Tema:
ANALIZA VARIJANSE I KOVARIJANSE
Profesor: Student:
1. Varijansa
Varijansa ili disperzija je pojam iz teorije verovatnoće i statistike. Ona predstavlja
matematičko očekivanje odstupanja slučajne promenljive od njene srednje vrednosti.
Na primer, savršena kocka za igru može da da jedan od 6 ishoda. Očekivana vrednost broja
koji će kocka da pokaže je (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 3,5, očekivana standardna devijacija je
1.5 (srednja vrednost jednakoverovatnih apsolutnih odstupanja: 3,5 − 1, 3,5 − 2, 3,5 − 3, 4 −
3,5, 5 − 3,5, 6 − 3,5, što daje 2,5, 1,5, 0,5, 0,5, 1,5, 2,5), očekivano kvadratno odstupanje ili
varijansa je 35/12 ≈ 2,9 (srednja vrednost jednakoverovatnih kvadrata odstupanja: 2,52, 1,52,
0,52, 0,52, 1,52, 2,52).
1.1. Analiza varijanse (ANOVA)
Često je potrebno porediti i više od dve grupe različitih ispitanika (grupe različitih sportista,
odeljenja u školi, klubova u nekom takmičenju i sl.). U takvim slučajevima koristi se
statistička metoda poznata kao Analiza varijanse ili ANOVA (engl. Analysis of Variance).
Analiza varijanse (ANOVA) je statistička metoda zaključivanja zasnovana na generalnim
linearnim modelima, koja ukupan varijabilitet skupa podataka deli na bar dve komponente
(faktorskuorganizovanu i rezidualnu-slučajnu). U opštem modelu analize varijanse odnos
variranja uobičajeno se predstavlja sledećim zapisom: Y = X + Z tj. Ukupno variranje (Y) =
variranje čiji je izvor u organizovanom delu eksperimenta (X) + variranje čiji je izvor u
neorganizovanom delu eksperimenta (Z).
Izbor ispitanika u grupama treba da bude slučajan i nezavisan, a varijabiliteti rezultata u
populacijama analiziranih grupa treba da budu statistički jednaki. Rezultati grupa ispitanika
treba da budu normalno distribuirani, odnosno da ne odstupaju statistički značajno od
normalne distribucije. Osnovna logika analize varijanse sastoji se u tome da se testira odnos
varijabiliteta rezultata između grupa i varijabiliteta unutar grupa ispitanika. Ako se analizira
položaj nekog rezultata (X) u masi svih rezultata, može se zaključiti da se on sastoji iz dve
komponente:
1. Varijabiliteta unutar grupe – odstupanja u odnosu na aritmetičku sredinu svoje grupe.
2. Varijabiliteta između grupa - odstupanja aritmetičke sredine kojoj pripada rezultat od
zajedničke aritmetičke sredine.
U analizi varijanse važna je tzv. suma kvadrata odstupanja rezultata od odgovarajuće
aritmetičke sredine, odnosno varijansa.
Za sve ispitanike suma kvadrata je: SSt=∑(Xi-AStot)²
Suma kvadrata unutar grupa je: SSug=∑(Xig-Asg)²
Suma kvadrata između grupa je: SSbg=∑Ng(Asg-Astot)²
Odnos svih suma kvadrata je: SSt=SSbg+SSug
Testira se nulta hipoteza H0 : ASg = AStot, odnosno da je varijabilitet oko zajedničke
aritmetičke sredine (MSb) statistički jednak varijabilitetu oko aritmetičkih sredina grupa
(MSu). To testiranje vrši se F-odnosom: F=MSb/Msu.
Kada je nulta hipoteza odbačena, tada se može računati t-testom između kojih parova grupa
postoji statistički značajna razlika. F-odnos ili F test, ima očekivanu vrednost 1, a veća
vrednost od određene granične vrednosti ukazuje na postojanje statistički značajne razlike
između analiziranih grupa ispitanika na posmatranoj varijabli. U istraživačkoj praksi se često
javlja potreba da se za neke grupe ispitanika testiraju razlike na osnovu dve, pa i više
nezavisnih, faktor varijabli. Za takve analize se koristi posebna varijanta analize varijanse
koja se naziva dvofaktorska analiza varijanse (eng. Two-Way ANOVA). Tada se testiraju tri
nulte hipoteze: da razlike za prvi faktor nisu statistički značajne, da razlike za drugi faktor
nisu statistički značajne i da interakcija ovih faktora nije statistički značajna.
1.2. Multivarijaciona analiza varijanse (MANOVA)
Multivarijaciona analiza varijanse (MANOVA) – koristi se kada nam je cilj da ispitamo uticaj
različitih nivoa jedne ili više „eksperimentalnih“ promenljivih na dve ili više zavisnih
promenljivih. Koristi nam u situaciji kada je moguće sprovesti kontrolisani eksperiment.
Osnovni cilj je testiranje hipoteze koja se tiče varijanse efekata dve ili više zavisnih
promenljivih.
