Zbirka zadataka iz fizike za pripremu razredbenih ispita na fakultetima

Izdava

č

HINUS 

Zagreb, Miramarska 13 B 

tel. (01) 615 41 96, 6687382, 611 55 18 

fax (01) 611 55 18 

e-mail [email protected] 

Urednik 

Mr. sc. Hrvoje Zrn

č

i

ć

Recenzenti 

Prof. dr. sc. Ivica Picek 

Prof. An

đ

ela Gojevi

ć

ISBN 978-953-6904-28-0 

Copyright © Hrvoje Zrn

č

i

ć

Knjigu možete besplatno preuzeti samo za osobnu upotrebu, a ne smijete je 

stavljati na druge mrežne stranice, umožavati ili je koristiti za bilo koju 

komercijalnu svrhu.

SADRŽAJ 

PREDGOVOR

..................................................................................................................7 

VAŽNIJE FIZIKALNE KONSTANTE

................................................................8 

MEHANIKA

......................................................................................................................9 

JEDINICE ZA MJERENJE ....................................................................................................9 
GIBANJA DUŽ PRAVCA ...................................................................................................10 
OSNOVNI ZAKONI GIBANJA ..........................................................................................14 
IMPULS SILE I KOLI INE GIBANJA ..............................................................................15 
SLAGANJE I RASTAVLJANJE SILE ................................................................................16 
RAD, ENERGIJA, SNAGA..................................................................................................19 
SLOŽENA GIBANJA...........................................................................................................22 
JEDNOLIKO GIBANJE PO KRUŽNICI.............................................................................25 
INERCIJALNI I AKCELERIRANI SUSTAVI....................................................................26 
OP I ZAKON GRAVITACIJE............................................................................................27 
STATIKA KRUTOG TIJELA ..............................................................................................28 
ROTACIJA KRUTOG TIJELA............................................................................................30 
HIDROMEHANIKA I AEROMEHANIKA ........................................................................32 
PRIMJERI .............................................................................................................................34 
 

HARMONI

Č

KO TITRANJE I VALOVI

...........................................................42 

MEHANI KO TITRANJE...................................................................................................42 
MEHANI KI VALOVI........................................................................................................44 
PRIMJERI .............................................................................................................................47 
 

TOPLINA.....................................................................................................

49 

MOLEKULSKI SASTAV TVARI .......................................................................................49 
PROMJENA UNUTRAŠNJE ENERGIJE ...........................................................................50 
TOPLINSKO RASTEZANJE  VRSTIH TVARI ...............................................................52 
PROMJENE STANJA PLINA..............................................................................................53 
MEHANI KI RAD I UNUTARNJA ENERGIJA ...............................................................56 
PRIMJERI .............................................................................................................................57 

PREDGOVOR 

 
 
 
 Ovaj 

ć

e priru

č

nik prije svega korisno poslužiti svakom tko se želi 

pripremiti za polaganje razredbenog ispita na bilo kojem od fakulteta na 
kojem se polaže fizika. Uporaba ovog priru

č

nika i školskih udžbenika iz 

fizike za op

ć

u gimnaziju propisanih od fakulteta kao obavezna literatura u 

potpunosti je dovoljna da bi se uspješno položio svaki razredbeni ispit iz 
fizike.  
 Priru

č

nik je sastavljen tako da omogu

ć

uje brzo i kvalitetno savlada-

vanje gradiva. U prvom je dijelu priru

č

nika sažet i obra

đ

en teoretski dio 

gradiva redom po podru

č

jima. Na kraju svakog podru

č

ja dani su pažljivo 

odabrani primjereni zadaci. U drugom dijelu priru

č

nika prikazani su zadaci 

zajedno s pripadaju

ć

im rješenjima koji su se pojavljivali na prethodnim 

razredbenim ispitima. Iza svakog zadatka odnosno rješenja slijedi i prikaz 
kompletnog postupka s neophodnim pojašnjenjima kako se dolazi do rješe-
nja. Ono što je važno naglasiti je to da svi zadaci i iz prvog i iz drugog dijela 
priru

č

nika potje

č

u s razredbenih ispita proteklih godina.  

Gradivo je prikazano tako da se njegovom proradom steknu iskustva 

koja se ina

č

e stje

č

u na samim razredbenim ispitima. Stoga, na primjer, 

zadaci u drugom dijelu priru

č

nika nisu svrstani po nastavnim cjelinama 

odnosno podru

č

jima ve

ć

 su svrstani onako kako su dolazili na proteklim 

ispitima. 
 

Dakle, cilj je pružiti mogu

ć

nost onima koji to žele da što brže i kva-

litetnije ovladaju gradivom iz fizike za op

ć

u gimnaziju te steknu iskustveni 

osje

ć

aj kojime smanjuju strah od nepoznatog, tj. od razredbenog ispita.  

VAŽNIJE FIZIKALNE KONSTANTE 

NAZIV KONSTANTE 

SIMBOL  VRIJEDNOST KONSTANTE 

Brzina svjetlosti u vakuumu 

c 

2,9979·10

8

 ms

-1

≈

 3·10

8

 ms

-1

Permeobilnost vakuuma 

μ

0

4

π

·10

-7

 Nm

-1

Permitivnost vakuuma 

ε

0

8,854·10

-12

 C

2

N

-1

 m

-2

Elementarni elektri ni naboj 

e 

1,602·10

-19

 C 

Planckova konstanta 

h 

6,626·10

-34

 Js 

Gravitacijska konstanta 

G 

6,67·10

-11

 Nm

2

kg

-2

Avogadrov broj 

N

A

 6,02·10

23

 mol

-1

Masa elektrona 

m

e

 9,11·10

-31

 kg 

Masa protona 

m

p

 1,6726·10

-27

 kg 

Masa neutrona 

m

n

 1,675·10

-27

 kg = 1 u 

Plinska konstanta 

R 

8,314 JK

-1

 mol

-1

Rydbergova konstanta 

R 

1,097·10

7

 mol

-1

Faradayeova konstanta 

F 

9,65·10

4

 Cmol

-1

Stefan - Boltzmanova konstanta 

σ

5,67·10

-8

 Wm

-2

 K

-4

Akceleracija sile teže 

g 

9,80665 ms

-2 

≈

 9,81ms

-2

Srednji polumjer Zemlje 

6,37·10

6

 m 

Polumjer zemlje na ekvatoru 

6,378·10

6

 m 

Polumjer zemlje na polu 

6,357·10

6

 m 

Masa Zemlje 

5,96·10

24

 kg 

Polumjer Sunca 

6,95·10

8

 m 

Masa Sunca 

1,98·10

30

 kg 

Polumjer Mjeseca 

1,74·10

6

 m 

Masa Mjeseca 

7,33·10

22

 kg 

10 

GIBANJA DUŽ PRAVCA 
 
Srednja brzina  v  u vremenskom intervalu 

Δ

t je kvocijent dijela puta 

Δ

s , što ga tijelo 

prije

đ

e za to vrijeme i vremenskog intervala 

Δ

t: 

v

s

t

= Δ

Δ

 
Da bismo dobili trenutnu brzinu u nekoj to

č

ki moramo vremenski interval 

Δ

t u

č

initi što je 

mogu

ć

e manjim (neizmjerno malenim): 

v

v

s

t

t

t

=

=

→

→

lim

lim

Δ

Δ

Δ

Δ

0

0

Jedinica za brzinu je 

m

s

ms

=

−

1

. 

 
 
Jednoliko gibanje duž pravca 
 
To je takvo gibanje gdje je na svakom beskrajno malom dijelu puta kvocijent 

Δ

s/

Δ

t kon-

stantan, tj. to je takvo gibanje gdje je srednja brzina jednaka trenutnoj duž cijelog puta i 
konstantna: 

v

v

konst

= =

.

s

t

s

t

v

konst

1

1

2

2

=

= =

.  

Brzina je tada jednaka: 

v

s

t

=

a put (s) raste linearno s vremenom (t): 

s

v t

= ⋅

1
1 

 
 
Jednoliko ubrzano i jednoliko usporeno gibanje duž pravca

 
Kad gibanje nije jednoliko, brzina je u svakom trenutku druk

č

ija. 

Promijenu brzine odre

đ

ujemo srednjom akceleracijom ( a ). 

Srednja akceleracija je omjer razlike brzine 

Δ

v u nekom vremenskom intervalu 

Δ

t i tog 

vremenskog intervala: 
 

a

v

t

v

v

t

t

=

=

−
−

Δ

Δ

2

1

2

1

 
Jedinica za akceleraciju je (m/s

2

=ms

-2

). 

 
Jednoliko ubrzano gibanje

  duž pravca je takvo gibanje pri kojem je kvocijent 

Δ

v/

Δ

t 

konstantan za svaki 

Δ

v i odgovaraju

ć

i 

Δ

t, duž cijelog puta, tj. to je takvo gibanje gdje je 

akceleracija konstantna, a brzina jednoliko raste s vremenom: 
 

a

a

konst

= =

.

13 

To gibanje uzrokuje privla

č

na gravitacijska sila Zemlje. 

Brzina kod slobodnog pada iznosi: 

v

gs

=

2

 
a put ili visina s koje tijelo pada je jednaka: 
 

s

v

g

=

2

2

,  

s

g t

= ⋅

2

2

 
 
Gibanje uz po

č

etnu brzinu

 
Ako je tijelo imalo po

č

etnu brzinu (v

0

), pa po

č

elo ubrzavati, nakon vremena t njegova 

brzina iznosi: 
 

v

v

at

=

+

0

odnosno 

v

v

as

2

0

2

2

=

+

 
Put što 

ć

e ga tijelo prije

ć

i u vremenu t tada je jednak: 

s

v t

a t

=

+ ⋅

0

2

2

 
Ako se tijelo gibalo brzinom (v

0

) i po

č

elo usporavati akceleracijom (a), brzina 

ć

e nakon 

vremena t iznositi: 
 

v

v

a t

=

− ⋅

0

odnosno 

v

v

as

2

0

2

2

=

−

 
a put što 

ć

e ga tijelo prije

ć

i u vremenu t tada je jednak: 

s

v

t

a t

=

⋅ − ⋅

0

2

2

 
 
Nejednoliko gibanje

 
Gibanje kod kojeg se brzina nepravilno mijenja zove se nejednoliko gibanje. 
Funkcionalne veze a-t, v-t i s-t tog gibanja nisu pravilne linije. 

14 

OSNOVNI ZAKONI GIBANJA 
 
Ako na tijelo ne djeluje nikakva sila ili je rezultanta sila jednaka 0, tijelo miruje ili se giba 
jednoliko po pravcu (II Newtnov zakon). Zato kažemo da je tijelo tromo. Mjera tromosti 
tijela je masa tijela.  
Jedinica za masu u SI je kilogram. 
Kada na tijelo dijeluje stalna sila, tijelo se giba jednoliko ubrzano. 
Sila koja tijelo ubrzava akceleracijom (a) jednaka je (II Newtnov zakon): 
 

F

m a

= ⋅

 
Ta sila daje tijelu akceleraciju istog smjera kao i sila, proporcionalnu sili, a obrnuto propor-
cionalnu masi: 
 

a

F

m

=

 
Jedinica za silu je 1 N (1 njutn): 
 

1

2

N

kgms

=

−

 
Silu kojom Zemlja privla

č

i sva tijela nazivamo silom težom. Pod djelovanjem sile teže sva 

tijela padaju na Zemlju ili pritiš

ć

u na njenu površinu. Akceleracija kojom tijela padaju na 

Zemlju naziva se akceleracija slobodnog pada. 
Prema II Newtnovom zakonu: 
 

G=m·g 

 
Gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na 
istom mjestu na Zemlji jednaka. 
Akceleracija g mijenja se s promijenom zemljopisne širine i nadmorskom visinom. Zato se 
i sila teža mijenja promijenom zemljopisne širine i nadmorske visine mjesta na kojem se 
tijelo nalazi. 
Na 45° zemljopisne širine na morskoj površini g=9,80665 ms

-2

≈

 9,81 ms

-2

, što odgovara 

našim krajevima. 
Težina tijela

 (G

t

) je sila kojom tijelo zbog zemljina privlaženja djeluje na horizontalnu 

podlogu ili na ovjes. Za slu

č

aj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju 

jednoliko po pravcu s obzirom na Zemlju, težina tijela je po veli

č

ini jednaka sili teži: 

G

m g

t

= ⋅

 
Sila teža i težina su dvije sile razli

č

ite prirode. One djeluju na razli

č

ita tijela. Sila teža 

djelu-je na tijelo dok težina djeluje na podlogu na kojoj se tijelo nalazi ili rasteže nit na 
kojoj tijelo visi. 

16 

Za sustav od dva tijela možemo re

ć

i da je zbroj koli

č

ine gibanja obaju tijela prije njihovog 

me

đ

usobnog djelovanja jednak zbroju koli

č

ine gibanja tih dvaju tijela nakon njihovog 

me

đ

usobnog djelovanja. 

Dakle vrijedi: 

2

2

1

1

2

2

1

1

v

m

v

m

v

m

v

m

r

r

r

r

′

+

′

=

+

gdje su 

2

1

i v

v

r

r

 brzine masa m

1

 i m

2

 prije me

đ

u djelovanja (na pr. sudara) a 

2

1

i v

v

′

′

r

r

brzine masa m

1

 i m

2

 nakon me

đ

usobnog djelovanja. 

Kod malih brzina se može uzeti da je masa konstantna, dok kod velikih brzina se masa 
mijenja s brzinom. Ovisnost mase o brzini je izražena formulom: 

m

m

v

c

=

−

0

2

2

1

gdje je m

0

 masa tijela u mirovanju, m masa tijela pri brzini v (relativisti

č

ka masa) a c brzina 

svjetlosti. 
Drugi Newtonov zakon napisan u obliku: 

m

F

a

r

r

=

vrijedi za mnogo manje brzine od brzine svjetlost tj. za slu

č

aj m 

≈

 m

0

. 

Relativisti

č

ki izraz za koli

č

inu gibanja 

č

estice mase u mirovanju m

0

 i brzine v je: 

P

m v

v

c

=

−

0

2

2

1

SLAGANJE I RASTAVLJANJE SILA 

Djeluje li na materijalnu to

č

ku više sila (tzv. komponenata) njihovo djelovanje možemo 

zamijeniti jednom silom koju zovemo rezultanta: 

∑

=

=

+

+

+

=

n

i

i

n

F

F

...

F

F

F

R

1

3

2

1

r

r

r

r

r

r

Kada dvije ili više sila djeluju na istom pravcu u istom smjeru one se mogu zamijeniti 
rezultantnom silom koja djeluje u istom pravcu i ima isti smjer, a po veli

č

ini je jednaka 

zbroju veli

č

ina svih sila: 

2

1

F

F

R

r

r

r

+

=

17 

 
Ako dvije sile djeluju na zajedni

č

kom pravcu u suprotnim smjerovima, veli

č

ina rezultante 

je jednaka razlici veli

č

ina komponenata i ima smjer ve

ć

e sile: 

2

1

F

F

R

r

r

r

−

=

 
Kada na tijelo istovremeno djeluju u istoj to

č

ki dvije sile pod kutem, rezultantu dobijemo 

konstrukcijom paralelograma tako da na kraj djelovanja prve sile nanosimo smjer i veli

č

inu 

druge: 

 
Ako te dvije sile djeluju pod kutem od 90° rezultanta je i opet dijagonala dobijenog pravo-
kutnika (paralelograma), a njen broj

č

ani iznos dobijemo primjenom Pitagorinog teorema za 

pravokutni trokut: 

R

F

F

=

+

1

2

2

2

19 

sin

sin

sin

cos

α

α

α

α

=

=

= ⋅

= ⋅

= ⋅

= ⋅

G

G

h

l

G

G

G

h

l

G

G

G

a

l

1

1

2

 
Uvjet ravnoteže je da je vektorski zbroj svih sila koje djeluju na materijalnu to

č

ku jednak 

nuli: 
 

0

1

2

1

=

=

+

+

∑

=

n

i

i

n

F

F

...

F

F

r

r

r

r

 
 
RAD, ENERGIJA, SNAGA 
 
Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru puta, rad je jednak umnošku sile i prije

đ

enog puta: 

W

F S

= ⋅

 
Ako sila ne djeluje u smjeru puta ve

ć

 pod kutem 

α

 prema putu, tada samo komponenta sile 

u smjeru puta vrši rad, te je: 
 

W

F s

F s

s

=

⋅ = ⋅ ⋅

cos

α

20 

Ako je 0<

α

<

π

/2 rad je pozitivan, za 

α

=

π

/2 rad sile je nula , a za 

π

/2<

α

<

π

 rad je negativan. 

Jedinica za rad je joule (džul): 
 

1 J=1 N·1 m 

 
U F-s grafikonu rad je jednak površini ispod krivulje: 

Energija je sposobnost tijela da može vršiti rad i po koli

č

ini je jednaka koli

č

ini rada koje 

tijelo može izvršiti. 
Jedinica za energiju je ista kao i za rad tj. 1 J. 
Tijelo mase m i brzine v ima kineti

č

ku energiju:

E

mv

k

=

2

2

 
Potencijalnu energiju

 imaju tijela koja mogu vršiti rad zbog naro

č

ita položaja. U polju sile 

teže tijelo mase m ima potencijalnu energiju: 
 

E

mgh

p

=

22 

SLOŽENA GIBANJA 
 
Gibanje tijela je složeno ako tijelo istovremeno vrši dva ili više gibanja. 
Pri složenom gibanju vrijedi princip nezavisnosti gibanja koji kaže: 
Kad tijelo istodobno vrši dva (ili više) gibanja, giba se tako da se u svakom trenutku nalazi 
u to

č

ki do koje bi došlo kad bi najprije izvršilo samo jedno gibanje u odre

đ

enom vremen-

skom razmaku, a zatim neovisno od tog gibanja, drugo gibanje u jednakom vremenskom 
razmaku. Složena gibanja mogu biti pravocrtna (hitac prema dolje i vertikalni hitac prema 
gore) i krivocrtna (n. pr. horizontalni i kosi hitac). Tijelo koje izvodi gibanje sastavljeno je 
od dvaju jednolikih gibanja po pravcu, giba se jednoliko po dijagonali paralelograma: 
 
 

2

1

2

1

s

s

s

v

v

v

R

R

r

r

r

r

r

r

+

=

+

=

 
Hitac prema dolje

 je složeno gibanje sastavljeno od jednolikog gibanja vertikalno prema 

dolje i slobodnog pada. Brzina i put u trenutku t dani su izrazima: 
 

v=v

0

+g·t 

s

v t

g

t

=

+

0

2

2

 
Vertikalni hitac

 je složeno gibanje sastavljeno od jednolikog gibanja prema gore brzinom v

0

i slobodnog pada. 
Brzina i put u trenutku t dani su izrazima: 
 

v=v

0

-gt 

s

v t

g

t

=

−

0

2

2

23 

Najve

ć

a visina koju tijelo ispaljeno vertikalno u vis po

č

etnom brzinom v

0

 može posti

ć

i 

zove se domet (H): 

H

v

g

=

0

2

2

 
Na toj najve

ć

oj visini v=0, a vrijeme potrebno da tijelo postigne tu visinu zove se vrijeme 

uspinjanja. 

t

v

g

H

=

0

 
Vrijeme padanja jednako je vremenu uspinjanja; tijelo 

ć

e se vratiti brzinom koja je po izno-

su jednaka v

0

 ali suprotnog smjera, tj. brzinom -v

0

. 

Horizontalni hitac

 je složeno gibanje koje se sastoji od jednolikog gibanja u horizontalnom 

smjeru i slobodnog pada. Tijelo tada izvodi krivocrtno gibanje: 
 
 

 
 
Put u horizontalnom smjeru: 
 

x

v t

=

0

 
Put u vertikalnom smjeru: 
 

y

g

t

=

2

2

25 

Vrijeme uspinjanja: 
 

t

v

g

v

g

H

oy

=

=

0

sin

α

 
Domet hica (D): 
 

D

v

v

g

v

g

x

y

=

⋅

=

2

2

0

0

0

sin

α

 
Vrijeme trajanja hica 
 

t

t

v

g

v

g

H

oy

0

0

2

2

2

=

=

=

sin

α

 
 
Svi ovi ra

č

uni vrijede samo uz zanemariv otpor zraka. 

 
 
 
JEDNOLIKO GIBANJE PO KRUŽNICI 
 
To je takvo gibanje gdje je brzina konstantna po iznosu, ali stalno mijenja smjer, a oblik 
putanje je kružnica: 
 

 
Obodna ili linearna brzina jednaka je: 
 

v

R

T

=

2

π

 
gdje je R polumjer kružnice, a T ophodno vrijeme, tj. vrijeme potrebno da tijelo jedanput 
obi

đ

e kružnicu. 

26 

Promjenu smjera brzine uzrokuje centripetalna sila koja ima smjer prema središtu kružnice: 
 

F

mv

R

cp

=

2

 
ili 
 

F

m

R

T

cp

=

4

2

2

π

 
a ona tijelu daje centripetalnu akceleraciju: 
 

a

v

R

c

=

2

 
ili 
 

a

R

T

c

=

4

2

2

π

 
Umjesto vremena ophoda može se upotrebljavati i podatak koji govori koliko okretaja tijelo 
u

č

ini u jedinici vremena. To je frekvencija (f): 

f

T

=

1

 
Vrijeme ophoda (T) se mjeri u sekundama (s) a frekvencija (f) u hertzima (herc) - oznaka 
Hz: 
 

1

1

1

Hz

s

s

= =

−

 
Hertz je frekvencija periodi

č

ne pojeve kojoj period traje 1 s. 

 
 
INERCIJALNI I AKCELERIRANI SUSTAVI 
 
Osnovni zakoni mehanike vrijede s obzirom na koordinantni sustav koji miruje ili se giba 
jednoliko po pravcu. Takvi sustavi u kojima vrijede Newtonovi zakoni zovu se inercijalni 
sustavi. 

28 

gdje je G univerzalna gravitacijska konstanta i ima vrijednost G=6,67·10

-11

 m

3

 kg

-1

 s

-2

, a R 

je udaljenost izme

đ

u materijalnih to

č

aka. Taj zakon se još zove Op

ć

i zakon gravitacije

. 

Na tijelo koje se nalazi u blizini Zemljine površine djeluje vertikalno prema dolje sila teža 
G=m·

g

r

 koja je rezultanta gravitacijske i centrifugalne sile zbog vrtnje Zemlje oko svoje 

osi. U ve

ć

ini ra

č

una može se zanemariti utjecaj centrifugalne sile i uzeti da je sila teža 

jednaka gravitacijskoj sili. Tada je g jednak: 
 

g

G

M

R

ms

Z

Z

= ⋅

≈

−

2

2

9 81

,

 
Do razli

č

itih vrijednosti veli

č

ine g dolazi zbog spljoštenosti Zemlje i vrtnje oko vlastite osi. 

Na polovima je g=9,83 ms

-2

, na ekvatoru g=9,78 ms

-2

, a na 45° zemljopisne širine g=9,81 

ms

-2

. 

Ako se tijelo mase m nalazi na visini h iznad površine planeta polumjera R i mase M, 
gravitacijska sila je tada jadnaka: 
 

F

G

m M

R

h

= ⋅

⋅

+

(

)

2

 
a akceleracija slobodnog pada: 
 

g

G

M

R

h

h

= ⋅

+

(

)

2

 
 
STATIKA KRUTOG TIJELA 
 
Kruto tijelo je takvo tijelo koje pod djelovanjem sila ne mijenja svoj oblik. Hvatište sile se 
može mijenjati duž pravca djelovanja sile, a da se pri tome u

č

inak te sile ne promijeni. 

Moment 

M

r

 sile 

F

r

 s obzirom na os rotacije O (os je okomita na ravninu vrtnje i prolazi 

kroz to

č

ku 0)  

 
definiran je izrazom: 

29 

M=F·d 

 
gdje je d udaljenost pravca djelovanja sile od osi rotacije, tzv. krak sile. Jedinica za moment 
sile je Nm. 
Kruto tijelo je u ravnoteži ako je vektorski zbroj svih sila i zbroj momenta sile na to tijelo 
jednak nuli: 
 

∑

∑

=

=

i

i

i

i

M

F

0

0

r

r

 
Iz toga proizlazi da je, na primjer, dvostrana poluga: 
 

 
u ravnoteži kad je F

1

d

1

=F

2

d

2

, a jednostrana poluga: 

 
je u ravnoteži kad je F

3

d

3

=F

4

d

4

. 

Ako na slobodno kruto tijelo djeluju dvije sile koje su paralelne i u istom smjeru ali imaju 
razli

č

ita hvatišta: 

možemo ih zamijeniti njihovom rezultantom koja ima ova svojstva: 

31 

Veza izme

đ

u obodne (linearne) i kutne brzine: 

v

r

= ω

 
Ako tijelo rotira nejednoliko, uvodi se pojam kutne akceleracije 

α

: 

α = Δω

Δ

t

 
Za jednoliko promjenljivu rotaciju vrijede analogni izrazi izrazima za jednoliko 
promjenljivo gibanje po pravcu: 

a = r

α

 
gdje je: 
 

α =

=

Δω

Δ

t

konst.  

 
a za opisani kut 

ϕ

 vrijedi: 

ϕ α

ω α

=

= ⋅

2

2

t

t

 
Ako na tijelo djeluje stalan moment M, koji se još naziva zakretni moment, tijelo 

ć

e rotirati 

jednoliko ubrzano. 
Osnovni zakon rotacije pišemo: 
 

M=

α

·I  

 
ili 
 

α =

M

I

 
tj. kutna akceleracija rotacije je proporcionalna s momentom sile koja tijelo zakre

ć

e, a obr-

nuto je proporcionalna s momentom tromosti I tijela s obzirom na os rotacije. Moment tro-
mosti I je definiran izrazom: 
 

I

m r

m r

m r

m r

n

n

=

+

+

+ +

1

1

2

2

2

2

3

3

2

2

...

 
Jedinica za moment tromosti je kgm

2

. 

32 

Momenti tromosti nekih tijela: 
 

I=mr

2

I

mr

=

1

2

2

moment tromosti materijalne to

č

ke m u udaljenosti r od osi rotacije 

 
moment tromosti kružne plo

č

e polumjera r s obzirom na os koja 

prolazi okomito na plo

č

u kroz njeno središte 

I

mr

=

2

5

2

I

ml

=

1

12

2

moment tromosti kugle polumjera r s obzirom na os koja prolazi 
kroz središte 
 
moment tromosti štapa duljine l s obzirom na os koja prolazi kroz 
njegovu sredinu i okomita je na njegovu dužinu 

 
 
Kineti

č

ka energija tijela koje rotira kutnom brzinom 

ω

 je: 

E

I

k

= ω

2

2

 
Rad pri konstantnom zakretnom momentu je: 
 

W = M·

ϕ

 
Snaga pri rotaciji krutog tijela je: 
 

P = M·

ω

 
 
 
HIDROMEHANIKA I AEROMEHANIKA 
 
Tlak je kvocijent sile i površine na koju je ta sila okomito i jednoliko raspore

đ

ena: 

p

F

S

=

 
SI - jedinica za tlak je pascal (1 Pa=1 Nm

-2

).Tlak se još može izraziti jedinicom bar: 

1 bar=10

5

 Pa 

 
Hidrauli

č

ki tlak

 je vanjski tlak i on se prema Pascalovu zakonu širi na sve strane jedna-

ko.To se primjenjuje kod hidrauli

č

ke preše i dizalice:ako na manji klip površine S

1

 djeluje- 

mo silom F

1

, na drugom kraju preše, na ve

ć

em klipu površine S

2

 djelovat 

ć

e sila pritiska F

2

: 

34 

Ona kaže da je zbroj stati

č

kog tlaka p i dinami

č

nog tlaka 

ρ

v

2

/2 konstantan. Taj zbroj 

zovemo hidrodinami

č

kim tlakom. Taj zakon se može pisati i ovako: 

(

)

p

p

V

m v

m v

1

2

2

2

1

2

2

2

−

=

−

 
tj. rad što ga izvrši razlika tlakova pri gibanju teku

ć

ine utroši se na promjenu kineti

č

ke 

energije. 
Ako cijev nije horiziontalna Bernoullijeva jednadžba glasi: 
 

p

v

gh

p

v

gh

1

1

2

1

2

2

2

2

2

2

+

+

=

+

+

ρ

ρ

ρ

ρ

 
gdje su h

1

 i h

2

 visine promatranih presjeka u odnosu na neki referentni nivo. 

Ako idealni fluid istje

č

e iz posude kroz otvor koji se nalazi za visinu h ispod najvišeg nivoa 

teku

ć

ine, brzina istjecanja je: 

v

gh

=

2

RIJEŠENI PRIMJERI IZ PODRU

Č

JA MEHANIKA 

 
1. Duljina vala helijeve plave spektarne linije iznosi 4,471·10

-4

 mm. Izrazi taj podatak u 

centimetrima i metrima. 
 

λ

=4,471·10

-4

 mm 

λ

=? cm 

λ

=? m 

λ

=4,471·10

-4

 mm 

λ

=4,471·10

-4

·10

-1

 cm 

λ

=4,471·10

-5

 cm 

λ

=4,471·10

-4

 mm 

λ

=4,471·10

-4

·10

-3

 m 

λ

=4,471·10

-7

 m 

 
2. Koliko je sekundi optere

ć

en most duga

č

ak 80 m ako preko njega prolazi vlak duga

č

ak 80 

m brzinom 80 kmh

-1

? 

 
d

1

=80 m 

d

2

=80 m 

v=80 kmh

-1

=22,22 ms

-1

t=? 

t

s

v

d

d

v

m

m

ms

s

= =

+

=

+

=

−

1

2

1

80

80

22 22

7 2

,

,

Most je optere

ć

en od trenutka kad lokomotiva stupi na most pa do trenutka kada ga zadnji 

vagon ne napusti pa je s=d

1

+d

2

. 

35 

3. Automobil je prešao 4/10 puta brzinom 72 km/h, a ostali dio puta brzinom 54 km/h. 
Odredi srednju brzinu automobila. 
 
s

1

=4/10 s 

v

1

=72 kmh

-1

s

2

=6/10 s 

v

2

=54 km/h

-1

v

=? 

t

s

v

s

kmh

s

kmh

t

s

v

s

kmh

s

kmh

v

s

t

s

t

t

s

s

kmh

s

kmh

kmh

u

1

1

1

1

1

2

2

2

1

1

1

2

1

1

1

4

10 72

180

6

10 54

2

180

180

2

180

60

=

=

⋅

=

=

=

⋅

=

=

=

+

=

+

=

−

−

−

−

−

−

−

 
4. Vlak mase 4000 t vozi brzinom 36 km/h. Prije stanice zapo

č

inje jednoliko ko

č

iti. Sila 

ko

č

enja je 2·10

5

 N. Koliki put prije

đ

e vlak za vrijeme prve minute ko

č

enja? 

 
m=4000 t 
v

0

=36 kmh

-1

=10 ms

-1

F=2·10

5 

N 

t=1 minuta=60 s 
s=? 

F

m a

a

F

m

N

kg

ms

s

v

t

a t

ms

s

ms

s

m

= ⋅

=

=

⋅

⋅

=

=

⋅ − ⋅

=

⋅

−

⋅

=

−

−

−

2 10

4000 10

0 05

2

10

60

0 05

60

2

510

5

3

2

0

2

1

2

2

,

,

(

)

 
5. Tramvaj vozi brzinom 18 km/h. Na kojoj udaljenosti ispred semafora mora voza

č

 po

č

eti 

ko

č

iti ako mu je pri toj brzini za zaustavljanje potrebno 5 s? Pretpostavite da je ko

č

enje 

jednoliko. 
 
v

0

=18 km/h=5 ms

-1

v

1

=0 

Δ

t=5s 

s=? 

a

v

v

t

ms

ms

s

ms

s

v t

at

ms

s

ms

s

m

=

−

=

−

= −

=

−

=

⋅ −

⋅

=

−

−

−

−

−

1

0

1

1

2

0

2

1

2

2

0

5

5

1

2

5

5

1

25

2

12 5

Δ

,

 
6. Automobil se kre

ć

e brzinom 36 km/h. Koliki je put ko

č

enja ako je koeficijent trenja 0,3? 

 
v=36 kmh

-1

=10ms

-1

μ

=0,3 

s=? 

F

tr

=F

ko

μ

·m·g=m·a 

a=

μ

·g=0,3·9,821 ms

-2

=2,943 ms

-2 

s

v

a

ms

ms

m

=

=

⋅

=

−

−

2

1 2

2

2

10

2 2 943

16 98

(

)

,

,

37 

11. Lift mase 10 t spušta se jednoliko ubrzano u rudnik. Ako je napetost užeta 90 KN, 
ubrzanje lifta je: 
m=10 t 
F

N

=90 KN 

a=? 

F

N

=G-m·a 

F

N

=m·g-m·a 

a

mg

F

m

kg

ms

N

kg

ms

N

=

−

=

⋅

⋅

−

⋅

⋅

=

−

−

10 10

9 81

90 10

10 10

0 81

3

2

3

3

2

,

,

 
12. Predmet mase 0,5 kg jednoliko klizi uslijed trenja niz kosinu s kutom nagiba 30°. Koli-
kom silom treba djelovati na tijelo u smjeru gibanja, da bi se jednoliko uspinjalo istom 
brzinom? 
 
m=0,5 kg 

α

=30° 

F=? 

sin

sin

sin

,

,

,

α

α

=

= ⋅

=

⋅

=

⋅

⋅ =

−

F

G

F

G

mg

kg

ms

N

30

0 5

9 81

1

2

2 45

2

o

Da bi se uz trenje tijelo jednoliko uspinjalo ukupna sila je 
jednaka 2F: 
 
F

u

=2·F=2·2,45N=4,9N 

 
13. 

Č

amac je upravljen prelazio preko rijeke pod kutom od 90° u odnosu na smjer njenog 

toka. Brzina 

č

amca prema vodi je 5 ms

-1

, a brzina toka rijeke je 2 m/s. Najkra

ć

a udaljenost 

me

đ

u obalama jest 200 m. Od jedne do druge obale 

č

amac plovi: 

α

=90° 

v

č

=5 ms

-1

v

r

=2 ms

-1

d=200 m 
t=? 
 

v

v

v

m s

m s

ms

v v

s d

s

v d

v

ms

m

ms

m

t

s

v

m

ms

s

r

=

+

=

+

=

=

= ⋅ =

⋅

=

= =

=

−

−

−

−

−

−

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

4

25

29

29

200

5

40 29

40 29

29

40

~

~

~

:

:

 
14. Njihalo ima nit dugu 1m, a masu 1 kg. Kroz ravnotežni polažaj masa njihala prolazi 
brzinom 1 m/s. Napetost niti u tom trenutku je: 

38 

l=1 m=R 
m=1 kg 
v=1 ms

-1

F

N

=? 

F

G

F

mg

mv

R

kg

ms

kg m s

m

F

N

N

ef

N

= +

=

+

=

⋅

+

⋅

=

−

−

2

2

2

2

1

9 81

1

1

1

10 81

,

,

 
15. Kamen mase 0,5 kg ispušten s visine od 10 m. Prilikom udara u zemlju kamen je imao 
brzinu 12 m/s. Koliki rad je utrošen na savladavanje trenja u zraku? Uzmite g=10 ms

-2

. 

 
m=0,5 kg 
h=10 m 
v=12 ms

-1 

W=? 

W

E

 J

p

=

−

=

−

=

⋅

⋅

−

⋅

=

−

−

E

mgh

mv

W

kg

ms

m

kg

ms

k

2

2

1 2

2

0 5

10

10

0 5

12

2

14 0

,

,

(

)

,

 
16. Tijelo mase 1 kg palo je s neke visine za vrijeme od 5 s. Njegova kineti

č

ka energija pri 

udaru o tlo iznosila je: 
 
m=1 kg 
t=5 s 
E

k

=? 

v=g·t=9,81 ms

-2

·5 s=49,05 ms

-1 

E

mv

kg

ms

J

k

=

=

⋅

=

−

2

1 2

2

1

49 05

2

1202 95

(

,

)

,

 
17. Kamen je ba

č

en vertikalno uvis na visinu 5 m. Do koje bi visine došao kamen da je bio 

izba

č

en dvostrukom po

č

etnom brzinom? Otpor zraka zanemarujemo. 

 
s

1

=5 m 

v

2

=2v

0

s

2

=? 

s

v

g

s

s

v

g

v

g

v

v

v

v

s

s

m

m

=

=

=

= /

/

=

= ⋅

=

2

2

1

2

2

0

2

2

2

0

2

0

2

0

2

2

1

2

2

2

4

4

4 5

20

 
18. Dizalo se penje ubrzanjem 2 ms

-2

. Na podu kabine dizala nalazi se teret mase 10 kg. 

Kolikom silom pritiš

ć

e teret na pod kabine? 

 
a=2 ms

-2

m=10 kg 
F

p

=? 

  F

p

=G+ma=mg+ma=m(g+a)=10kg (9,81ms

-2

+2ms

-2

) =118,1 N 

 
19. Žlijeb je savijen u obliku kruga polumjera 1 m i leži u vertikalnoj ravnini. Kojom 
minimalnom brzinom treba gurnuti sitno tijelo iz položaja ravnoteže da bi napravilo puni 
krug? (Trenje tijela o žlijeb zanemarite, za ubrzanje sile teže uzmite 9,81 ms

-2

) 

40 

23. Tijelo mase 0,5 kg i gusto

ć

e 4·10

3

 kgm

-3

 visi na koncu tako da je uronjeno u teku

ć

inu 

gusto

ć

e 1,5·10

3

 kgm

-3

. Napetost niti iznosi? 

 
m=0,5 kg 

ρ

=4·10

3

 kgm

-3

ρ

t.

=1,5·10

3

 kgm

-3

F

N

=? 

F

G

F

m g

V

g

m g

m

g

F

m g

g

F

kg

ms

kgm

kgm

ms

F

N

N

u

tij

t

tij

t

N

t

tij

N

N

= −

= ⋅ −

⋅ ⋅ = ⋅ −

⋅ ⋅

=

−

⋅

⎛
⎝

⎜⎜

⎞
⎠

⎟⎟

=

−

⋅

⋅

⋅

⎛
⎝

⎜⎜

⎞
⎠

⎟⎟

=

−

−

−

−

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

0 5

9 81

1 5 10

4 10

9 81

3 07

2

3

3

3

3

2

,

,

,

,

,

 
24. Kota

č

 koji se vrti s 480 okretaja u minuti po

č

inje se zaustavljati jednoliko usporeno. 

Koliki je ukupni broj okretaja kota

č

a ako se zaustavi u vremenu od 0,5 minuta? 

ν

=480 min

-1

Δ

t=0,5 min 

N=? 

N

t

t

t

=

=

= ⋅ = ⋅ =

⋅

=

−

ρ

π

α

π

ω

π

ν

2

4

4

2

480

0 5

2

120

2

1

min

, min

 
25. Širim djelom vodoravno položene cijevi struji voda brzinom 4 m/s. Razlika tlakova ši-
reg i suženog dijela cijevi iznosi 8·10

3

 Pa, te brzina proljevanja u užem dijelu cijevi iznosi: 

 
v

1

=4 ms

-1

p

1

-p

2

=8·10

3

 Pa 

v

2

=? 

Iz Bernoullijeve jednadžbe proizlazi: 

p

v

p

v

v

p

p

v

v

p

p

v

kgm

Pa

m s

v

m s

ms

1

1

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

3

3

3

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

10

8 10

16

32

5 65

+

=

+

=

−

+

=

−

+

=

⋅ ⋅

+

=

=

−

−

−

−

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

(

)

,

 
26. Sa stupa visokog 20 m izba

č

en je horizontalno kamen po

č

etnom brzinom 10 m/s. u 

kojoj 

ć

e udaljenosti od stupa pasti na zemlju 

 
h=20 m 
v

0

=10 ms

-1

x=? 

h

g

t

t

h

g

x

v

t

v

h

g

ms

m

ms

m

=

⇒

=

=

⋅ =

⋅

=

⋅

⋅

=

−

−

2

2

2

10

2 20

9 81

20 2

2

0

0

1

2

,

,

41 

27. Kolikom brzinom izlazi mlaz vode iz otvora cijevi ako se taj mlaz penje vertikalno do 
visine 4,1 m. Zanemarite gubitak zbog trenja? 
 
h=4,1 m 
v=? 
 

Sva kineti

č

ka energija mlaza se pretvorila u potencijalnu. 

mv

mgh

v

gh

ms

m

ms

2

2

1

2

2

2 9 81

4 1

8 968

=

=

=

⋅

⋅

=

−

−

,

,

,

43 

gdje je x - elongacija, a k tzv. konstanta opruge odnosno konstanta opiranja izražava se u 
Nm

-1

. Sila je proporcionalna elongaciji, ali je suprotnog smijera.  

Izraz za period titranja je: 

T

m

k

=

2

π

 
 
Titranje sjene materijalne to

č

ke koja se giba jednoliko po kružnici 

 
Kad se materijalna to

č

ka giba jednoliko po kružnici, njena sjena titra harmoni

č

ki. Pri tome 

je kutna brzina to

č

ke jednaka kružnoj frekvenciji titranja, a ophodno vrijeme to

č

ke jednako 

je periodu titranja projekcije te to

č

ke. 

Jednadžba harmoni

č

kog titranja je: 

x

A

T

t

A

t

=

⋅ +

⎛
⎝⎜

⎞
⎠⎟

=

⋅ +

sin

sin(

)

2

0

0

π

ϕ

ω

ϕ

gdje je: 
 

x - elongacija 

A - amplituda (maksimalna elongacija) 

ω

t+

ϕ

0

 - faza titranja u trenutku t 

ϕ

0

 - faza titranja u trenutku t=0 

Brzina to

č

ke koja harmoni

č

ki titra je: 

v

k

m

A

x

f A

x

=

−

=

−

(

)

2

2

2

2

2

π

 
Akceleracija to

č

ke koja harmoni

č

ki titra je: 

a

T

x

f x

= −

⋅ = −

4

4

2

2

2

2

π

π

44 

Period harmoni

č

kog titranja je jednak: 

T

m

k

mx

F

=

=

2

2

π

π

 
 
Matemati

č

ko njihalo

 
Matemati

č

ko njihalo se sastoji od to

č

kaste mase obješene na nerastezljivu nit zanemarive 

mase. Za male amplitude to njihalo titra periodi

č

ki s periodom: 

T

l

g

=

2

π

 
gdje je l duljina njihala, a g akceleracija slobodnog pada. 
 
 
MEHANI

Č

KI VALOVI 

 
Val je širenje titraja iz izvora vala kroz neko sredstvo. Kad se energija titranja prenosi 
okomito na smjer širenja valova govorimo o transverzalnim valovima, a kad se energija 
titranja prenosi u pravcu širenja vala govorimo o longitudinalnim valovima. 
Valna duljina (

λ

) je udaljenost izme

đ

u dviju najbližih to

č

aka vala koje titraju u istoj fazi, tj. 

to je udaljenost za koju se val proširio dok 

č

estica u izvoru napravi jedan puni titraj: 

λ = ⋅ =

v T

v

f

 
Jednadžba vala govori o elongaciji to

č

ke koja je udaljena za x od izvora vala, ako se val 

giba brzinom v i pozitivnom smjeru osi x: 
 

y x t

A

t

T

x

( , )

sin

=

⋅ − ⋅

⎛
⎝⎜

⎞
⎠⎟

2

2

π

π

λ

gdje je A amplituda vala, a 

2

π

λ

⋅

x

 zaostatak u fazi neke to

č

ke na udaljenosti x od izvora 

vala. 
Razlika u fazi (

Δϕ

) dviju 

č

estica koje titraju na udaljenostima x

1

 i x

2 

od izvora vala dana je 

izrazom: 
 

Δϕ =

−

2

1

2

π

λ

x

x

46 

Brzina zvuka u 

č

vrstim tijelima je: 

v

E

=

ρ

 
gdje je E Youngov modul elasti

č

nosti, a 

ρ

 gusto

ć

a sredstva. 

 
 
Dopplerov efekt

 
Ako se neki izvor valova i opaža

č

 me

đ

usobno približavaju 

č

ini se da se frekvencija izvora 

pove

ć

ava odnosno smanjuje kad se izvor i opaža

č

 me

đ

usobno udaljuju. To je Dopplerov 

efekt. 
Kod valova zvuka mijenja se i visina tona koji opaža

č

č

uje. Visina tona ovisi o broju valnih 

duljina koje u 1 sekundi dopru do našeg uha. 
Ako je 

ν

 prava frekvencija izvora, 

ν

' frekvencija koju prima uho, v

z

 brzina zvuka, a v brzi-

na tijela koje se giba mogu

ć

a su dva slu

č

aja: 

 
a) opaža

č

 se giba prema mirnom izvoru zvuka i tada je frekvencija: 

′ =

±

⎛
⎝

⎜

⎞
⎠

⎟

ν

ν

1

v

v

z

 
gdje pozitivni predznak ozna

č

ava približavanje, a negativni udaljavanje od izvora 

 
b) izvor zvuka se giba u odnosu prema mirnom opaža

č

u i tada je frekvencija: 

′ = ⋅

ν

ν

1

1 m

v

v

z

 
I ovdje pozitivni i negativni predznak ozna

č

uju približavanje odnosno udaljavanje od 

opaža

č

a. 

47 

RIJEŠENI PRIMJERI IZ PODRU

Č

JA HARMONI

Č

KO TITRANJE I 

VALOVI 

 
 
1. Period titranja matemati

č

kog njihala je 3,6 s. Odredite vrijeme potrebno da se njihalo od 

ravnotežnog položaja udalji za pola amplitude. 
 
T=3,6 s 
x=A/2 
t=? 

x

A

t

A

A

t

T

t

T

t

T

T

t

T

s

s

=

=

⋅

⋅ =

⋅ =

=

=

=

sin

sin

sin

,

,

ω

π

π

π

2

2

2

1

2

2

6

12

3 6

12

0 3

 
2. Na oprugu konstante elasti

č

nosti 10 Nm

-1

, koja slobodno visi objesimo uteg mase 0,1 kg. 

Kolika 

ć

e biti maksimalna brzina utega? 

 
k=10 Nm

-1

m=0,1 kg 
v

max

=? 

G

k x

x

G

k

m g

k

A

maksima

a elongacija

v

A

T

ako je

T

m

k

v

A

m

k

A

m

k

m g

k

m

k

kg

ms

Nm

kg

Nm

v

ms

= − ⋅

=

=

⋅ = −

=

⋅

=

⇒

=

⋅

=

=

⋅ =

⋅

=

−

−

−

−

ln

,

,

,

,

2

2

2

2

0 1

9 81

10

0 1

10

0 981

2

1

1

1

π

π

π

π

 
3. Duljina sekundnog njihala (tj. onog s poluperiodom 1s) iznosi na ekvatoru (g=9,72 ms

-2

): 

 
T/2=1 s 
g=9,72 ms

-2

l=? 

T

l

g

l

T

g

s

ms

m

=

=

⋅ =

⋅

⋅

=

−

2

4

2

9 72

4 3 14

0 985

2

2

2

2

2

π

π

(

)

,

,

,

49 

TOPLINA 

 
 
 
MOLEKULSKI SUSTAV TVARI 
 
Sva tijela u prirodi se sastoje od atoma i molekula. Atomi su najsitnije 

č

estice neke tvari 

koje se kemijskim reakcijama ne mogu pojednostavniti. Molekule su skupine kemijski 
vezanih atoma, a imaju ista kemijska svojstva kao i sama tvar koju 

č

ine. Veli

č

ina atoma ili 

molekule je reda veli

č

ine 10

-9

 m, a masa reda veli

č

ine 10

-27

 kg. Osim kg za izražavanje 

mase atoma i molekula 

č

esto upotrebljavamo unificirane atomsku jedinicu mase (u): 

1 u=1,66·10

-27

 kg 

a to je 

1

12

 mase atoma ugljika 

6

12

C

. 

Relativna atomska masa (A

r

) je broj koji pokazuje koliko je puta masa nekog atoma ve

ć

a 

od atomske jedinice mase. Jednako tako relativna molekulska masa (Mr) pokazuje koliko je 
puta masa neke molekule ve

ć

a od unificirane atomske jedinice mase. 

Koli

č

ina tvari se izražava jedinicom koju se naziva mol. Jedan mol je koli

č

ina tvari sustava 

koji sadrži toliko osnovnih 

č

estica koliko ima atoma 0,012 kg ugljika izotopa 

6

12

C . 

Molarna masa (M) je masa jednog mola neke tvari: 
 

M

m

n

=

 
gdje je M molarna masa, m masa tvari, a n broj molova.  
Broj jedinki u jednom molu zove se Avogadrov broj: 
 

N

mol

A

=

⋅

−

6 023 10

23

1

,

 
Jedan mol bilo koje tvari sadrži isti broj jedinki (molekula, atoma, iona). 
Volumen 1 mola bilo kojeg plina pri normiranim uvijetima (273 K, 101 325 Pa) jednak je 
2,24·10

-2

 m

3

. 

Jednaki volumeni razli

č

itih plinova izmjereni pri jednakom tlaku i temperaturi sadrže isti 

broj molekula (Avogadrov zakon). 
Kada na 

č

vrsto tijelo djeluje sila mijenja se položaj njegovih molekula, a time i oblik tijela. 

Za najjednostavniju deformaciju tog tijela - istezanje vrijedi Hookeov zakon: 
 

ε = ⋅

1

E

P  

 
gdje je E Youngov modul elesti

č

nosti, 

ε

=

Δ

l/l relativno produljenje, a p=F/S sila na jedinici 

presjeka ili napetost. 

50 

Sile me

đ

u molekulama uzrokuju napetost površine i kapilarnost. Koeficijent napetosti 

površine 

σ

 je dan izrazom: 

σ = Δ

Δ

W

S

 
gdje je 

Δ

W izvršen rad pri pove

ć

anju površine 

Δ

S. 

Koeficijent površinske napetosti 

σ

 je jednak i omjeru sile i duljine na koju ta sila okomito 

djeluje: 
 

σ =

F

l

2

 
 
PROMJENA UNUTRAŠNJE ENERGIJE 
 
Unutrašnja energija tijela je zbroj kineti

č

ke energije gibanja svih molekula tijela i potenci-

jalne energije njihova me

đ

udjelovanja. 

Temperaturtra (T) je mjera za srednju kineti

č

ku energiju toplinskog gibanja molekula i što 

je kineti

č

ka energija ve

ć

a, to je temperatura ve

ć

a. Jedinica za temperaturu je kelvin (K). 

Veza izme

đ

u apsolutne temperature T izražene Kelvinima i temperature t izražene u Celzi-

jusovim stupnjevima je: 
 

T

K

t

C

=

+

273 15

,

o

 
Unutarnju energiju tijela ili sustava tijela možemo promijeniti na dva na

č

ina, me

đ

usobnim 

dodirom dvaju tijela razli

č

itih temperatura i mehani

č

kim radom: 

Δ

U=Q+W 

 
gdje je 

Δ

U promjena unutrašnje energije, Q toplina, a W mehani

č

ki rad. 

Rad W može biti pozitivan ili negativan, ovisno o tome vršimo li rad nad tijelom ili tijelo 
vrši rad. 
Ako se unutrašnja energija tijela mijenja samo zato što su u dodiru dva tijela razli

č

itih 

temperatura (W=0) onda je W=Q.  
Toplina

 Q je dio unutrašnje energije tijela koja prolazi s jednog tijela na drugo zbog razlike 

temperatura tih tijela. Toplina i unutrašnja energija se mjere džulima (J). 
Pri zagrijavanju i hla

đ

enju primljena odnosno predana koli

č

ina topline je: 

Q=mc

Δ

T 

 
gdje je c specifi

č

ni toplinski kapacitet, m masa tijela a 

Δ

T=T

2

-T

1

 promjena temperature. 

52 

Toplina isparavanja

 je koli

č

ina topline koja se troši (ili osloba

đ

a) pri isparavanju odnosno 

kondenzaciji: 
 

Q=m·r 

 
gdje je m masa tijela, a r specifi

č

na toplina isparavanja. 

Toplina izgaranja

 je koli

č

ina topline koja se osloba

đ

a pri potpunom izgaranju goriva mase 

m i specifi

č

ne topline izgaranja q: 

Q=m·q 

 
Korisnost grija

č

a (toplinskog stroja) je dana omjerom iskorištene topline Q

k

 i ukupno 

ulpžene topline Q

u

: 

η =

⋅

Q

Q

k

u

100%

 
 
TOPLINSKO RASTEZANJE 

Č

VRSTIH TVARI I TEKU

Ć

INA 

Č

vrste tvari se zagrijavanjem rastežu, a hla

đ

enjem stežu. Koeficijent linearnog rastezanja 

β

je definiran: 
 

β =

−

⋅

l

l

l

t

t

0

0

 
gdje je l

0

 duljina tijela (štapa, cijevi) pri 0 °C, l

t

 duljina tijela na t °C. 

Jedinica za koeficijent linearnog rastezanja je K

-1

. 

Duljina tijela nakon zagrijavanja l

t

 je: 

l

t

=l

0

(1+

β

t) 

 
Kad su kod 

č

vrstog tijela sve dimenzije podjednako izražene govorimo o kubnom rasteza-

nju. 
Neka tijelo kod 0 °C ima volumen V. Povisimo li tijelu temperaturu za t (od 0 °C do t °C) 
njegov 

ć

e se volumen pove

ć

ati za: 

Δ

V=

α

t·V

0 

α

 - je koeficijent volumnog (kubnog) rastezanja: 

α

β

=

−

⋅

≈

V

V

V

t

t

0

0

3  

53 

Kod temperature t tijelo 

ć

e prema tome imati volumen: 

V

t

=V

0

(1+

α

t) 

 
Ovaj izraz vrijedi i za teku

ć

ine i za šuplja 

č

vrsta tijela. 

Gusto

ć

a tijela na temperaturi t iznosi: 

ρ

ρ

α

t

t

=

+ ⋅

0

1

 
 
PROMJENA STANJA PLINA 
 
Model idealnog plina predpostavlja da su molekule plina materijalne to

č

ke koje nemaju 

volumena i me

đ

u kojima nema me

đ

umolekularnih sila. Fizi

č

ko stanje takvog idealnog 

plina je opisano trima veli

č

inama: volumenom (V), tlakom (p) i temperaturom (T). Mijenja 

li se jedna od tih triju veli

č

ina, promijenit 

ć

e se bar jedna od preostale dvije. 

Tlak plina uzrokuju sudari molekula plina na stijenkama posude, pa taj tlak ovisi o broju 
molekula u jedinici volumena i o njihovoj kineti

č

koj energiji: 

P

N

V

m v

N

V

E

m

k

=

=

2

3

2

2

3

2

 
gdje je N broj molekula u volumenu V, m

m

 masa molekule plina i  v

2

 srednja vrijednost 

kvadrata brzine molekula. 
Apsolutna temperatura T povezana je s gibanjem molekula plina relacijom: 
 

T

N

nR

E

N

R

E

k

A

k

2

3

2

3

=

 
gdje je R plinska konstanta, n broj molova plina, a N

A

 Avogadrov broj. 

Izotermna promjena stanja plina

 je takova promjena kod koje temperatura ostaje stalna, a 

promjenu tlaka i volumena opisuje Boyle - Mariotteov zakon: 
 
 t=konst. 

     p

1

V

1

=p

2

V

2

=konst. 

Kod konstantne temperature uz porast tlaka, volumen plina pada i obrnuto. 

55 

Jednadžba stanja plina 
 
Povezanost sva tri parametra koji opisuju stanje plina (volumen, tlak i temperatura) može-
mo izraziti zakonom u kojem su sadržana sva tri plinska zakona. To je jednadžba stanja 
plina: 
 

p V

T

p V

T

1

1

1

2

2

2

=

 
ili kra

ć

e: 

p V

T

konst

⋅ =

.

 
Promatra li se koli

č

ina plina od 1 mol, 

č

iji je volumen V

m

 dobija se: 

p V

T

p V

T

m

m

⋅

=

0

0

0

 
p

0

 = 101 325 Pa 

V

om

 = 2,24·10

-2

 m

3

T

0

 = 273,15 k 

p V

T

R

JK

mol

m

0

0

0

1

1

8 314

= =

−

−

,

 
Jednadžba tada poprima oblik: 
 

p·V

m

=RT 

 
Ako promatramo koli

č

inu od n molova plina jednadžba glasi: 

p·V=nRT 

 
Promatramo li smjesu od nekoliko plinova, ukupni 

ć

e tlak biti jednak zbroju parcijalnih 

tlakova pomiješanih plinova. 
Tlak smjese je: 
 

p=p

1

+p

2

+p

3

+... 

 
gdje su p

1

, p

2

, p

3

 tlakovi pojedinih plinova. 

Parcijalni tlak plina je tlak što bi ga imala jedna od pomiješanih koli

č

ina plina kad bi sama 

ispunila 

č

itav prostor u kojem se nalazi smjesa. 

56 

MEHANI

Č

KI RAD I UNUTRAŠNJA ENERGIJA 

 
Unutrašnja energija sustava se može promijeniti dovo

đ

enjem (odvo

đ

enjem) topline kao i 

obavljanjem rada. Prema prvom zakonu termodinamike je: 
 

Δ

U=Q+W 

 
gdje je 

Δ

U promjena unutrašnje energije, Q dovedena (odvedena) koli

č

ina topline, a W 

obavljeni rad. 
Plin pri širenju obavlja rad. Taj rad ovisi o vrsti procesa kojim se plin rasteže. Pri izobar-
nom širenju (p=konst.) pri tlaku p od volumena V

1

 do volumena V

2

 rad je jednak: 

W=p(V

2

-V

1

) 

 
Pri izohornom procesu (V=konst.) plin se ne širi, te je i rad nula. 
Pri adijabatskom procesu (Q=0, nema izmjene topline s okolinom) pa se rad obavlja na 
ra

č

un smanjenja unutrašnje energije. 

W=-

Δ

U 

Pri izotermnom procesu (T=konst.) nema promijene unutrašnje energije (

Δ

U=0) te se sva 

dovedena toplina pretvara u rad W=Q. 
U p-V dijagramu rad je jednak površini ispod krivulje. Korisnost idealnog toplinskog stroja 
(Carnotova) je: 
 

η =

=

−

=

−

W

Q

Q

Q

Q

T

T

T

2

2

1

2

2

1

2

 
gdje je Q

2

 dovedena toplina, Q

1

 toplina predana hladnijem spremniku, T

2

 temperatura topli-

jeg, a T

1

 temperatura hladnijeg spremnika. 

Kod toplinskih strojeva dio unutrašnje energije plinova ili para (radnog tijela) se pretvara u 
rad. To je mogu

ć

e samo ako postoji razlika temperatura spremnika izme

đ

u kojih kruži 

radno tijelo. 
Za vrijeme jednog kružnog procesa radno tijelo primi od toplijeg spremnika toplinu Q

2

 i 

preda hladnijem spremniku toplinu Q

1

. Promjena topline Q

2

-Q

1

 je rad što ga je radno tijelo 

izvršilo. 
Korisnost 

η

 nekog toplinskog stroja govori o tome koliki je dio topline dobivene od topli-

jeg spremnika prešao u mehani

č

ki rad. 

58 

6. U automobilskoj gumi nalazi se zrak pod tlakom 6·10

5

 Pa kod 293 K. Dok se auto giba, 

temperatura u gumi poraste na 308 K. Za koliko se pove

ć

a tlak plina u gumi, ako je volu-

men zraka konstantan? 

p=6·10

5

 Pa 

T

1

=293 K 

T

2

=308 K 

Δ

p=? 

Δ

Δ

p

p

p

p

T

T

p

Pa

K

K

Pa

p

Pa

Pa

Pa

=

−

=

⋅

−

= ⋅

⋅

− ⋅

=

− ⋅

=

⋅

=

⋅

2

1

1

1

2

1

5

5

5

5

4

6 10

308

293

6 10

6 307

6 10

0 307 10

3 07 10

( ,

)

,

,

 
7. U zatvorenoj posudi volumena 10 l nalazi se 0,5 mola vodika. Koliki 

ć

e biti izvršeni rad 

ako ga zagrijemo od 0°C do 100°C? 

V=10 l=10·10

-3

 m

3

n==0,5 mol 
t

1

=0°C 

t

2

=100°C 

W=? 

  W=p

Δ

V=0  

jer nema promijene volumena. 

 
8. Posudu koja sadrži 5 litara zraka pri normalnom tlaku sjedinimo s potpuno praznom 
(vakuum) posudom 4,5 litara. Koliki je kona

č

ni tlak zraka, ako je proces izoterman 

(T=konst.)? 

p

1

=101 325 Pa 

V

1

=5 l=5·10

-3

 m

3 

V

2

=(5+4,5) l=9,5·10

-3

 m

3

p

2

=? 

p V

p V

p

p V

V

Pa

m

m

Pa

1

1

2

2

2

1

1

2

3

3

3

3

101325

5 10

9 5 10

53329

=

=

=

⋅ ⋅

⋅

=

−

−

,

 
9. Elektri

č

nim ronilom snage 1 Kw zagrijavamo tri minute vodu mase 2 kg. Za koliko 

ć

e se 

pri tom povisiti temperatura vode ako nema toplinskih gubitaka? Specifi

č

ni toplinski kapa-

citet vode iznosi 4190 Jkg

-1

 K

-1

. 

P=1 kW=10

3

 W 

t=3 min=180 s 
m=2 kg 

Δ

T=? 

W

Q

P t

mc T

T

p t

mc

W

s

kg

Jkg

K

K

=

⋅ =

= ⋅ =

⋅

⋅

=

−

−

Δ

Δ

10

180

2

4190

21 47

3

1

1

,

 
10. U aluminijskoj plo

č

i napravljen je kružni otvor polumjera 2,5 cm na temperaturi 20°C. 

Koliko 

ć

e iznositi polumjer otvora na temperaturi 200°C? Koeficijent linearnog rastezanja 

aluminija je 24·10

-6

 K

-1

. 

 
l

t

=2,5 cm 

t=20°C=293 K 
t

2

=200°C=473 K 

l

2

=? 

l

l

t

l

l

t

t

t

=

+

=

+

0

0

1

1

(

)

α

α

59 

l

l

t

l

t

t

l

cm

K

K

K

cm

t

2

0

2

2

2

6

1

6

1

1

1

2 5

1 24 10

293

1 24 10

473

2 51

=

+

=

+

+

=

+

⋅

⋅

⋅ +

⋅

⋅

=

−

−

−

(

)

(

)

,

(

)

,

α

α

α

 
11. Nakon koliko 

ć

e vremena iz kalorimetra ispariti 100 g vode ako je u kalorimetar uro-

njen grija

č

 snage 1000 W? Po

č

etna masa vode u kalorimetru bila je 2000 g, a njena tempe-

ratura iznosila 20°C. (Specifi

č

ni toplinski kapacitet vode je 4190 Jkg

-1

K

-1

, a specifi

č

na 

toplina isparavanja vode je 2,26·10

6

 Jkg

-1

.) 

 
m=100 g=0,1 kg 
P=1000 W 
m

1

=2000 g=2 kg 

t

1

=20°C 

c=4190 Jkg

-1

 K

-1

r=2,26·10

6

 Jkg

-1

t

2

=100°C 

t=? 

Grija

č

 mora prvo zagrijati svu vodu do vrenja, a tek 

onda 

ć

e nastupiti isapravanje. 

W

Q

Q

P t

m c t

mr

t

m c T

mr

P

t

kg

Jkg

K

K

kg

Jkg

W

t

s

s

r

= +

⋅ =

+

=

+

=

⋅

⋅

+

⋅

⋅

=

+

=

−

−

−

1

1

1

1

6

1

2

4190

80

0 1

2 26 10

1000

670400

226000

1000

896 4

Δ

Δ

,

,

,

61 

Jakost polja broj

č

ano je jednaka sili koja djeluje na jedini

č

ni pozitivan naboj, a smjer 

vektora 

E

r

 je isti kao i  smjer sile 

F

r

. 

Jedinica za jakost el. polja je N/C, odnosno ekvivalentna jedinica V/m. 
Jakost elektri

č

nog polja to

č

kastog naboja Q na udaljenosti r od naboja je: 

E

Q

r

r

=

⋅

1

4

0

2

πε ε

 
Izraz vrijedi i za jakost polja nabijene kugle jer je jakost polja kugle upravo tolika kao da je 
sav naboj koncentriran u središtu kugle. Udaljenost r je tada razmak od središta kugle do 
to

č

ke u kojoj promatramo jakost polja. 

Potencijal neke to

č

ke elektri

č

nog polja je jednak radu potrebnom za pomicanje jedini

č

nog 

pozitivnog naboja iz te to

č

ke u referentnu to

č

ku nultog potencijala: 

ϕ =

W

Q

 
Jedinica za potencijal je volt:  
 

1V=

1

1

J

C

 
Veli

č

ina potencijalne energije odre

đ

ene to

č

ke polja dana je izrazom: 

E

W

Q

p

=

= ⋅ϕ

 
Potencijal to

č

kastog naboja Q ili nabijene kugle u to

č

ki na udaljenosti r od naboja ili sredi-

šta kugle je: 
 

ϕ

πε ε

=

⋅

1

4

0

r

Q

r

 
Potencijal to

č

aka na površini nabijene kugle polumjera R je jednak: 

ϕ

πε ε

=

⋅

1

4

0

r

Q

R

 
Razlika potencijala (

ϕ

1

-

ϕ

2

)se naziva napon: 

U

W

Q

=

−

=

ϕ

ϕ

1

2

62 

Napon izme

đ

u dvije to

č

ke je jednak radu što ga treba izvršiti pri prenošenju naboja Q iz 

jedne to

č

ke u drugu. Jedinica za napon je ista kao i za potencijale 1 Volt (1V). Iz izraza 

W=Q·U izvodi se još jedna jedinica za energiju, 1 eV (elekron volt).  
1eV je energija koju dobije elektron (ili neka druga 

č

estica s nabojem e) kad prije

đ

e razliku 

potencijala od 1V. 
 

1eV=1,6·10

-19

 C·1 V=1,6·10

-19

 J 

1KeV=1000eV=1,6·10

-16

 J 

1MeV=10

6

eV=1,6·10

-13

 J 

 
U homogenom elektri

č

nom polju jakosti E, kod naboja Q prelazi udaljenost d obavlja se 

rad jednak: 
 

W=F·d=Q·E·d=Q·u 

 
odakle je: 
 

E

U

d

=

pa tako i jedinica za jakost elektri

č

nog polja (

1

1

V

m

). 

 
 
ELEKTRI

Č

NI KAPACITET I KONDENZATORI 

 
Elektri

č

ni kapacitet vodi

č

a je jednak omjeru naboja Q koji se nalazi na vodi

č

u i potencijala 

ϕ

: 

C

Q

=

ϕ

 
Jedinica za kapacitet je farad (F): 
 

1

1

1

F

C

V

=

 
Kondenzator se sastoji od dvaju vodi

č

a izme

đ

u kojih je izolator (dielektrik). Kapacitet 

kondenzatora je omjer naboja na kondenzatoru i napona izme

đ

u plo

č

a kondenzatora: 

C

Q

Q

U

=

−

=

ϕ

ϕ

1

2

64 

Energija pohranjena u nabijenom kondenzatoru je jednaka: 
 

W

Q U

C U

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

1

2

1

2

2

 
 
OHMOV ZAKON I ZAKON ELEKTRI

Č

NOG OTPORA 

 
Elektri

č

na struja je svako usmjereno gibanje elektri

č

nog naboja. Jakost struje I je definirana 

kao ona koli

č

ina naboja 

Δ

Q koja u vremenu 

Δ

t pro

đ

e presjekom vodi

č

a: 

I

Q

t

= Δ

Δ

 
Ako je struja konstantna, onda vrijedi: 
 

I

Q

t

=

 
Jedinica za jakost el. struje je amper (A). 
Gusto

ć

a struje je jakost struje po jedinici presjeka vodi

č

a: 

j

I

S

=

 
a jedinica za mjerenje gusto

ć

e struje je Am

-2

. 

Pod djelovanjem elektri

č

ne sile 

E

e

F

r

r

−

=

 slobodni elektroni u metalima dobivaju prirast 

brzine u smjeru el. sile: 
 

v

E

= ⋅

μ

 
gdje je 

μ

 pokretljivost elektrona koja se mjeri u m

2

 s

-1

 V

-1

. 

65 

Za metalni vodi

č

 duljine l i površine presjeka S Ohmov zakon glasi: 

I

Q

t

n e S v

t

t

n e S v

n e

S

l

U

G U

=

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

Δ

Δ

Δ

Δ

μ

 
n je broj elektrona u jedinici volumena, e elementarni naboj, 

μ

 pokretljivost slobodnih 

elektrona, U napon na krajevima vodi

č

a, G vodljivost. 

Elektri

č

na vodljivost G se mjeri u siemensima (1

1

1

S

A

V

=

). 

Recipro

č

na vrijednost elektri

č

ne vodljivosti je elektri

č

ni otpor (R): 

R

G

n e

l

S

=

=

⋅ ⋅

⋅

1

1

μ

Jedinica za mjerenje otpora je je ohm(1

1

1

Ω =

V

A

) 

Ohmov zakon

 napisan pomo

ć

u otpora za dio strujnog kruga je: 

I

U

R

=

 
gdje je I jakost struje što te

ć

e vodi

č

em, U napon na krajevima vodi

č

a a R otpor vodi

č

a. 

 
 
Zakon elektri

č

nog otpora

 
Elektri

č

ni otpor R vodi

č

a duljine l i presjeka S jednak je: 

R

n e

l

S

l

S

=

⋅ ⋅

⋅ = ⋅

1

μ

ρ

gdje je: 

ρ

μ

=

⋅ ⋅

1

n e

elektri

č

na otpornost materijala koja se mjeri u 

Ω

m. 

Elektri

č

ni otpor vodi

č

a raste s el. otpornoš

ć

u materijala i duljinom vodi

č

a, a pada s površi-

nom presjeka vodi

č

a.  

Elektri

č

ni otpor vodi

č

a mijenja se i s temperaturom prema zakonu: 

R

R

t

t

=

+

0

1

(

)

α

 
gdje je R

0

 otpor kod 0°C, R

t

 otpor kod temperature t, i 

α

 temperaturni koeficijent otpora. 

67 

Serijski spoj otpora

. Ukupni otpor serijski spojenih otpora jednak je zbroju pojedinih 

otpora: 

R=R

1

+R

2

+R

3

+... 

 
Pri serijskom spajanju otpora kroz sve otpore te

č

e ista jakost struje, pa je ukupni napon 

jednak sumi padova napona na pojedinim vodi

č

ima: 

U=U

1

+U

2

+U

3

=IR

1

+IR

2

+IR

3

 
Paralelni spoj otpora

. Pad napona na krajevima svih vodi

č

a spojenih u paralelu je jednak: 

U=I

1

R

1

=I

2

R

2

=I

3

R

3

 
Ukupni otpor paralelno spojenih vodi

č

a je: 

1

1

1

1

1

2

3

R

R

R

R

=

+

+

 
Jakost struje I koja je došla u to

č

ku grananja jednaka je sumi jakosti struja koje su iz to

č

ke 

grananja izašle: 
 

I=I

1

+I

2

+I

3 

68 

Serijsko spajanje izvora

. Pri serijskom spajanju izvora ukupna elektromotorna sila 

ε

 jdnaka 

je zbroju elektromotornih sila 

ε

i

 pojedinih izvora. Jednako je i unutrašnji otpor jednak 

zbroju pojedinih unutrašnjih otpora pa Ohmov zakon u tom slu

č

aju glasi: 

I

R

R

i

i

n

n

i

n

i

=

∑

+

∑

=

=

ε

1

1

 
Paralelni spoj izvora

. Kod paralelnog spajanja više izvora jednake elektromotorne sile, 

ukupna elektromotorna sila jednaka je elektromotornoj sili pojedinog izvora, a ukupni se 
unutrašnji otpor smanjuje jer su paralelno spojeni. 
Ohmov zakon ima slijede

ć

i oblik: 

I

R

R

n

u

=

+

ε

 
 
RAD I SNAGA ELEKTRI

Č

NE STRUJE 

 
Rad što ga izvrši struja jakosti I za vrijeme t, ako je na krajevima vodi

č

a napon U jednak je: 

W=U·I·t 

 
Snaga struje je: 
 

P=U·I 

 
Jedinica za rad je joule (J), a jedinica za snagu watt (W). 
Za izražavanje rada upotrebljava se još i 1 kWh: 
 

1kWh=10

3

W·3600 s=3,6·10

6

 J 

 
Primjenom Ohmovog zakona (U=I·R) formule za rad i snagu se mogu pisati: 
 

W

I R t

U

R

t

P

I R

U

R

=

⋅ =

⋅

=

=

2

2

2

2

70 

č

nog polja proizvedenog anodnim naponom i dioda služi kao ispravlja

č

. Katodna cijev je 

vakuumska elektronska cijev u kojoj uski snop elektrona putuju

ć

i iz katode prolazi kroz 

otvor u anodi, otklanja se kroz elektronske plo

č

ice i udara u ekran. Trioda je vakuumska 

elektronska cijev koja osim katode i anode ima i tre

ć

u elektrodu, upravlja

č

ku rešetku. 

Trioda služi kao poja

č

alo. 

 
 
MAGNETSKO POLJE 
 
Svaki naboj u gibanju stvara u prostoru magnetsko polje. Jakost magnetskog polja H u 
to

č

ki A udaljenoj za r od naboja Q koji se giba brzinom v iznosi (Biot - Savart - Laplaceov 

zakon): 
 

H

Q v

r

= ⋅ ⋅

⋅

sin

α

π

4

2

 
gdje je 

α

 kut izme

đ

u smjera brzine 

v

r

 i spojnice 

r

r

 naboja i promatrane to

č

ke: 

 
Sli

č

no je jakost magnetskog polja elemenata vodi

č

a 

Δ

l kroz koji te

č

e struja jakosti I 

jednaka: 
 

Δ

Δ

H

I l

r

=

sin

α

π

4

2

 
Jedinica za jakost magnetskog polja je Am

-1

. 

Veza izme

đ

u magnetske indukcije (gusto

ć

e magnetskog toka) i jakosti magnetskog polja je 

B=

μ

0

·

μ

r

·H 

 
gdje je 

μ

0

=4

π

·10

-7

 TmA

-1

 permeabilnost vakuma, 

μ

r

 relativna permeabilnost tvari, tj. omjer 

magnetske indukcije u tvari i vakuumu za istu jakost polja: 
 

μ

r

B

B

=

0

71 

Za zrak i ve

ć

inu tvari 

μ

=

μ

0

 jer je 

μ

r

≈

1, a za feromagnetske materijale 

μ

r

 je veliki i ovisan o 

magnetskom polju. Jedinica za magnetsku indukciju je tesla (1T). 
Magnetsko polje ravnog vodi

č

a

. Jakost magnetskog polja u udaljenosti r od ravnog vodi

č

a 

kojim te

č

e struja jakosti I: 

 
dana je izrazom: 
 

H

I

r

=

⋅

2

π

Magnetske silnice ravnog vodi

č

a kroz kojeg te

č

e struja su koncentri

č

ne kružnice koje leže 

u ravnini okomitoj na vodi

č

, a središte im je u osi vodi

č

a. Smijer silnica (vektora 

H

r

odnosno 

B

r

) odre

đ

ujemo pravilom desne ruke. Ako palac pokazuje smjer struje, savijeni 

prsti pokazuju smjer silnica magnetskog polja. 
Magnetsko polje zavojnice

. Jakost magnetskog polja unutar zavojnice duljine l koja ima N 

zavoja kada kroz nju te

č

e jakost struje I dana je izrazom: 

H

N I

l

= ⋅

73 

Ako silnice magnetskog polja prolaze okomito kroz površinu tok se može prikazati kao: 

φ

=B·S 

 
Jedinica za magnetski tok je weber (1 Wb=Tm

2

). 

Gibanje elektri

č

ki nabijene 

č

estice u magnetskom polju - Lorentzova sila

. Kada se naboj Q 

giba brzinom v u magnetskom polju magnetske indukcije B na njega djeluje Lorentzova 
sila koja je jadnaka: 
 

F=Q·v·B·sin

α

gdje je 

α

 kut izme

đ

u smjera gibanja (

v

r

) i smjera vektora (

B

r

). 

U slu

č

aju pozitivnog naboja smjer sile odre

đ

ujemo pravilom desnog dlana koje kaže: Ako 

ispruženi prsti pokazuju smjer magnetskog polja (

B

r

), a palac smjer brzine 

č

estice (

v

r

), 

pra-vac sile je okomit na dlan, a smjer te sile je od dlana: 

Ako je naboj negativan sila je suprotnog smjera. 

Djelovanje magnetskog polja na vodi

č

 kojim te

č

e elektri

č

na struja - Amperova sila

. 

Veli

č

ina sile F kojom homogeno magnetsko polje magnetske indukcije B djeluje na vodi

č

duljine l kojim te

č

e jakost struje I: 

74 

jednaka je: 
 

F=B·I·l·sin

α

gdje je 

α

 kut izme

đ

u smjera kojim te

č

e struja i smjera vektora 

B

r

. 

Smjer sile (otklona vodi

č

a) odre

đ

ujemo pravilom desnog dlana. Postavimo li desni dlan 

tako da prsti pokazuju smjer magnetskog polja B, a palac smjer struje I, sila F 

ć

e imati 

takav smjer da vodi

č

 nastoji udaljiti od dlana. 

 
 
ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA 
 
Elektromagnetska indukcija je pojava da se promjenom magnetskog toka u vodi

č

u inducira 

napon: 
 

U

N

t

i

= −

Δφ

Δ

 
Faradayev zakon elektromagnetske indukcije kaže da je inducirani napon proporcionalan 
brzini promijene magnetskog toka. 

Δφ

 je promijena magnetskog toka, 

Δφ

=

φ

2

-

φ

1

 u svakome od zavoja, a N broj zavoja. 

Predznak (-) kaže da je inducirani napon takav da od tog napona stvorena inducirana struja 
svojim magnetskim u

č

inkom nastoji poništiti uzrok koji ju je proizveo (Lenzovo pravilo). 

Kada se ravni vodi

č

 duljine l giba brzinom v u homogenom magnetskom polju magnetske 

indukcije B i pod kutem 

α

 u odnosu na polje, u vodi

č

u se inducira napon koji je jednak: 

U

i

 = -Blvsin

α

 
Magnetski tok koji je proizvela struja I koja protje

č

e kroz neki zavoj jednak je: 

φ

=L·I 

 
gdje je L koeficijent samoindukcije (induktivitet) koji ovisi o obliku i veli

č

ini zavoja te 

magnetskoj permeabilnosti okolnog sredstva. 
Jedinica za induktivitet je henri (H) 
 

H=WbA

-1

=VsA

-1

 
Promjenom jakosti struje kroz zavoj, mijenja se i magnetski tok kroz površinu ograni

č

enu 

tim zavojem te se u njemu inducira elektromotorna sila (napon) samoindukcije: 
 

U

t

L

I

t

L

= −

= −

Δφ

Δ

Δ
Δ

76 

Ukupan otpor u krugu izmjeni

č

ne struje - impendancija

 Z. 

Z

R

R

R

L

C

=

+

−

2

2

(

)  

Z je impedancija ili ukupni otpor, R je radni otpor, R

L

=L·

ω

 je induktivni otpor,  R

C

C

=

⋅

1

ω

je kapacitivni otpor. R

L 

i R

C

 su takozvani prazni otpori. 

Ohmov zakon za krug izmjeni

č

ne struje glasi: 

I

U

Z

=

 
Razlika faze 

ϕ

 izme

đ

u izmjeni

č

nog napona i izmjeni

č

ne struje: 

 
dana je izrazom: 
 

tg

R

R

R

L

C

ϕ =

−

 
Srednja vrijednost snage izmjeni

č

ne struje je dana izrazom: 

P=I·U·cos

ϕ

77 

Elektromagnetski titraji i valovi

. Elektri

č

ni titrajni krug se sastoji od zavojnice induktiviteta 

L i kondenzatora kapaciteta C: 

 
Vlastita frekvencija takvog titrajnog kruga je dana Thomsonovom formulom: 
 

f

LC

=

1

2

π

 
Elektromagnetski valovi nastaju širenjem titraja elektri

č

nog i magnetskog polja iz titrajnog 

kruga u prostor. Vektori elektri

č

nog i magnetskog polja u valu su uvijek me

đ

usobno 

okomiti, a okomiti su i na smjer širenja vala. Valna duljina, frekvencija i brzina su poveza-
ne identi

č

nim izrazom kao i kod mehani

č

kih valova: 

v=

λ

·f 

 
Brzina širenja elektromagnetskih valova u vakumu dana je relacijom: 
 

C

=

1

0

0

ε μ

 
gdje je 

ε

0

=8,85·10

-12

 Fm

-1

, a 

μ

0

=4

π

·10

-7

 Hm

-1

. 

Brzina širenja elektromagnetskih valova u bilo kojem drugom sredstvu ovisi o njegovim 
elektromagnetskim svojstvima i odre

đ

ena je izrazom: 

v

c

r

r

=

=

1

εμ

ε μ

 
Transformator

. Ure

đ

aj koji transformira izmjeni

č

nu struju jednog napona i jakosti u izmje-

ni

č

nu struju drugog napona i jakosti a radi na principu elektromagnetske indukcije. Za 

idealni transformator bez gubitaka vrijedi: 

U

U

I

I

N

N

1

2

2

1

1

2

=

=

 
gdje su U

1

, I

1

 i N

1

 napon, jekost i broj namotaja primarne zavojnice, a U

2

, I

2

 i N

2

 napon, 

jakost i broj namotaja sekundarne zavojnice. 

79 

5. U nekoj žici otpora 20 

Ω

 razvijena je toplina od 900 J u vremenu od 5 s. Naboj elektrona 

je 1,6·10

-19

 C. Broj elektrona koji su u to vrijeme prošli kroz presjek žice je: 

 
R=20 

Ω

W=900 J 
t=5 s 
n=? 

W

I R t

I

W

R t

n Q

t

W

R t

n

t

Q

W

R t

s

C

J

s

e

e

=

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

⋅

−

2

19

19

5

1 6 10

900

20

5

9 375 10

,

,

Ω

 
6. Dva naboja Q

1

=4·10

-8

 C i Q

2

=2,5·10

-8

 C nalaze se u zraku na udaljenosti 1 m. Koliki rad 

treba izvršiti da bi ih približili na udaljenost 0,2 m? (

ε

0

=8,85·10

-12

 C

2

N

-1

 m

-2

) 

 
Q

1

=4·10

-8

 C 

Q

2

=2,5·10

-8

 C 

R

1

=1 m 

R

2

=0,2 m 

W=? 

W

E

Q

Q

R

Q

Q

R

Q

Q

R

R

W

C

C

C N

m

m

m

W

J

p

=

=

⋅

−

⋅

=

⋅

−

⎛
⎝

⎜

⎞
⎠

⎟

=

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

−

⎛
⎝

⎜

⎞
⎠

⎟

=

⋅

−

−

−

−

−

−

Δ

1

2

0

2

1

2

0

1

1

2

0

2

1

8

8

12

2

1

2

5

4

4

4

1

1

4 10

2 5 10

4 3 14 8 85 10

1

0 2

1

1

3 59 10

πε

πε

πε

,

,

,

,

,

 
7. Napon izme

đ

u horizontalnih plo

č

a kondenzatora je 10 V, a razmak plo

č

a je 0,1 m. Mi-

kroskopski vidljiva kapljica ulja mase 10

-13

 kg lebdi u elektri

č

nom polju. Naboj kapljice je: 

 
U=10 V 
d=0,1 m 
m=10

-13

 kg 

Q=? 

Q E

m g

Q

m g

E

E

U

d

Q

m g d

U

kg

ms

m

V

C

⋅ = ⋅

=

⋅

=

=

⋅ ⋅ =

⋅

⋅

=

⋅

−

−

−

10

9 81

0 1

10

9 81 10

13

2

15

,

,

,

 
8. Elektri

č

na pe

ć

 je priklju

č

ena na gradsku mrežu napona 220 V. Pe

ć

 ima 3 m dugu grija

ć

u 

nit i za 20 min povisi u prostorijama temperaturu za 20°C. Koliko mora biti duga

č

ka ta nit 

ako isto povišenje temperature u prostoriji želimo posti

ć

i za 15 min? 

 
U=220 V 
l

1

=3 m 

t

1

=20 min=1200 s 

Δ

T=20 K 

t

2

=15 min=900 s 

l

2

= ? 

80 

W = U I t =

U

U

U

2

2

2

⋅ ⋅

⋅

⋅

=

⋅

=

=

=

t

R

t

R

t

R

R

R

t

t

R

R

R

R

1

1

2

2

1

2

1

2

1

2

2

1

20

15

3

4

min

min

R

R

l

S

l

S

l

l

l

m

l

m

2

1

2

1

2

1

2

2

3

4

3

4

3

4
3

4

3

2 25

=

/ ⋅

/

= ⋅ /

⋅

/

=

= ⋅

=

ρ

ρ

,

 
9. U homogenom magnetskom polju indukcije 1,5 T jednoliko se giba vodi

č

 duljine 10 cm. 

Njime te

č

e struja 2 A, brzina mu je 1ms

-1

, a vodi

č

 je okomit na polje. Snaga potrebna ua 

ovo gibanje jest? 
 

α

=90°° 

B=1,5 T 
l=10 cm=0,1 m 
I=2 A 
v=1 ms

-1 

P=? 

  P=F·v=B·I·l·sin

α

·v= B·I·l·v=1,5 T·2 A·0,1 m·1 ms

-1

=0,3 W 

 
10. Proton se giba po kružnoj stazi polumjera 3,34 cm, u magetskom polju indukcije 0,1 T. 
Kolika je brzina protona? 
 
R=3,34 cm 
B=0,1 T 
v=? 
 

mv

R

Q v B

v

Q B R

m

C

T

m

kg

ms

2

19

2

27

5

1

1 6 10

0 1

3 34 10

1 67 10

3 2 10

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ =

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⋅

−

−

−

−

,

,

,

,

,

 
11. Zavojnica koeficijenata samoindukcije 0,1 H i omskog otpora 51 

Ω

 priklju

č

ena je na 

izvor izmjeni

č

nog napona efektivne vrijednosti 120 V i frekvencije 50 Hz. Kolika efektiv-

na struja te

č

e zavojnicom? 

 
L=0,1 H 
R=51 

Ω

U

ef

=120 V 

ν

=50 Hz 

I

ef

=? 

82 

15. Titrajni krug 

č

ini kondenzator kapaciteta 50 pF i zavojnica induktiviteta 0,2 mH. Odre-

dite valnu duljinu na koju je ugo

đ

en? 

 
C=50 pF=50·10

-12

 F 

L=0,2 mH=0,2·10

-3

 H 

λ

=? 

ν

π

λ

ν

π

λ

=

⋅

= = ⋅

⋅

= ⋅

⋅ ⋅

⋅

⋅

⋅ ⋅

=

−

−

−

1

2

2

3 10

2 3 14

0 2 10

50 10

188 4

8

1

3

12

L C

c

c

L C

ms

H

F

m

,

,

,

 
16. Transformator za elektri

č

no zvonce smanjuje izmjeni

č

ni napon s 220 V na 4 v. Sekun-

darna zavojnica ima 12 zavoja. Koliko zavoja ima primarna zavojnica? 
 
U

1

=220 V 

U

2

= 4 V 

N

2

=12 

N

1

=? 

U

N

U

N

N

U

U

N

V

V

1

1

2

2

1

1

2

2

220

4

12

660

=

=

⋅

=

⋅ =

83 

OPTIKA 

 
 
 
GEOMETRIJSKA OPTIKA 
 
Ravno zrcalo

 je glatka i ravna reflektiraju

ć

a površina. 

Zakon refleksije

 svjetlosti glasi: Upadna i reflektirana zraka svjetlosti su u istoj ravnini kao 

i normala na reflektiraju

ć

u površinu a kut upada 

α

 jednak je kutu refleksije 

β

: 

 
Slika je u ravnom zrcalu jednake veli

č

ine kao i predmet, virtualna i simetri

č

na predmetu s 

obzirom na ravninu zrcala: 
 
 

 
 
Sferno zrcalo

 
Sferno zrcalo je dio kugline plohe pa je reflektiraju

ć

a površina zakrivljena - udubljena ili 

izbo

č

ena. Jednadžba sfernog zrcala je: 

1

1

1

x

x

f

+

′

=

85 

Kod tog prijelaza frekvencija ostaje nepromijenjena a valna duljina i brzina se mijenjaju. 
Apsolutni indeks loma nekog sredstva n je omjer brzine svjetlosti (c) u vakuumu i brzine 
svjetlosti v u tom sredstvu: 
 

n

c

v

=

 
Relativni indeks loma sredstva 2 prema sredstvu 1 je: 
 

n

n

n

v

v

2 1

2

1

1

2

,

=

=

 
gdje je v

1

 brzina svjetlosti u sredstvu 1, a v

2

 brzina svjetlosti u sredstvu 2. Ravnina koja 

odvaja dva sredstva se zove ravni dioptar. 
Pri prijelazu zrake svjetlosti iz sredstva indeksa loma n

1

 u sredstvo indeksa loma n

2

, upadna 

i lomljena zraka kao i normala na granici tog sredstva u upadnoj to

č

ki su u istoj ravnini. 

Snelliusov zakon loma povezuje kut upada 

α

 i kut loma 

β

: 

n

n

n

2 1

2

1

,

sin

sin

=

=

α

β

 
Totalna refleksija

. Ako svjetlost prelazi iz opti

č

ki guš

ć

eg u opti

č

ki rije

đ

e sredstvo kut loma 

β

>

α

, dakle svjetlost se lomi od okomice. Kut loma može biti najviše 90°, i za taj kut kaže-

mo da je kut upada tzv. grani

č

ni. (

α

g

) Ako je kut upada ve

ć

i od 

α

g

 svjetlost ne prelazi u 

drugo sredstvo ve

ć

 se reflektira. Ta pojava se zove totalna refleksija. 

sin

α

g

n

n

=

2

1

 
Ako svjetlost prelazi iz sredstva indeksa loma n u vakuum vrijedi: 
 

sin

g

α =

1

n

 
Planparalelna plo

č

a

 je homogeno opti

č

ko sredstvo, ome

đ

eno dvjema ravnim paralelnim 

plohama. Prolazom kroz planparalelnu plo

č

u zraka svjetlosti ne mijenja smjer ve

ć

 je samo 

pomaknuta paralelno samoj sebi: 
 

86 

 
Prizma

 je opti

č

ko sredstvo ome

đ

eno s dvije ravnine koje zatvaraju kut A: 

 
 
Kut devijacije 

δ

 pri prolazu kroz opti

č

ku prizmu dan je relacijom: 

δ

=

α

1

+

α

2

-A 

 
gdje su 

α

1

 kut upada, 

α

2

 kut pod kojim zraka izlazi iz prizme, a A kut prizme. Prolazom 

kroz prizmu bijela svjetlost se rastavlja na dugine boje (spektar) jer brzina svjetlosti u 
nekom prozirnom sredstvu ovisi o valnoj duljini a time i indeks loma, te se svjetlost razli

č

i-

tih boja (razli

č

itih 

λ

) i razli

č

ito lomi. 

 
 
Le

ć

e 

 
Le

ć

e su prozirna tijela, ome

đ

ena s dvije sferne plohe od kojih jedna može biti i ravna. 

Tankim le

ć

ama nazivamo le

ć

e kod kojih je razmak izme

đ

u dioptrijskih ploha u sredini le

ć

e 

malen u odnosu na promjer le

ć

e. Opti

č

ka os le

ć

e je pravac koji prolazi kroz središta 

zakrivljenosti sfernih ploha le

ć

e. Razlikujemo dvije vrste le

ć

a: 

88 

 
 
Pove

ć

anje le

ć

e je omjer veli

č

ine slike y' i veli

č

ine predmeta y: 

m

y

y

x

x

= ′ = − ′

 
Ako je pove

ć

anje pozitivno, slika je uspravna, a ako je pove

ć

anje negativno slika je obrnu-

ta. Kada je m>1 slika je ve

ć

a od predmeta, a kada je m<1 slika je manja od predmeta. 

Jakost le

ć

e je recipro

č

na vrijednost žarišne daljine: 

j

f

=

1

 
Jakost le

ć

e se mjeri u dioptrijama (1 dpt=1 m

-1

). Konvergentne le

ć

e imaju pozitivnu jakost 

(+dioptrije), a divergentne le

ć

e imaju negativnu jakost (-dioptrije).  

89 

FIZIKALNA OPTIKA 
 
Svjetlost je transferzalni elektromagnetski val 

č

ija je brzina u vakuumu: 

c=2,997925·10

8 

ms

-1

≈

3·10

8

 ms

-1

 
Valnu prirodu svjetlosti potvr

đ

uju pojave interferencije, ogiba i polarizacije. 

 
 
Interferencija 
 
Interferencija nastaje zbrajanjem dvaju ili više valova svjetlosti jednake frekvencije i 
konstantne razlike u fazi (tzv. koherentnih valova). Rezultat tog zbrajanja je poja

č

anje 

intenziteta u u nekim to

č

kama prostora, odnosno smanjenje u drugim. 

Poja

č

anje 

ć

e nastati ako razlika opti

č

kih puteva dviju zraka 

δ

=k·

λ

 (k=0, 1, 2...), dok 

ć

e 

destruktivna interferencija (minimum rasvjete) nastati na mjestima gdje je: 
 

δ

λ

=

+ ⋅

(

)

2

1

2

k

(k=0, 1, 2, ...) 

 
Na slici su prikazana dva koherentna izvora. U to

č

ki M

1

 dolazi do interferencije svjetlosti 

koja ide iz izvora koji su me

đ

usubno razmaknuti za udaljenost d, a to

č

ka M

1

 se nalazi na 

zastoru udaljenom a od izvora. Opti

č

ka razika puteva zrake koja ide iz izvora jedan i zrake 

iz drugog izvora jednaka je geometrijskoj razlici pomnoženoj s indeksom loma sredstva 
kroz koje je zraka prolazila: 

δ

=nr

1

-nr

2

 
Rezultantni intenzitet pri interferenciji ovisi o fazi, odnosno o razlici opti

č

kih putova 

valova koji interferiraju. Razmak izme

đ

u dviju svjetlih ili tamnih interferiranih pruga na 

zastoru paralelnom s dva koherentna izvora jest: 
 

s

a

d

= ⋅λ

91 

RIJEŠENI PRIMJERI IZ PODRU

Č

JA OPTIKA 

 
 
1. Indeks loma vode je 1,33. Koliki je grani

č

ni kut totalne refleksije? 

 
n=1,33 

α

g

=? 

sin

,

,

α

g

n

= =

=

=

′

1

1

1 33

0 75187

48 45

o

 
2. Okomito na opti

č

ku rešetku konstante 10

-5

 m upada komponenta svjetlosti dviju valnih 

duljina: 444 nm i 592 nm. Pod kojim 

ć

e se najmanjim kutom ogiba pokriti maksimumu 

obiju linija? 
 
d=10

-5

 m 

λ

1

=444 nm 

λ

2

=592 nm 

α

K

=? 

d

k

d

k

k

k

k

k

nm

nm

k

k

d

d

m

m

k

k

k

k

k

sin

sin

,

sin

sin

,

,

α

λ

α

λ

λ

λ

α

λ

α

λ

α

= ⋅

= ′ ⋅

⇒

′

=

′

=

=

=

=

′ =

= ⋅

=

⋅

= ⋅

⋅

=

=

−

−

1

2

2

1

1

1

9

5

592

444

1 333

4

3

4

3

4

4

4 444 10

10

0 1776

10 23

o

 
3. Predmet na opti

č

koj osi je 40 cm od tjemena konkavnog sfernog zrcala polumjera 

zakrivljenosti 50 cm. Odredite položaj slike. 
 
x=40 cm 
R=50 cm 
x'=? 

1

1

1

1

40

1

1

25

1

1

25

1

40

8 5

200

200

3

66 67

x

x

f

cm

x

cm

x

cm

cm

cm

x

cm

cm

+

′

=

+

′

=

′

=

−

=

−

′ =

=

,

 
4. Kolika je jakost konvergentne le

ć

e žarišne daljine 25 cm? 

 
f=25 cm=0,25 m 
j=? 

j

f

m

dpt

= =

=

1

1

0 25

4

,

92 

5. S le

ć

om žarišne daljine 6 cm, koja služi kao lupa, želimo promatrati mali predmet duljine 

2 mm, tako da njegova virtuelna slika bude 5 mm. Koliko mora le

ć

e biti udaljena od 

predmeta? 
 
f=6 cm 
y=2 mm 
y'=5 mm 
x=? 

− ′ = ′

− ′ =

′ = −

x

x

y

y

x

x

mm

mm

x

x

5

2

2 5

,

1

1

1

1

1

2 5

1

6

1

2

5

1

6

5 2

5

1

6

5

3 6

3 6

x

x

f

x

x

cm