kraju dielektrika (koji je 
najbliži negativnom izvoru elektrostati

č

kog polja). 

+

+

+

+
+
+
+
+

-
-
-
-
-
-
-
-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

Q

v

-Q

v

Q

-Q

Slika 4.1 Polarizacija dielektrika

Vektor elektri

č

ne indukcije

 je vektorska veli

č

ina koja objedinjuje vektor polja i polarizaciju 

dielektrika unetog u polje. 

U linearnim homogenim dielektricima vektor elektri

č

ne indukcije 

D

r

 linearno zavisi od vektora 

ja

č

ine polja 

E

r

, a linearnost je izražena preko apsolutne dielektri

č

ne konstante

ε

E

D

r

r

⋅

=

ε

. 

r

0

ε

ε

ε

⋅

=

, gde je: 

•

ε

apsolutna dielektri

č

na konstanta, jedinica je 

2

2

Nm

C

 ili 

m

F

. 

•

ε

0

 dielektri

č

na konstanta vakuuma i vazduha, iz formule se vidi da je jedinica za 

apsolutnu dielektri

č

nu konstantu

ε

ista kao za

ε

0

, dakle 

2

2

Nm

C

 ili 

m

F

. 

•

ε

r

 relativna dielektri

č

na konstanta. To je neimenovan broj, što zna

č

i da nema jedinicu

.

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

22 

S

E

dS

dS

E

dS

E

dS

E

dS

E

dS

E

S

S

S

S

S

S

⋅

=

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

+

=

+

=

⋅

+

⋅

∫

∫

∫

∫

∫

∫

2

1

B

1

B

1

B

1

B

2

B

1

B

, 

gde je intenzitet vektora 

E

r

 izvu

č

en ispred integrala jer je konstantan. Intergral 

∫

B

S

dS

 predstavlja 

zbir elementarnih površina 

dS

 po površini osnove valjka 

S

B

, pa je integral upravo jednak površini 

S

B

.  

Sa desne strane jednakosti Gausovog zakona nalazi se koli

č

ina naelektrisanja obuhva

ć

ena 

površinom 

S  

podeljena dielektri

č

nom konstantom vakuuma 

ε

0

: 

0

2

ε

Q

S

E

Δ

=

⋅

, 

odakle se dobija izraz za intenzitet elektri

č

nog polja oko beskona

č

ne naelektrisane ravni: 

0

0

2

2

ε

σ

ε

=

Δ

=

S

Q

E

. 

U ovom izrazu 

σ

 predstavlja površinsku gustinu naelektrisanja i jednaka je koli

č

niku 

naelektrisanja i površine koja obuhvata to naelektrisanje. Jedinica za površinsku gustinu 

naelektrisanja je 

2

m

C

. 

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

23 

vežba broj 5 

5.

KONDENZATORI  

U ovoj vežbi: 

Kondenzator  

Kapacitivnost 

Plo

č

asti kondenzatori 

Redna, paralelna i mešovita veza kondenzatora 

Teorijska Osnova 

Kondenzator

 je sistem od dve provodne elektrode izme

đ

u kojih je uba

č

en dielektrik. 

Kondenzatori se razlikuju po obliku, po vrsti dielektrika izme

đ

u elektroda, po vrsti metala od 

kog su napravljene elektrode. 

Najvažnija karakteristika kondenzatora je 

kapacitivnost

. 

Kapacitivnost

 zavisi od oblika, dimenzija kondenzatora i vrste dielektrika u njemu. 

Kada se elektrode kondenzatora priklju

č

e na razliku elektrostati

č

kog potencijala do

ć

i 

ć

e do 

procesa njihovog naelektrisavanja. Ona elektroda koja je priklju

č

ena na viši elektrostati

č

ki 

potencijal naelektrisa

ć

e se pozitivno, a ona druga koja je priklju

č

ena na niži potencijal, 

naelektrisa

ć

e se negativno. Taj prelazni proces naelektrisavanja  kondenzatora traja

ć

e sve dok se 

elektrode ne naelektrišu tolikom koli

č

inom naelektrisanja da je zadovoljena relacija: 

U

Q

C

=

. 

Ova relacija važi uvek i za sve tipove kondenzatora. 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
Naelektrisanja na elektrodama kondenzatora su uvek jednakog intenziteta, a suprotnog znaka 

2

1

Q

Q

−

=

 nezavisno od oblika kondenzatora. 

Kada se kondenzator naelektriše i odvoji od izvora napajanja na njegovim elektrodama ostaje 

konstantan napon. 

Mi prou

č

avamo samo plo

č

ast kondenzator. U njemu je elektrostati

č

ko polje 

homogeno

 što zna

č

i 

da je vrednost polja ista u svakoj ta

č

ki. Linije takvog polja su paralelne.  

0

0

2

1

2

1

<

>

>

Q

Q

V

V

Slika 5.1

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

25 

-

Paralelna veza kondenzatora

Karakteristika paralelne veze je da su elementi vezani izme

đ

u dve iste ta

č

ke, što zna

č

i da je napon na 

njima isti. 

A

B

C

1

C

2

Slika 5.3 paralelna veza 2 kondenzatora

2

1

AB

C

C

C

+

=

-

Mešovita veza kondenzatora 

A

B

C

2

C

3

C

1

Slika 5.4 Mešovita veza 3 kondenzatora

(

)

3

2

1

1

3

2

AB

C

C

C

C

C

C

C

+

+

+

=

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

26 

Zadatak Vežbe 

Na osnovu ura

đ

enog primera reši preostalle navedene zadatke. 

5.1

 Izra

č

unati ekvivalentnu kapacitivnost 

C

e

 grupe 

kondenzatora prikazane na slici, ako je 

C

1

 = 20 nF, 

C

2

 = 30 nF,

 C

3

 = 45 nF,

 C

4

 = 15 nF. 

Rešenje: 

Ekvivalentnu kapacitivnost odre

đ

iva

ć

emo postupno, zamenjuju

ć

i grupe kondenzatora 

ekvivalentnim kapacitivnostima: 

•

kondenzatori 

C

3

 i 

C

4

 su vezani paralelno pa je ekvivalentna 

kapacitivnost:  

nF

60

nF

15

nF

45

4

3

34

=

+

=

+

=

C

C

C

; 

•

kondenzatori 

C

2

 i 

C

34

 su vezani redno pa je:  

nF

20

nF

60

nF

30

nF

60

nF

30

1

1

1

34

2

34

2

234

34

2

234

=

+

⋅

=

+

=

⇒

+

=

C

C

C

C

C

C

C

C

; 

•

kondenzatori 

C

1

 i 

C

234

 su vezani paralelno pa je ekvivalentna 

kapacitivnost:  

nF

40

nF

20

nF

20

234

1

1234

e

=

+

=

+

=

=

C

C

C

C

. 

B

C

1

C

2

C

34

A

B

C

1

C

234

A

B

A

C

e

C

1

C

2

C

3

C

4

A

B

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

28 

5.3 

Dva kondenzatora, 

C

1

 = 100 nF  i 

C

2

 = 25 nF, vezana su redno i priklju

č

ena na napon 

U

AB

 = 10 V.  

a) Odrediti koli

č

ine naelektrisanja na pojedinim kondenzatorima, kao i koli

č

inu 

naelektrisanja na ekvivalentnom kondenzatoru priklju

č

enom na isti napon. 

b) Odrediti napone na pojedinim kondenzatorima. 
c) Odrediti  energije  pojedinih kondenzatora, kao i energiju ekvivalentnog kondenzatora 

priklju

č

enog na isti napon. 

Rešenje: 

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

29 

5.4

 Veza kondenzatora prikazana na slici priklju

č

ena 

je na napon 

U

AB

 = 80 V.  Kapacitivnosti  kondenzatora 

su: 

C

1

 = 15 pF, 

C

2

 = 30 pF, 

C

3

 = 30 pF,  

C

4

 = 60 pF, 

C

5

 = 10 pF. 

a) Izra

č

unati ekvivalentnu kapacitivnost veze 

C

e

. 

b) Izra

č

unati napon 

U

5

 na kondenzatoru 

C

5

. 

c) Izra

č

unati energiju 

W

e2

 kondenzatora 

C

2

. 

Rešenje: 

C

1

U

C

2

C

3

C

4

C

5

+

B

A

D

AB

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

31 

Zadatak Vežbe 

Na osnovu ura

đ

enog primera reši preostalle navedene zadatke. 

6.1. 

Odrediti kapacitivnost plo

č

astog vazdušnog kondenzatora površine elektroda 

S

 = 20 cm

2

, 

koje se nalaze na rastojanju 

d

 = 1 cm. 

Rešenje: 

Kondenzator 

č

ine dve provodne elektrode 

izme

đ

u kojih se nalazi dielektrik. Elektrode su 

naelektrisane istom koli

č

inom naelektrisanja 

suprotnog znaka. Plo

č

ast kondenzator 

prikazan je na slici 6.1. Elektrode plo

č

astog 

kondenzatora su dve metalne plo

č

e istih 

dimenzija. Bez obzira na debljinu elektroda uz 
primenu Gausovog zakona i 

č

injenicu da je 

elektri

č

no polje u provodnicima u 

elektrostatici jednako nuli, može se pokazati 
da je sve slobodno naelektrisanje 

Q

, kojim su 

naelektrisane elektrode, ravnomerno 
raspore

đ

eno po samoj površini unutrašnjih 

strana elektroda kao što je prikazano na slici 
6.1a (sam dokaz prevazilazi okvire ove 
knjige). Pri tome su zanemareni ivi

č

ni efekti 

na krajevima kondenzatora. Zbog toga to 
površinsko naelektrisanje elektroda 
posmatramo kao beskona

č

no tanku 

naelektrisanu plo

č

u, za jednu elektrodu 

pozitivno, a za drugu negativno. Elektri

č

no 

polje u okolini takve plo

č

e je homogeno, a 

linije polja su normalne na površinu plo

č

e, 

kao što je prikazano na slici 6.1b. Intenzitet 
elektri

č

nog polja je: 

0

0

p

p

2

2

ε

ε

σ

S

Q

E

E

=

=

=

−

+

. 

Pošto je sve naelektrisanje raspore

đ

eno u tankom sloju uz unutrašnje strane elektroda plo

č

asti 

kondenzator se predstavlja kao na slici 6.1b , kao da su elektrode beskona

č

no tanke. 

Ukupno elektri

č

no polje unutar i izvan plo

č

astog kondenzatora dobijamo vektorskim sabiranjem 

elektri

č

nog polja od pozitivne elektrode, 

+

p

E

r

, i elektri

č

nog polja od negativne elektrode, 

−

p

E

r

. Pošto 

su polja istog pravca možemo im algebarski sabrati intenzitete, ako su istog smera (kao unutar 

E

p

+

E

p

-

+

E

p

+

E

p

-

=

E

0

0

0

E

0

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

a)

b)

c)

Slika 6.1

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

32 

kondenzatora), odnosno oduzeti ako su suprotnog smera (kao izvan kondenzatora). Dolazimo do 
zaklju

č

ka da se polja izvan kondenzatora potiru, odnosno da, uz zanemarivanje ivi

č

nih efekata, 

nema elektri

č

nog polja izvan kondenzatora

, a da je 

elektri

č

no polje unutar kondenzatora 

homogeno i ima intenzitet

: 

S

Q

E

0

0

ε

=

. 

Grafik zavisnosti intenziteta elektri

č

nog polja je prikazan na slici 6.1c. 

Napon izme

đ

u plo

č

a kondenzatora ra

č

una se kao razlika potencijala elektroda, odnosno: 

(

)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-

,

cos

ε

⋅

⋅

=

⋅

=

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

−

=

∫

∫

∫

∫

+

S

d

Q

d

E

dx

E

dx

E

x

d

E

dl

E

x

d

E

V

V

U

d

d

d

d

r

r

r

r

, 

gde je 

x

d

r

 vektor beskona

č

no malog intenziteta, a pravac i smer se poklapaju sa pravcem i 

smerom 

x

 ose. 

Kapacitivnost se definše kao odnos naelektrisanja na elektrodama i napona izme

đ

u elektroda: 

d

S

S

d

Q

Q

U

Q

C

0

0

ε

ε

=

⋅

⋅

=

=

. 

Zamenom brojnih vrednsti iz zadatka dobijamo kapacitivnost ovog kondenzatora: 

pF

77

,

1

F

10

77

,

1

m

10

1

m

10

20

m

F

10

85

,

8

12

2

-

2

4

12

0

=

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

=

−

−

−

d

S

C

ε

. 

1

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

34 

6.3 

Energija plo

č

astog kondenzatora je 

W

e

 = 25 pJ.  Kondenzator  je  priklju

č

en na napon 

U

 = 10 V.  Površina  plo

č

a kondenzatora je 

S

 = 10 cm

2

. Odrediti ja

č

inu elektri

č

nog polja u 

kondenzatoru. 

Rešenje: 

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

35

Jednosmerne struje 

Sadržaj:

7.   ELECTRONIC WORKBENCH TUTORIJAL ........................................................37

   7.1. Pokretanje programa...............................................................................37

   7.2. Glavni  prozor  EWB-a .............................................................................38

   7.3. Crtanje elektri

č

nih šema u EWB-u.............................................................42

   7.4. Simulacija...............................................................................................43

8.   OMOV ZAKON.............................................................................................44

   Teorijska Osnova...........................................................................................44

   Zadatak Vežbe ..............................................................................................50

   Provera Omovog zakona ................................................................................53

9.

KIRHOFOVI ZAKONI....................................................................................55

   Teorijska Osnova...........................................................................................55

   Zadatak Vežbe ..............................................................................................57

10.

METOD KONTURNIH STRUJA .....................................................................61

   Teorijska Osnova...........................................................................................61

   Zadatak Vežbe ..............................................................................................62

11.

TRANSFIGURACIJE KOLA ...........................................................................66

   Teorijska Osnova...........................................................................................66

   Zadatak Vežbe ..............................................................................................69

12.

TRANSFIGURACIJE GENERATORA U KOLU ..................................................72

   Teorijska Osnova...........................................................................................72

   Zadatak Vežbe ..............................................................................................74

13. 

TEVENENOVA TEOREMA............................................................................75

   Teorijska Osnova...........................................................................................75

   Zadatak Vežbe ..............................................................................................77

14.

TEOREMA SUPERPOZICIJE.........................................................................88

   Teorijska Osnova...........................................................................................88

   Zadatak Vežbe ..............................................................................................89

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

37

vežba broj 7 

7.

ELECTRONIC WORKBENCH 

TUTORIJAL 

Electronic Workbench (EWB) je programski paket koji se koristi za simulaciju rada 

elektronskih kola. Namenjen je za testiranje rada elektronskih ure

đ

aja sa ciljem pronalaženja 

grešaka u radu samog ure

đ

aja, kao i njihovo otklanjanje pre izrade prototipa i puštanja u 

proizvodnju. EWB omogu

ć

ava studentima elektrotehnike da se upoznaju sa osnovnim principima 

povezivanja elemenata i mernih instrumenata, kao i koriš

ć

enje instrumenata pri merenju fizi

č

kih 

veli

č

ina u elektri

č

nim kolima. 

7.1.

Pokretanje programa 

Program možemo pokrenuti na dva na

č

ina: koriš

ć

enjem pre

č

ice (

engl. shortcut

) koja se 

nalazi na radnoj površini (

engl. desktop

) ili preko 

start

 menija koji se nalazi u donjem levom uglu 

ekrana 

Start

→

Programs

→

Electronic Workbench,

 a zatim pokretanjem ikone programa “Electronic 

Workbench”. Nakon pokretanja programa na ekranu ra

č

unara pojavi

ć

e se prozor prikazan na slici. 

Slika 7.1 Izgled prozora EWB-a 

radna 

površina 

statusna 

linija 

linija 

glavnog 

menija 

standardna 

linija 

linija 

alatki 

Prekida

č

i za 

pokretanje i 

zaustavljanje 

simulacije

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

38

7.2.

Glavni  prozor  EWB-a 

 
Gglavni prozor EWB-a, može se podeliti u nekoliko celina: 

1.

linija glavnog menija

 – sadrži padaju

ć

e liste sa komandama EWB-a. 

Slika 7.2.Komande padaju

ć

e liste File iz 

linije glavnog menija 

Komande padaju

ć

e liste 

File

 se koriste za rad sa 

datotekama. Komanda 

New 

kreira i otvara novu datoteku, 

komanda 

Open… 

otvara ve

ć

 postoje

ć

u datoteku, 

komande 

Save

 i 

Save As…

 služe za snimanje datoteke na 

disk, a komanda 

Exit

 služi za izlazak iz programa. Pre 

izlaska iz programa potrebno je sa

č

uvati sve trenutno 

otvorene datoteke. 

2.

standardna linija 

– sadrži osnovne komande za rad sa datotekama, koje se tako

đ

e nalaze 

u padaju

ć

oj listi 

File

, ove komande su date u vidu ikonica koje simboli

č

no ukazuju na 

funkciju koju obavljaju, a ukoliko se pokaziva

č

em miša zadržimo na nekoj od njih - 

pojavljuje se tekst koji objašnjava funkciju te ikone (

Slika

 7.3). 

Slika 7.3. Standardna linija ikonica 

 
Ikone imaju slede

ć

e funkcije: 

a)

New

 – otvara se nov prostor za crtanje šema

b)

Open – 

otvara se ve

ć

 postoje

ć

a datoteka

c)

Save – 

komanda za upisivanje na disk

d)

Cut

,

 copy

,

 paste – 

ove komande imaju istu funkciju kao i u programima za 

obradu teksta. 

Copy

 i 

cut

 služe za kopiranje ozna

č

enog sadržaja u memoriju. Nakon 

izvršavanja komande 

copy

 ozna

č

en sadržaj se nakon kopiranja u memoriju, još 

uvek nalazi na radnoj površini, a nakon izvršavanja komande 

cut

 ovaj sadržaj se 

briše sa radne površine. Komanda 

paste

 služi za kopiranje sadržaja iz memorije na 

radnu površinu i koristi se nakon izvršavanja jedne od komandi 

cut

 ili 

copy

. 

Ozna

č

avanje sadržaja obavlja se pritiskanjem levog tastera miša i prevla

č

enjem 

pokaziva

č

a miša preko željene površine. 

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

40

Slika 7.6.

Linija alatki – podmeni osnovni elementi 

Indikatori

 koji 

ć

e biti koriš

ć

eni su indikatorski merni instrumenti ampermetar i  

voltmetar (

Slika 7.7

). EWB dozvoljava neograni

č

enu koli

č

inu indikatorskih mernih 

instrumenata u šemama, a oni su pogodni za koriš

ć

enje zbog jednostavnijeg o

č

itavanja. 

Slika 7.7. Linija alatki – podmeni indikatori 

Voltmetar

 je merni instrument koji se koristi za odre

đ

ivanje vrednosti jednosmernog 

i naizmeni

č

nog napona. Prilikom povezivanja voltmetra u kolo treba poštovati slede

ć

a 

pravila: 

a)

voltmetar se u kolo uvek vezuje paralelno!

 Unutrašnja otpornost voltmetra je vrlo 

velika (reda veli

č

ina od nekoliko 

M

Ω

) tako da su promene koje se unose 

priklju

č

ivanjem voltmetra u kolo zanemarljive.

b)

uvek treba nastojati da se voltmetar polariše ispravno! 

Voltmetar ima dve 

elektrode, jedna se priklju

č

uje na ta

č

ku višeg potencijala (ona se u šemama 

prikazuje kao pozitivan kraj voltmetra), a druga se povezuje na ta

č

ku nižeg 

potencijala (ona se u šemama prikazuje kao negativan kraj voltmetra).  

Polarizacija instrumenata posebno je važna u radu sa realnim analognim 

instrumentima, koji mogu pretrpeti trajna i ozbiljna ošte

ć

enja ukoliko su priklju

č

eni 

nepravilno, za razliku od digitalnih instrumenata kod kojih neispravno polarizovan 
instrument ne

ć

e izazvati ošte

ć

enja. EWB simulira rad digitalnih mernih instrumenata 

tako da ukoliko student nije ispravno polarisao instrument dobi

ć

e vrednost napona sa 

promenjenim znakom. Izgled instrumenata u EWB-u prikazan je na slici 7.8. 

Slika 7.8. Voltmetar(levo) i ampermetar (desno). Zatamnjeni 

 krajevi instrumenata su negativni 

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

41

Ampermetar

 je merni instrument koji se koristi za odre

đ

ivanje vrednosti 

jednosmerne i naizmeni

č

ne struje 

(Slika 7.8)

. Prilikom povezivanja instrumenta u kolo 

treba poštovati slede

ć

a pravila: 

a)

ampermetar

se u kolo uvek vezuje redno!

 Unutrašnja otpornost ampermetra je vrlo 

mala (reda veli

č

ina od nekoliko 

m

Ω

) tako da su promene koje se unose 

priklju

č

ivanjem ampermetra u kolo zanemarljive.

b)

uvek treba nastojati da se ampermetar polariše ispravno! 

Kao i voltmetar, 

ampermetar ima dve elektrode, ispravno polarisan ampermetar povezan je u kolo 
tako da struja u toj grani ulazi na pozitivanom kraju instrumenta, a izlazi na 
negativnom kraju instrumenta. 

 
Iz menija

 Merni instrumenti

 bi

ć

e koriš

ć

eni: 

unimer

 (koji 

ć

e biti koriš

ć

en za merenje 

otpornosti) i 

dvokanalni

osciloskop

 (merni instrument koji služi za prikazivanje oblika 

naizmeni

č

nog signala kao i za merenje karakteristi

č

nih osobina naizmeni

č

nih signala – 

amplitude, periode, faznog pomeraja itd.). Na radnoj površini može postojati samo po 
jedan od ovih instrumenata. 

Slika 7.9. Podmeni Instrumenti 

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

43

ve

ć

 postoje

ć

im provodnikom obavlja se na isti na

č

in, ali isklju

č

ivo u smeru od elementa ka 

provodniku (

Slika 7.11, c

). Treba izbegavati postavljanje elemenata preko ve

ć

 postoje

ć

eg 

provodnika. 

Povezivanje elemenata treba obaviti pažljivo, jer su naj

č

eš

ć

e greške u radu sa EWB-om 

upravo greške u povezivanju elemenata, jer ako ne postoji veza izme

đ

u elemenata rezultat 

ć

e biti 

pogrešan ili 

ć

e simulacija prijaviti grešku. 

Slika 7.11 Povezivanje elemenata 

7.4.

Simulacija  

Ako je šema ispravno povezana, možemo pustiti simulaciju rada kola. Simulacija rada kola 

obavlja se uklju

č

ivanjem preklopnika u gornjem desnom uglu. Ispod njega nalazi se taster 

pause

, 

koji zaustavlja (pauzira) rad kola 

(Slika 7.1)

. 

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

44

vežba broj 8 

8.

OMOV ZAKON 

U ovoj vežbi: 

Vremenski nepromenljive elektri

č

ne struje

Ja

č

ina i gustina elektri

č

ne struje  

Elektri

č

na otpornost  

Specifi

č

na elektri

č

na otpornost  

Elektri

č

na provodnost 

Specifi

č

na elektri

č

na provodnost 

Džulov zakon 

Naponski i strujni generatori 

Prosto kolo 

Prora

č

un napona izme

đ

u dve ta

č

ke 

Teorijska Osnova 

•

Vremenski nepromenljive elektri

č

ne struje ili stalne elektri

č

ne struje su struje nepromenljive 

tokom vremena. Ne menja im se ni intenzitet ni smer. 

Na slici je prikazan grafik ja

č

ine elektri

č

ne struje I u 

zavisnosti od vremena t. Sa grafika možemo primetiti da je 
ja

č

ina elektri

č

ne struje konstantna u vremenu, tj. da se ne 

menja u zavisnosti od vremena. Na ovaj na

č

in se grafi

č

ki 

predstavljaju jednosmerne elektri

č

ne struje. Uvek se nalazi sa 

iste strane ose. 

Na ovoj slici prikazan je grafik jednosmerne elektri

č

ne 

stuje i to: od trenutka 

t

0

 do trenutka 

t

1

– vrednost ja

č

ine el. 

struje je pozitivna 

(I>0)

, a u vremenskom intervalu od 

t

1

do 

t

2

el. struja menja smer što se simboli

č

no ozna

č

ava promenom 

znaka 

(I<0). 

Na ovoj slici nisu prikazane pozitivna i negativna 

elektri

č

na struja, ve

ć

 je to grafi

č

ki prikaz elektri

č

ne struje 

koja je promenila smer. 

Oznaka za stalnu elektri

č

nu struju je 

I

. Oznaka za promenljivu elektri

č

nu struju je 

i

. 

Slika 8.1 Grafik stalne elektri

č

ne 

struje

Slika 8.2 Grafik elektri

č

ne struje koja 

je promenila smer 

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

46

Usaglašeni referentni smer za napon i elektri

č

nu struju kroz otpornik je od ta

č

ke koja je na 

pozitivnom potencijalu ka ta

č

ki koja je na negativnom potencijalu. 

+

I

U

R

Slika 8.3 

GU

I

RI

U

=

=

Neusaglašeni referentni smer za napon i elektri

č

nu struju kroz otpornik je od ta

č

ke koja je na 

negativnom potencijalu ka ta

č

ki koja je na pozitivnom potencijalu. 

+

I

U

R

Slika 8.4 

GU

I

RI

U

−

=

−

=

- Džulov zakon 

Elektri

č

na energija koja se pretvori u toplotnu prilikom proticanja elektri

č

ne struje kroz otpornik 

može se definisati Džulovim zakonom. 

Snaga Džulovih gubitaka

 jednaka je proizvodu napona na 

otporniku i elektri

č

ne struje koja proti

č

e kroz njega, prema usaglašenom referentnom smeru. 

R

U

RI

UI

P

R

2

2

=

=

=

ovi izrazi se 

č

eš

ć

e koriste jer ne zavise od referentnih smerova 

 Jedinica za snagu Džulovih gubitaka je vat [W]. 

- Generatori 

Gneratori su ure

đ

aji za generisanje napona i elektri

č

ne struje. U zavisnosti od unutrašnje 

otpornosti generator se u kolu ponaša kao 

naponski

 ili kao 

strujni

. 

Ako je unutrašnja otpornost generatora zanemarljiva u odnosu na otpornost kola onda ga 

tretiramo kao 

naponski

.

Ako je unutrašnja otpornost generatora velika u odnosu na otpornost kola onda ga tretiramo kao 

strujni

.

R

U

I

=

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

47

NAPONSKI GENERATOR 

Osnovna karakteristika

 naponskog generatora 

je elektromotorna sila. 

STRUJNI GENERATOR 

Osnovna karakteristika

 strujnog generatora je 

da generiše stalnu elektri

č

nu struju u grani u 

kojoj se nalazi. 

Idealan naponski generator 

•

Unutrašnja otpornost

 ovog 

generatora je 0. 

•

Napon

 izme

đ

u njegovih krajeva je uvek 

jednak elektromotornoj sili 

E

 bez obzira 

gde je priklju

č

en. 

•

Struja

 koja proti

č

e kroz generator zavisi 

od kola u koje je priklju

č

en. 

Idealan strujni generator 

•

Unutrašnja otpornost

 ovog generatora je 

beskona

č

na. 

•

Elektri

č

na struja

 koju generiše je uvek 

jednaka 

I

g

 bez obzira gde je priklju

č

en. 

•

Napon

 na generatoru zavisi od kola u koje 

je priklju

č

en. 

Realan naponski generator

Realan strujni generator

+

E

R

g

I

g

R

g

Realan naponski generator uvek ima 

unutrašnju otpornost (koja je mala  

ali ipak nije 0). 

Realan strujni generator ima unutrašnju 

otpornost koja je jako velika ali nije 

beskona

č

na. 

Referentni smer 

usaglašen referentni

 smer elektromotorne sile 

generatora i elektri

č

ne struje koja proti

č

e kroz 

njega: 

+

E

I

neusaglašen referentni smer

 elektromotorne 

sile generatora i elektri

č

ne struje koja proti

č

e 

kroz njega: 

+

E

I

Referentni smer 

usaglašen referentni

 smer elektri

č

ne struje 

strujnog generatora i napona na njemu: 

I

g

+

U

neusaglašen referentni smer

 elektri

č

ne struje 

strujnog generatora i napona na njemu: 

I

g

+

U

Snaga naponskog generatora 

Za 

usaglašen

 referentni smer: 

I

E

P

E

⋅

=

Za 

neusaglašen

 referentni smer:

I

E

P

E

⋅

−

=

Snaga strujnog generatora  

Za 

usaglašen

 referentni smer

U

I

P

E

⋅

=

g

Za 

neusaglašen

 referentni smer: 

U

I

P

E

⋅

−

=

g

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

49

∑

∑

±

=

i

i

i

i

R

E

I

Za prosto kolo prikazano na gornjoj slici Omov zakon glasi: 

4

3

2

1

5

2

1

R

R

R

R

E

E

E

I

+

+

+

+

−

=

. 

- Prora

č

un napona izme

đ

u dve ta

č

ke 

Napon izme

đ

u neke dve ta

č

ke u elektri

č

nom kolu može se prora

č

unati pema pravilu o sumiranju 

naponskih 

č

lanova izme

đ

u te dve ta

č

ke: 

(

)

∑

=

A

B

AB

E;-RI

U

Napon izme

đ

u ta

č

aka A i B jednak je algebarskom zbiru svih naponskih 

č

lanova 

elektromotornih sila naponskih generatora i napona na otpornicima, ra

č

unatih od B ka A. Pri tome 

se elektromotorne sile naponskih generatora uzimaju sa predznakom ''+'' za usaglašen referentni 
smer, a naponi na otpornicima sa predznakom ''-'' za usaglašen referentni smer. Ako je smer 
neusaglašen, predznaci su suprotni. 

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

50

Zadatak Vežbe 

Na osnovu ura

đ

enog primera reši preostale navedene zadatke. 

8.1

Na otporniku 

R

 = 100 

Ω

, koji je vezan u elektri

č

no kolo, napon je 

U

 = 10 V.  

a) Kolika struja proti

č

e kroz otpornik? Nacrtati otpornik, ozna

č

iti pozitivan kraj napona i 

nacrtati njemu usaglašen smer struje. 

b) Kolika se snaga razvija na ovom otporniku (tj. koliki su Džulovi gubici na otporniku)? 
c) Kolika je provodnost ovog otpornika? 

Rešenje: 

a) 

Na slici 8.8 prikazani su usaglašeni smerovi napona i struje na 

otporniku. Prema Omovom zakonu intenzitet struje koja proti

č

e kroz 

otpornik je: 

mA

100

A

1

,

0

100

V

10

=

=

Ω

=

=

R

U

I

. 

b)

 Prema Džulovom zakonu toplotni gubici na otporniku su: 

(

)

W

1

100

V

10

2

2

=

Ω

=

=

R

U

P

. 

c)

 Provodnost je jednaka recipro

č

noj vrednosti otpornosti: 

mS

10

S

01

,

0

100

1

1

=

=

Ω

=

=

R

G

. 

+

Slika 8.8

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

52

8.3

 Generator elektromotorne sile 

E

, unutrašnje otpornosti 

R

g

 i otpornik promenljive 

otpornosti obrazuju prosto elektri

č

no kolo. U prvom slu

č

aju otpornost promenljivog 

otpornika je 

R

1

 = 4 

Ω

, a ja

č

ina struje u kolu je 

I

1

= 1,5 A. Kada promenimo otpornost 

promenljivog otpornika na vrednost od 

R

2

 = 7 

Ω

, ja

č

ina struje u kolu je 

I

2

= 1 A. Ukoliko 

kratko spojimo generator, kolika je ja

č

ina struje u tom kolu? 

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

53

Provera Omovog zakona 

Za kolo prikazano na 

slici 8.9 

ra

č

unskim putem odrediti: 

a)

vrednost ja

č

ine struje u kolu, 

b)

snage svih generatora, 

c)

snage džulovih gubitaka na otpornicima i  

d)

napon izme

đ

u ta

č

aka A i B. 

Slika 8.9 

E

1

 = 

E

2

 = 

E

4

 = 12 V;  

E

3

=24V ; 

R

1

 = 6 

Ω

 ; 

R

2

 = 5,6 

Ω

 ;  

R

g1

 = 

R

g2

 = 

R

g3

 = 

R

g4

  = 0.1 

Ω

I , P, U

AB 

= ? 

Prora

č

un  

a)

Ja

č

ina struje u kolu, na osnovu Omovog zakona za prosto kolo i usvojenim referentnim 

smerom struje, je: 
 

b)

Snage generatora u kolu, u odnosu na usvojeni referentni smer struje su:  

c)

Snaga Džulovih gubitaka svih otpornika u kolu je: 

d)

Napon izme

đ

u ta

č

aka A i B: 

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

55 

vežba broj 2 

9.

KIRHOFOVI ZAKONI 

U ovoj vežbi: 

Prvi Kirhofov zakon 

Drugi Kirhofov zakon 

Neposredna primena Kirhofovih zakona 

Teorijska Osnova 

I

1

I

2

I

3

I

4

I

5

Slika 9.1 

0

k

k

=

∑

I

0

5

4

3

2

1

=

−

+

−

+

I

I

I

I

I

0

k

k

=

∑

I

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

56 

Slika 9.2

(

)

0

;

=

−

∑

RI

E

, 

0

5

3

4

3

3

2

2

2

1

1

1

=

+

−

−

+

−

+

E

I

R

I

R

I

R

E

I

R

E

- Metod neposredne primene Kirhofovih zakona 

Po Kirhofovim zakonima broj jedna

č

ina koje pišemo je: 

po I Kirhofovom zakonu: 

1

č

−

n

po II Kirhofovom zakonu: 

)

1

(

č

g

−

−

n

n

Ovaj metod ima ukupan broj jedna

č

ina isti kao što je i broj nepoznatih struja grana kola. 

Ako kolo ima 

n

I

g

 strujnih generatora onda je broj jedna

č

ina koje pišemo po II Kirhofovom 

zakonu:  

g

č

g

)

1

(

I

n

n

n

−

−

−

, 

a broj jedna

č

ina po I Kirhofovom zakonu ostaje nepromenjen. 

Nezgodna osobina metode je da ako kolo ima više od 3 grane, broj jedna

č

ina za rešavanje je 

vrlo veliki i rešavanje je složeno. 

(

)

0

;

=

−

∑

RI

E

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

58 

Napomena:

 Obratiti pažnju da kod primene II Kirhofovog zakona, kao i prilikom ra

č

unanja 

napona izme

đ

u dve ta

č

ke, predznak elektromotorne sile 

ne zavisi

od usaglašenosti referentnih 

smerova elektromotorne sile i struje (za razliku od Omovog zakona za prosto kolo i metode 
konturnih struja, sa kojom 

ć

emo se kasnije sresti), ve

ć

 zavisi isklju

č

ivo od veze izme

đ

u referentnog 

smera elektromotorne sile i smera obilaska konture. Objašnjenje je slede

ć

e: II Kirhofov zakon se 

odnosi na zbir napona duž zatvorene konture, a napon izme

đ

u dve ta

č

ke se ra

č

una sabiranjem 

napona na pojedinim elementima koji se nalaze izme

đ

u posmatranih ta

č

aka. Napon idealnog 

naponskog generatora uvek je jednak njegovoj elektromotornoj sili i konstantan je; ne zavisi od 
struje koja te

č

e kroz generator, odnosno ne zavisi od kola u koje je vezan generator. 

Ukupan broj jedna

č

ina koje rešavamo neposrednom primenom Kirhofovih zakona je: 

n

č

 – 1 + 

n

g

 – (

n

č

 – 1) = 

n

g

. 

Dakle, imamo isti broj jedna

č

ina koliko i nepoznatih (

n

g

 grana i njihovih nepoznatih struja). 

Napišimo još jednom sistem jedna

č

ina koji treba da rešimo: 

0

3

2

1

=

−

+

−

I

I

I

0

3

3

1

1

1

=

+

+

−

I

R

E

I

R

0

2

2

2

3

3

=

−

+

−

I

R

E

I

R

Zamenimo brojne vrednosti u ovom sistemu jedna

č

ina. Pri tome, zbog lakšeg rešavanja, ne

ć

emo 

pisati jedinice, ali 

ć

emo voditi ra

č

una o jedinicama u kojima je dobijen krajnji rezultat: ako 

zamenjujemo napone u voltima (V) i otpornosti u omima (

Ω

) struje 

ć

emo dobiti u amperima (A); 

ako zamenjujemo napone u voltima (V) i otpornosti u kiloomima (

Ω

k

) struje 

ć

emo dobiti u 

miliamperima (mA). Zamenjuju

ć

i brojne vrednosti u osnovnim jedinicama (voltima i omima), 

dobijamo slede

ć

i sistem jedna

č

ina: 

0

3

2

1

=

−

+

−

I

I

I

(1) 

6

400

700

3

1

−

=

+

−

I

I

(2) 

20

400

300

3

2

−

=

−

−

I

I

(3) 

Zamenimo nepoznatu 

I

3

 iz jedna

č

ine (1): 

2

1

3

I

I

I

+

−

=

u jedna

č

ine (2) i (3).  Tada se sistem svodi na dve jedna

č

ine sa dve nepoznate: 

6

400

1100

2

1

−

=

+

−

I

I

20

700

400

2

1

−

=

−

I

I

koji 

ć

emo rešiti Kramerovim pravilima. Determinanta sistema je: 

(

)(

)

4

10

61

400

400

700

1100

700

400

400

1100

⋅

=

⋅

−

−

−

=

−

−

=

Δ

. 

Determinante promenljivih 

I

1

 i 

I

2

 dobijamo zamenjuju

ć

i koeficijente uz promenljive slobodnim 

č

lanovima: 

( )(

) (

)

2

1

10

122

400

20

700

6

700

20

400

6

⋅

=

⋅

−

−

−

−

=

−

−

−

=

Δ

, 

(

)(

)

( )

2

2

10

244

6

400

20

1100

20

400

6

1100

⋅

=

−

⋅

−

−

−

=

−

−

−

=

Δ

. 

Nepoznate promenljive dobijamo iz ovih determinanti (s obzirm da smo zamenjivali napone u 

voltima i otpornosti u omima struju dobijamo u amperima): 

mA

20

A

0,02

A

10

61

10

122

4

2

1

1

=

=

⋅

⋅

=

Δ

Δ

=

I

, 

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

59 

mA

40

A

0,04

A

10

61

10

244

4

2

2

2

=

=

⋅

⋅

=

Δ

Δ

=

I

. 

Nepoznatu struju 

I

3

 odre

đ

ujemo zamenjuju

ć

i dobijene vrednosti struja 

I

1

 i 

I

2

 u jedna

č

inu (1): 

mA

20

mA

40

mA

20

2

1

3

=

+

−

=

+

−

=

I

I

I

Prilikom rešavanja ovog jednostavnog kola direktnom primenom Kirhofovih zakona, dobili smo 

sistem od tri jedna

č

ine sa tri nepoznate. Broj jedna

č

ina kod nešto složenijeg kola bio bi znatno ve

ć

i. 

Zbog toga se metoda direktne primene Kirhofovih zakona gotovo ne koristi za rešavanje složenih 
kola ve

ć

 se koriste metode koje su izvedene iz Kirhofovih zakona (metod konturnih struja i metod 

potencijala 

č

vorova), 

č

ijom primenom se dobija znatno manji broj jedna

č

ina. Vide

ć

emo kasnije da 

ovaj isti zadatak može da se reši primenom metode konturnih struja gde se dobijaju dve jedna

č

ine, 

kao i metodom potencijala 

č

vorova kojom se dobija samo jedna jedna

č

ina. Dakle, najpogodniji 

metod za rešavanje konkretno ovog zadatka bio bi metod potencijala 

č

vorova. 

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

61 

vežba broj 10 

10.

METOD KONTURNIH STRUJA 

U ovoj vežbi: 

Metod konturnih struja na primeru kola sa tri konture 

Teorijska Osnova 

Metod konturnih struja ima broj jedna

č

ina jednak 

)

1

(

č

g

−

−

n

n

 (isti broj jedna

č

ina kao što se 

piše po drugom Kirhofovom zakonu), ali nepoznate veli

č

ine i u tim jedna

č

inama nisu struje grana 

ve

ć

 ''zamišljene'' struje kontura. 

Opšti sistem jedna

č

ina, na primer, tre

ć

eg reda glasi: 

III

III

33

II

32

I

31

II

III

23

II

22

I

21

I

III

13

II

12

I

11

E

I

R

I

R

I

R

E

I

R

I

R

I

R

E

I

R

I

R

I

R

=

+

+

=

+

+

=

+

+

 
U ovom opštem sistemu 

č

lanovi se odre

đ

uju prema precizno definisanim pravilima: 

1)

sve 

otpornosti sa istim indeksima

 (na primer 

R

11

,

  R

22

, 

R

33

) uvek su 

pozitivne

 i 

predstavljaju zbir svih otpornosti u konturi 

č

iji je broj u indeksu;

2)

sve 

otpornosti sa mešovitim indeksima

 (na primer 

R

12

,

  R

23

, 

R

13

) predstavljaju zbir 

otpornosti u granama zajedni

č

kim za dve konture, 

č

iji broj stoji u indeksu. Mogu biti 

ili 

pozitivne ili negativne

, što zavisi od usmerenja kontura: ako je isti smer obe konture, ove 

otpornosti dobijaju predznak ''+'', a za suprotan smer dobijaju predznak ''-'';

3)

sve 

otpornosti sa mešovitim indeksima

istih brojeva

, a suprotnog redosleda (na primer 

R

12

 i

 R

21

) 

uvek su jednake

;

4)

elektromotorne sile

 sa desne strane opšteg sistema jedna

č

ina (na primer 

E

 I

) predstavljaju 

zbir svih elektromotornih sila

generatora

 u konturi 

č

iji je broj u indeksu, prema 

usaglašenom referentnom smeru;

5)

I

 I

, 

I

 II

 i 

I

 III

 su konturne struje;

6)

kada se rešavanjem sistema jedna

č

ina izra

č

unaju konturne struje onda se preko njih 

izra

č

unavaju elektri

č

ne struje grana kola.

 
Važno je da prilikom izbora i ucrtavanja kontura svaka mora biti nezavisna, tj. da svaka kontura 

mora imati barem jednu granu koja samo njoj pripada (na taj na

č

in 

ć

e jedna

č

ina koju pišemo za tu 

konturu biti matemati

č

ki nezavisna). 

Ako postoji strujni generator u kolu, onda obavezno kroz granu sa njim sprovodimo samo jednu 

konturu. Tako 

ć

e elektri

č

na struja te konture biti jednaka struji strujnog generatora. Time se broj 

jedna

č

ina (broj nepoznatih) opšteg sistema smanjuje za broj strujnih generatora u kolu 

n

I

g

. 

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

62 

Zadatak Vežbe 

Na osnovu ura

đ

enog primera reši preostale navedene zadatke. 

10.1

 Za kolo prikazano na slici metodom konturnih 

struja odrediti intenzitete struja u svim granama, ako je 

E

1

 = 6 V, 

E

2

 = 20 V  i 

R

1

 = 700 

Ω

,

  R

2

 = 300 

Ω

,

R

3

 = 400 

Ω

. 

Rešenje: 

Metod konturnih struja izveden je iz II Kirhofovog zakona. Kao što smo videli kad smo 

postavljali jedna

č

ine po II Kirhofovom zakonu, broj nezavisnih kontura u kolu, koje ima 

n

č

č

vorova 

i 

n

g

 grana, jednak je 

n

g

 – (

n

č

 – 1). 

Po metodi konturnih struja zamišljamo da kroz svaku 

od nezavisnih kontura prolazi po jedna takozvana 
konturna struja. Za svaku konturnu struju postavlja se po 
jedna jedna

č

ina. 

Kolo koje analiziramo ima 

n

č

 = 2 

č

vora i 

n

g

 = 3 grane, 

pa je broj konturnih struja: 

n

g

 – (

n

č

 – 1) = 3 – (2 – 1) = 2. 

Odredimo nezavisne konture i proizvoljno usvojimo 

smerove konturnih struja svake konture 

(Slika 10.1). 

Opšti oblik jedna

č

ina konturnih struja za ovo kolo je 

drugog reda (dve konturne struje) i glasi: 

II

II

22

I

21

I

II

12

I

11

E

I

R

I

R

E

I

R

I

R

=

+

=

+

R

11

 predstavlja zbir svih otpornosti kroz koje proti

č

e konturna struja 

I

I

 i uvek ima pozitivan 

predznak: 

Ω

=

+

=

k

1

,

1

3

1

11

R

R

R

. 

R

22

 predstavlja zbir svih otpornosti kroz koje proti

č

e konturna struja 

I

II

 i uvek ima pozitivan 

predznak: 

Ω

=

+

=

k

7

,

0

3

2

22

R

R

R

. 

Otpornosti 

R

12

 i 

R

21

 su uvek jednake (imaju iste brojeve u indeksu, razli

č

itog redosleda) i 

predstavljaju ukupnu otpronost grane koja je zajedni

č

ka za konturnu struju 

I

I

 i konturnu struju 

I

II

. U 

ovom kolu je to grana sa otpornikom 

R

3

. S obzirom da su smerovi konturnih struja kroz ovu 

zajedni

č

ku granu suprotni, predznak otpornosti 

R

12

 i 

R

21

 je negativan: 

Ω

−

=

−

=

=

k

4

,

0

3

21

12

R

R

R

. 

E

I

 je algebarski zbir svih elektromotornih sila kroz koje proti

č

e konturna struja 

I

I

. Ako se smer 

struje poklapa sa referentnim smerom odre

đ

ene elektromotorne sile, ta elektromotorna sila ima 

predznak ''+'', i obrnuto. 

+

E

1

R

1

+

E

2

R

2

R

3

Slika 10.1

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

64 

10.2

 Za kolo prikazano na slici napisati jedna

č

ine po metodi konturnih struja i izraze za struje 

pojedinih grana. 

+

E

1

R

1

+

E

5

R

5

R

3

+

E

8

R

8

R

7

R

4

R

2

R

6

Rešenje: 

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

65 

10.3

 U kolu na slici poznato je: 

I

g1

 = 12 A, 

I

g2

 = 6 A, 

E

2

 = 30 V, 

E

3

 = 20 V, 

E

4

 = 40 V, 

R

1

 = 10 

Ω

, 

R

3

 = 40 

Ω

, 

R

4

 = 20 

Ω

, 

R

5

 = 30 

Ω

a) Odrediti  struje svih grana kola 

primenom metode konturnih struja. 

b) Odrediti snagu strujnog generatora I

g1.

Rešenje: 
 

+

+

+

R

3

E

2

E

3

E

4

I

g2

I

g1

R

5

1

2

3

4

R

4

R

1

5

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

67 

Mešovita veza otpornika 

A

B

R

2

R

3

R

1

3

2

3

2

1

AB

R

R

R

R

R

R

+

+

=

A

B

R

1

R

2

R

3

R

4

Slika 11.3Mešovite veze 

otpornika 

(

)(

)

4

3

2

1

4

3

2

1

AB

R

R

R

R

R

R

R

R

R

+

+

+

+

+

=

 
Jako je važno izme

đ

u kojih ta

č

aka u kolu tražimo ekvivalentnu otpornost pošto je ona razli

č

ita 

za jednu istu grupu otpornika u zavisnosti od ta

č

aka izme

đ

u kojih se posmatra. 

Postoje i nešto složenije veze otpornika koje nisu ni redne, ni paralelne, ni mešovite. To su 

otpornici povezani u ''trougao'' i otpornici povezani u ''zvezdu''. Koriste se nazivi transfiguracija 

''trougao u zvezdu''

 i transfiguracija 

''zvezda u trougao''

.  

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

68 

Transfiguracija ''trougao u zvezdu'' 

R

12

R

23

R

13

1

2

3

⇔

R

1

R

2

R

3

1

2

3

0

23

13

12

13

12

1

R

R

R

R

R

R

+

+

=

23

13

12

23

12

2

R

R

R

R

R

R

+

+

=

23

13

12

13

23

3

R

R

R

R

R

R

+

+

=

Transfiguracija ''zvezda u trougao'' 

R

1

R

2

R

3

1

2

3

0

⇔

R

12

R

23

R

13

1

2

3

3

2

1

2

1

12

R

R

R

R

R

R

+

+

=

2

3

1

3

1

13

R

R

R

R

R

R

+

+

=

1

3

2

3

2

23

R

R

R

R

R

R

+

+

=

Transfiguracija 

''trougao u zvezdu''

 smanjuje broj kontura za jednu, pa se kolo lakše rešava. 

Naj

č

eš

ć

i primer za formu trougla u zadacima je prikazan na slici 11.4 – levo. 

Slika 11.4 Trougao (levo) i zvezda (desno)  

Transfiguracija 

„zvezda u trougao“

 ne smanjuje broj kontura, naprotiv. Zato na prvi pogled i 

nije logi

č

na. Me

đ

utim, dobija se mnoštvo paralelnih veza koje u jednom koraku mogu da se 

ekvivalentiraju. Naj

č

eš

ć

i primer za formu zvezde u zadacima je prikazan na slici 11.4 – desno. 

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

70 

11.2

 Izra

č

unati ekvivalentnu otpornost izme

đ

u ta

č

aka A i B, ako je 

R

1

 = 10 

Ω

k

, 

R

2

 = 20 

Ω

k

, 

R

3

 = 60 

Ω

k

. 

A

B

R

1

R

2

R

3

Rešenje:

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

71 

11.3

 Izra

č

unati struje u granama kola sa slike, kao i 

snagu naponskog generatora. 

Dato je: 

R

1

 = 7 

Ω

k

,

 R

2

 = 8 

Ω

k

, 

R

3

 = 10 

Ω

k

,

 R

4

 = 30 

Ω

k

,

R

5

 = 3 

Ω

k

,

 R

6

 = 6 

Ω

k

,

 R

7

 = 2,5 

Ω

k

,

 R

8

 = 8 

Ω

k

,

E

 = 40 V 

Rešenje:

+

R

1

R

2

R

3

R

7

R

4

R

5

R

6

R

8

E

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

73 

E

R

g

A

B

+

R

p

+

U

AB

I

I

g

A

B

R

p

+

U

AB

I

R

I

g

Slika 12.2 Transfiguracija realnog naponskog generatora 

Ovu transfiguraciju primenjujemo u slede

ć

im slu

č

ajevima: 

 a) 
 
 
 
 
 

b) 

 
 
 
 
 
   
       c) 
 
 
 

d)  

⇔

g

g

R

E

I

=

g

g

R

R

I

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Slika 12.3 Primena transfiguracija

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

74 

Zadatak Vežbe 

Na osnovu ura

đ

enog primera reši preostale navedene zadatke. 

12.1 

Za kolo prikazano na slici 

poznato je: 

E

1

 = 40 V, 

E

2

 = 100 V, 

E

3

 = 30 V, 

I

g

 = 0,2 A, 

R

1

 = 300 

Ω

,

 R

2

 = 150 

Ω

,

R

3

 = 200 

Ω

,

 R

4

 = 100 

Ω

,

 R

5

 = 75 

Ω

Primenom transfiguracija generatora 

odrediti struju kroz otpornik 

R

5

. 

Rešenje:

+

+

+

E

3

I

g

R

1

R

4

R

3

E

1

R

5

R

2

E

2

1

3

2

4

Priru

č

nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 

76 

1)

kada se isklju

č

i grana iz kola preostalo kolo sa otvorenim krajevima treba u

č

initi 

pasivnim. To zna

č

i da treba poništiti dejstvo svih generatora u kolu (odnosno svesti ih na 

nulu); 

2)

Napon na naponskom generatoru je jednak 0, onda kad je u kratkom spoju. Struja 

strujnog generatora je jednaka 0, onda kad je strujni generator u otvorenoj vezi. Zato se 
pasivno kolo pravi tako sto se svi naponski generatori kratko spoje, a strujni se izvade iz 
grana kola. Ako su generatori realni njihove otpornosti ostaju u kolu. 

3)