MJERA I INTEGRAL
Bilješke s predavanja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić)
akademske godine 2010./2011.
Natipkao i uredio:
Ivan Krijan
Ova skripta služi samo kao pomoć u praćenju predavanja iz istoimenog kolegija.
Skriptu sam natipkao prema svojim bilješkama s predavanja profesora Šikića, za sve eventualne greške (Kojih sigurno ima, iako sam se potrudio da ih
bude što manje.), bilo tipfelere, bilo matematičke greške sam ja odgovorna osoba. Bit ću vrlo zahvalan svakome tko mi javi bilo kakvu uočenu grešku.
Hvala!
(Posebno hvala Petru Mlinariću koji je uočio nemali broj grešaka, koje sam zatim ispravio.)
Zagreb, 26. 11. 2012.
UVOD
Koristeći pravila (1.1), (1.3), (1.4) nije teško naći neke od tih vjerojatnosti:
?
(
{
?
∈
[0
,
1] :
?
1
= 0
}
) =
?
(︂[︂
0
,
1
2
]︂)︂
=
1
2
.
?
(
{
?
∈
[0
,
1] :
?
1
= 1
, ?
2
= 0
, ?
3
= 0
}
)
=
?
{︂⟨
1
2
,
1
]︂
∩
(︂[︂
0
,
1
4
]︂
∪
⟨
1
2
,
3
4
]︂)︂
∩
(︂[︂
0
,
1
8
]︂
∪
⟨
1
2
,
5
8
]︂
∪
⟨
3
4
,
7
8
]︂)︂}︂
=
?
(︂⟨
1
2
,
5
8
]︂)︂
=
?
(︂[︂
1
2
,
5
8
]︂)︂
−
?
(︂{︂
1
2
}︂)︂
=
5
8
−
1
2
−
0 =
1
8
.
Ali, koja je mjera skupa
?
=
{︂
?
∈
[0
,
1] : lim
?
→∞
?
1
+
?
2
+
. . .
+
?
?
?
=
1
2
}︂
?
Je li uopće
?
∈
D
?
Jedna ideja bi mogla ići ovako:
?
([
?, ?
]) =
?
−
?
= (
?
−
?
)
·
1 =
?
∫︁
?
1
??,
pa bismo, recimo za
?
⊆
[0
,
1]
htjeli nešto kao
?
(
?
) =
1
∫︁
0
?
?
(
?
)
??.
(1.7)
Ali, za koje
?
⊆
[0
,
1]
je
?
?
Riemann integrabilma? Ponovo teško pitanje!
Iz Primjera 1.6 i (1.7) bi mogli zaključiti da bi bilo korisno imati i beskonačne postupke i gra-
nične teoreme!
Npr. ako su
(
?
?
)
?
∈
N
Riemann integrabilne na
[
?, ?
]
i postoji
?
: [
?, ?
]
→
R
takva da je
lim
?
→∞
?
?
(
?
) =
?
(
?
)
,
∀
?
∈
[
?, ?
]
, tada prirodno postavljamo sljedeća pitanja:
(1) Je li
?
Riemann integrabilna?
(2) Postoji li
lim
?
→∞
?
∫︁
?
?
?
(
?
)
??
?
(3) Ako su odgovori na (1) i (2) pozitivni, mora li biti
lim
?
→∞
?
∫︁
?
?
?
(
?
)
??
=
?
∫︁
?
?
(
?
)
??
?
Odgovor na sva ova pitanja je, nažalost, negativan! Navedimo i kontraprimjere koji nam to
pokazuju:
(1)
?
?
=
?
{
?
1
, ?
2
, ..., ?
?
}
, pri čemu je
Q
∩
[0
,
1] =
{
?
?
:
?
∈
N
}
. Tada je očito
?
=
?
Q
∩
[0
,
1]
, a
znamo da ta funkcija nije Riemann integrabilna. Funkcija
?
?
je integrabilna za svaki
?
∈
N
jer je to funkcija s konačno mnogo prekida.
4
UVOD
(2) Definiramo:
?
?
(
?
) =
{︂
2
?
2
?,
?
∈
[︀
0
,
1
2
?
]︀
,
2
?
2
2
?
−
1
(1
−
?
)
, ?
∈
⟨︀
1
2
?
,
1
]︀
.
Tada je
1
∫︁
0
?
?
(
?
)
??
=
?
2
, pa je jasno da odgovarajući limes ne postoji.
(3) Definiramo:
?
?
(
?
) =
⎧
⎨
⎩
4
?
2
?,
?
∈
[︀
0
,
1
4
?
]︀
,
−
4
?
2
?
+ 2
?, ?
∈
⟨︀
1
4
?
,
1
2
?
]︀
,
0
,
?
∈
⟨︀
1
2
?
,
1
]︀
.
Jasno je da je tada
?
= lim
?
→∞
?
?
≡
0
, pa je
1
∫︁
0
?
(
?
)
??
= 0
, dok je
lim
?
→∞
1
∫︁
0
?
?
(
?
)
??
=
1
4
,
jer je
1
∫︁
0
?
?
(
?
)
??
=
1
4
.
Ideja da se problemi kao onaj iz Primjera 1.6 riješe pomoću Riemannovog integrala neće uspjeti.
Vratimo se osnovnim pravilima za
?
.
Npr. dodajmo prebrojive unije.
(
?
?
:
?
∈
N
)
⊆
D
, ?
?
∩
?
?
=
∅
,
∀
?
̸
=
?
=
⇒
∞
⋃︁
?
=1
?
?
∈
D
, ?
(︃
∞
⋃︁
?
=1
?
?
)︃
=
∞
∑︁
?
=1
?
(
?
?
)
.
(1.8)
Primjer 1.6 sugerira da bi u prirodnim situacijama trebalo imati neku vrstu “jednolike razdiobe”,
preciznije, da za svaki
?
∈
D
i za svaki
?
∈
R
vrijedi
?
(
?
+
?
) =
?
(
?
)
.
(1.9)
Dakle, trebalo bi konstruirati strukturu koja zadovoljava (1.1), (1.2), (1.3), (1.4), (1.8) i (1.9).
Što uzeti za
D
? Uzmimo
D
=
?
(
R
)
. Sljedeći teorem nam govori da tada željena struktura ne
postoji!
Teorem 1.10
Ne postoji funkcija
?
:
?
(
R
)
→
[0
,
+
∞
]
koja zadovoljava (1.1), (1.2), (1.3),
(1.4), (1.8) i (1.9).
Dokaz.
Pretpostavimo suprotno, tj. da postoji
?
:
?
(
R
)
→
[0
,
+
∞
]
s navedenim svoj-
stvima.
Neka su
?, ?
⊆
R
takvi da je
?
⊆
?
. Po (1.4) slijedi
?
(
?
) =
?
(
?
) +
?
(
?
∖
?
)
. Budući da
je
?
(
?
∖
?
)
≥
0
dobivamo
?
⊆
?
=
⇒
?
(
?
)
≤
?
(
?
)
.
(1.11)
Na
R
definiramo relaciju
∼
.
?
∼
?
⇐⇒
?
−
?
∈
Q
.
Lako se vidi da je
∼
relacija ekvivalencije. Za
?
∈
R
označimo sa
?
?
pripadnu klasu ekviva-
lencije.
?
± ⌊
?
⌋ ∈
?
?
∩
[
−
1
,
1] =
⇒
?
?
∩
[
−
1
,
1]
̸
=
∅
,
∀
?
∈
R
.
Po aksiomu izbora postoji injekcija sa
R
/
∼
u
[
−
1
,
1]
. Označimo s
?
sliku te injekcije, posebno
?
⊆
[
−
1
,
1]
.
Neka je
Q
∩
[
−
2
,
2] =
{
?
?
:
?
∈
N
}
, te definirajmo,
∀
?
∈
N
?
?
:=
?
+
?
?
.
5
UVOD
∙
Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826. - 1866.)
Precizirao integral na način na koji to radimo i danas.
∙
Jean Gaston Darboux (1842. - 1917.)
Pokazuje da granični postupak uvijek vodi do
(
?
)
donje i
(︀
?
)︀
gornje Darbouxove sume.
∙
Henri Léon Lebesgue (1875. - 1941.)
U svojoj doktorskoj disertaciji 1902. na pariškom fakultetu Sorbonne razvija novi pojam
integrala koji ćemo naučiti u ovom kolegiju.
7
