Silvia Gilezan
Ljubo Nedović
Zorana Lužanin
Zoran Ovcin
Tatjana Grbić
Jelena Ivetić
Biljana Mihailović
Ksenija Doroslovački
Zbirka rešenih zadataka iz
Verovatnoće i statistike
Novi Sad, 2009. godine
Naslov:
Zbirka rešenih zadataka iz Verovatnoće i statistike
Autori:
dr Silvia Gilezan, redovni profesor Fakulteta tehničkih nauka Univerziteta u
Novom Sadu,
dr Zorana Lužanin, redovni profesor Prirodno matematičkog fakulteta Univerzi-
teta u Novom Sadu,
dr Tatjana Grbić, docent Fakulteta tehničkih nauka Univerziteta u Novom Sadu,
mr Biljana Mihailović, asistent Fakulteta tehničkih nauka Univerziteta u Novom
Sadu,
mr Ljubo Nedović, asistent Fakulteta tehničkih nauka Univerziteta u Novom
Sadu,
mr Zoran Ovcin, asistent Fakulteta tehničkih nauka Univerziteta u Novom Sadu,
mr Jelena Ivetić, asistent Fakulteta tehničkih nauka Univerziteta u Novom Sadu,
Ksenija Doroslovački, asistent pripravnik Fakulteta tehničkih nauka Univerziteta
u Novom Sadu
Recenzenti:
dr Mila Stojaković, redovni profesor Fakulteta tehničkih nauka Univerziteta u
Novom Sadu,
dr Zagorka Lozanov-Crvenković, redovni profesor Prirodno matematičkog fakul-
teta Univerziteta u Novom Sadu,
dr Dragan Ðorić, docent Fakulteta organizacionih nauka Univerziteta u Beo-
gradu.
Autori zadržavaju sva prava. Bez pismene saglasnosti svih autora nije dozvoljeno
reprodukovanje (fotokopiranje, fotografisanje, magnetni upis ili umnožavanje na bilo
koji način) ili ponovno objavljivanje sadržaja (u celini ili u delovima) ove knjige.
Sadržaj
1 Kombinatorika, prostor verovatnoće i verovatnoća slučajnih događa-
ja
1
1.1 Skupovi i operacije sa skupovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Kombinatorika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3 Prostor događaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4 Verovatnoća događaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2 Slučajne promenljive
39
2.1 Slučajne promenljive diskretnog tipa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.2 Slučajne promenljive apsolutno neprekidnog tipa . . . . . . . . . . . .
57
2.3 Dvodimenzionalna slučajna promenljiva . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
2.4 Transformacije i brojne karakteristike slučajnih promenljivih . . . . .
85
3 Statistika
101
3.1 Deskriptivna statistika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.2 Teorija ocena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.2.1 Tačkaste ocene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.2.2 Intervalne ocene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.3 Statistički testovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.3.1 Parametarski testovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.3.2 Neparametarski testovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.4 Uzoračka korelacija i regresija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4 Statističke tablice
167
4.1 Gausova normalna raspodela
N
(0
,
1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.2 Studentova
t
n
raspodela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.3 Pirsonova
χ
2
raspodela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.4 Asimptotska raspodela
λ
-testa: vrednosti
Q
(
λ
)
. . . . . . . . . . . . . 172
5 Ispitni zadaci
173
1
Kombinatorika, prostor verovatnoće i verovatnoća
slučajnih događaja
1.1
Skupovi i operacije sa skupovima
U teoriji verovatnoće, događaji su skupovi. Iz tog razloga se će često biti korišćene
neke poznate osobine operacija sa skupovima.
Neka je
X
univerzalni skup. Za skup
A
kažemo da je
podskup
skupa
X
, u oznaci
A
⊆
X
, ako važi
x
∈
A
⇒
x
∈
X
. Neka su
A
,
B
i
C
podskupovi skupa
X
. Skupovne
operacije su definisane sa:
unija skupova
A
i
B
je
A
∪
B
=
{
x
:
x
∈
A
∨
x
∈
B
}
,
presek skupova
A
i
B
je
A
∩
B
=
{
x
:
x
∈
A
∧
x
∈
B
}
,
razlika skupova
A
i
B
je
A
B
=
{
x
:
x
∈
A
∧
x /
∈
B
}
,
komplement skupa
A
je
A
=
{
x
:
x
∈
X
∧
x /
∈
A
}
=
X
A,
Dekartov proizvod skupova
A
i
B
je
A
×
B
=
{
(
a, b
) :
a
∈
A
∧
b
∈
B
}
.
Neke od osobina skupovnih operacija su:
•
A
=
A
,
∅
=
X
,
∅ ∪
A
=
A
,
∅ ∩
A
=
∅
,
X
∩
A
=
A
,
X
∪
A
=
X
,
•
A
∪
B
=
B
∪
A
,
A
∩
B
=
B
∩
A
,
•
A
∪
(
B
∪
C
) = (
A
∪
B
)
∪
C
,
A
∩
(
B
∩
C
) = (
A
∩
B
)
∩
C
,
•
A
∪
(
B
∩
C
) = (
A
∪
B
)
∩
(
A
∪
C
)
,
A
∩
(
B
∪
C
) = (
A
∩
B
)
∪
(
A
∩
C
)
,
•
A
∪
B
=
A
∩
B
,
A
∩
B
=
A
∪
B
.
[1]
Za
A
=
{
1
,
2
,
3
,
4
}
,
B
=
{
2
,
4
,
6
,
8
}
i
C
=
{
3
,
4
,
5
,
6
}
napisati elemente skupova
A
∩
C
,
A
∪
B
i
B
C
.
Rešenje:
A
∩
C
=
{
3
,
4
}
,
A
∪
B
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
6
,
8
}
,
B
C
=
{
2
,
8
}
.
[2]
Za
A
=
{
a, b,
1
}
,
B
=
{
b,
1
, c
}
i
C
=
{
a,
1
}
napisati elemente skupova
A
∪
B
,
B
∩
C
,
A
B
,
B
A
,
A
∩
B
,
A
×
C
i
(
A
∪
B
)
∩
C
.
Rešenje:
A
∪
B
=
{
a, b,
1
, c
}
,
B
∩
C
=
{
1
}
,
A
B
=
{
a
}
,
B
A
=
{
c
}
,
A
∩
B
=
{
b,
1
}
,
A
×
C
=
{
(
a, a
)
,
(
a,
1)
,
(
b, a
)
,
(
b,
1)
,
(1
, a
)
,
(1
,
1)
}
,
(
A
∪
B
)
∩
C
=
{
a, b,
1
, c
} ∩ {
a,
1
}
=
{
a,
1
}
.
[3]
Za date podskupove
A
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
,
B
=
{
x
|
x
∈
N
, x
je deljivo sa
3
i
x <
10
}
i
C
=
{
x
|
x
∈
N
, x <
12
i
x
je prost broj
} ∪ {
1
}
univerzalnog skupa
N
napisati elemente skupova
A
∪
B
,
B
∪
C
,
A
∩
B
,
A
∩
B
,
A
∩
B
∩
C
,
A
B
,
B
A
,
P
(
B
)
,
B
2
,
(
A
∪
B
)
∩
C
i
(
A
C
)
∪
B
.
1
