2. Banachovi prostori
Normiran prostor je istovremeno i vektorski i metriˇcki prostor. Samim tim, u
njemu se koristi odnos ovih dveju struktura. Normiran prostor, ako je kao metriˇcki
prostor kompletan, naziva se Banachov prostor. Aksiome u vezi sa Banachovim
prostorima uveo je A. A. Bennett,
Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.
2,592-598 (1916).
Koriste´ci ove aksiome F. Riesz,
Acta Math.
41, 71-98 (1918), je znaˇcajno proˇsirio
teoriju Fredholmovih integralnih jednaˇcina. Nezavisno jedan od drugoga, S. Ba-
nach,
Fund. Math.
3, 133-181 (1922), N. Wiener,
Bull. Soc. Math. France
50,
119-134 (1922), i H. Hahn,
Monatsh. Math. Phys.
32, 3-88 (1922), koriste sliˇcne ak-
siome. S. Banach je dao fundamentalne rezultate za prostore odredjene pomenutim
aksiomama. Danas su to dobro poznati Banachovi prostori.
2.1. NORMIRANI PROSTORI, BANACHOVI PROSTORI
(2.1.1) Definicija.
Neka je
K
polje realnih brojeva
R
, ili polje komplek-
snih brojeva
C
, a
X
vektorski prostor nad
K
. Funkcija
x
7→ ||
x
||
sa
X
u
R
naziva
se
norma
na
X
ako zadovoljava slede´ce uslove:
||
x
|| ≥
0
za svako
x
∈
X,
(2.1.1.1)
||
x
||
= 0
ako i samo ako je
x
= 0
,
(2.1.1.2)
||
λx
||
=
|
λ
| ||
x
||
za svako
λ
∈
K
i svako
x
∈
X,
(2.1.1.3)
||
x
+
y
|| ≤ ||
x
||
+
||
y
||
za svako
x, y
∈
X.
(2.1.1.4)
Ako se u Definiciji 2.1.1 izostavi uslov (2.1.1.2) dobija se funkcija koja se naziva
semi-norma
. Za funkciju koja zadovoljava uslove (2.1.1.1) i (2.1.1.2) kaˇze se da
je
strogo pozitivna funkcija
. Funkcija koja zadovoljava uslov (2.1.1.3) je
apsolutno
homogena funkcija
. Ako funkcija zadovoljava uslov (2.1.1.4) kaˇze se da tada funkcija
zadovoljava
nejednakost trougla
ili da je
subaditivna
.
1
2
(2.1.2) Definicija.
Normiran prostor
(
normiran linearan prostor
,
normi-
ran vektorski prostor
) je par (
X,
||·||
), gde je
X
vektorski prostor, a
x
7→ ||
x
||
norma
na
X
.
Obiˇcno, kaˇzemo “
X
je normiran prostor”, a podrazumevamo da je na
X
defi-
nisana norma koju oznaˇcavamo sa
|| · ||
. Ako je
X
normiran prostor, ˇcesto se
kaˇze da je
X
realan
(
kompleksan
)
normiran prostor
ukoliko je
X
realan (kom-
pleksan) vektorski prostor. Ukoliko je
X
normiran prostor i dimenzija vektorskog
prostora
X
konaˇcna (beskonaˇcna), tada se kaˇze da je normiran prostor
X
konaˇcno-
dimenzionalan
(
beskonaˇcno-dimenzionalan
)
prostor
.
(2.1.3) Definicija.
Neka je
X
normiran prostor i
d
funkcija sa
X
×
X
u
R
, definisana sa
d
(
x, y
) =
||
x
−
y
||
za svako
x, y
∈
X.
(2.1.3.1)
Lako se dokazuje da je (
X, d
) metriˇcki prostor. Za funkciju
d
kaˇze se da je
metrika
definisana normom
ili da je
prirodna metrika
na normiranom prostoru
X
.
Ako posebno ne naglasimo, uvek kada normiran prostor razmatramo kao metriˇcki
prostor, podrazumevamo da je on metriˇcki prostor sa metrikom koja je definisana
normom.
Kako je normiran prostor (
X,
|| · ||
) ujedno i metriˇcki prostor (
X, d
), to se svi
pojmovi i stavovi za metriˇcke prostore na prirodan naˇcin prenose i na normirane
prostore. Na primer, niz (
x
n
) u (
X,
||·||
)
konvergira
ka
x
∈
X
ako niz (
x
n
) konvergira
u (
X, d
), t.j., ako
d
(
x
n
, x
) =
||
x
n
−
x
|| →
0 kad
n
→ ∞
.
(2.1.3.2)
Ako je
X
normiran prostor i (
Y, τ
) topoloˇski prostor, tada je funkcija
f
:
X
7→
Y
neprekidna
u
x
0
∈
X
ako za svaku okolinu
U
taˇcke
f
(
x
0
), postoji okolina
V
taˇcke
x
0
, takva da je
f
(
V
)
⊂
U
. Na primer,
norma je neprekidna funkcija
: ovo sledi iz
nejednakosti
| ||
x
|| − ||
y
|| | ≤ ||
x
−
y
||
za svako
x, y
∈
X .
(2.1.3.3)
Lako se dokazuje da ako su
x, y
∈
X
,
λ
∈
K
, (
x
n
) i (
y
n
) nizovi iz
X
, i (
λ
n
) niz
iz
K
, tada
x
n
→
x
i
y
n
→
y
=
⇒
x
n
+
y
n
→
x
+
y,
(2.1.3.4)
x
n
→
x
i
λ
n
→
λ
=
⇒
λ
n
x
n
→
λx.
(2.1.3.5)
4
Iz (2.1.5.2) i (2.1.5.4) sledi
d
(
x, y
) =
f
(
x
−
y
)
,
(2.1.5.5)
i metrika
d
je definisana normom
f
.
¥
Nastavljamo ovu sekciju nekim rezultatima koji se odnose na konaˇcno-dime-
nzionalne normirane prostore. Ovi prostori imaju mnoge osobine na koje smo
navikli prouˇcavaju´ci Euklidove prostore
R
n
i
C
n
. Za naˇs dalji rad od znaˇcaja je
slede´ca lema, koja se ˇcesto zove
lema o linearnim kombinacijama.
(2.1.6) Lema.
Neka je
{
x
1
, x
2
, . . . , x
n
}
linearno nezavisan skup vektora u
normiranom prostoru
X
. Tada postoji pozitivan broj
c
takav da za svako
λ
1
, λ
2
, . . .
, λ
n
∈
K
vaˇzi nejednakost
||
λ
1
x
1
+
· · ·
+
λ
n
x
n
|| ≥
c
(
|
λ
1
|
+
· · ·
+
|
λ
n
|
)
.
(2.1.6.1)
Dokaz.
Kako bi pojednostavili dokaz, oznaˇcimo sumu
|
λ
1
|
+
· · ·
+
|
λ
n
|
sa
t
.
Ako je
t
= 0, nejednakost (2.1.6.1) je oˇcigledno taˇcna za svako
c
. Pretpostavimo
da je
t >
0. U ovom sluˇcaju nejednakost (2.1.6.1) je ekvivalentna sa nejednakoˇs´cu
koja se dobija iz (2.1.6.1) kada se ova podeli sa
t
i uvede smena
µ
i
=
λ
i
/t
, t.j., sa
||
µ
1
x
1
+
· · ·
+
µ
n
x
n
|| ≥
c,
³
n
X
i
=1
|
µ
i
|
= 1
´
.
(2.1.6.2)
Prema tome, dovoljno je dokazati (2.1.6.2) za svaku
n
-torku skalara
µ
1
, . . . , µ
n
,
koja zadovoljava uslov
P
n
i
=1
|
µ
i
|
= 1
.
Ako nejednakost (2.1.6.2) nije taˇcna, tada postoji niz (
y
m
) iz
X
takav da je
y
m
=
α
(
m
)
1
x
1
+
· · ·
+
α
(
m
)
n
x
n
,
n
X
i
=1
¯
¯
α
(
m
)
i
¯
¯
= 1
,
m
= 1
,
2
, . . . ,
(2.1.6.3)
i da
||
y
m
|| →
0
,
(
m
7→ ∞
)
.
Iz
P
n
i
=1
¯
¯
α
(
m
)
i
¯
¯
= 1, sledi
¯
¯
α
(
m
)
i
¯
¯
≤
1,
i
= 1
, . . . , n
. Prema tome, za svako
i
=
1
, . . . , n
, niz
¡
α
(
m
)
i
¢
∞
m
=1
je ograniˇcen. Na osnovu Bolzano-Weirstrassovog stava,
niz
¡
α
(
m
)
1
¢
∞
m
=1
ima konvergentan podniz. Oznaˇcimo sa
α
1
graniˇcnu vrednost ovog
podniza, a sa (
y
1
,m
) odgovaraju´ci podniz niza (
y
m
). Dalje, analognim rasudjivan-
jem, zakljuˇcujemo da niz (
y
1
,m
) ima podniz (
y
2
,m
) kod koga odgovaraju´ci pod-
niz niza
¡
α
(
m
)
2
¢
∞
m
=1
konvergira, recimo ka graniˇcnoj vrednosti
α
2
. Primenjuju´ci
5
navedeni postupak, posle
n
-tog koraka dolazimo do podniza (
y
n,m
)
∞
m
=1
niza (
y
m
)
ˇciji su ˇclanovi oblika
y
n,m
=
P
n
i
=1
β
(
m
)
i
x
i
, (
P
n
i
=1
¯
¯
β
(
m
)
i
¯
¯
= 1), a nizovi skalara
β
(
m
)
i
→
α
i
, (
m
→ ∞
),
i
= 1
, . . . , n
. Sledi
y
n,m
→
y
=
P
n
i
=1
α
i
x
i
, (
m
→ ∞
),
odnosno
P
n
i
=1
|
α
i
|
= 1. Odavde, zato ˇsto je skup
{
x
1
, . . . , x
n
}
linearno nezavisan,
sledi
y
6
= 0, a iz (2.1.6.3)
y
= 0
.
Doˇsli smo do kontradikcije.
¥
Ako je (
X,
|| · ||
) normiran prostor i
Y
potprostor vektorskog prostora
X
, tada je
restrikcija norme
||·||
na
Y
oˇcigledno norma na
Y
, i normiran prostor (
Y,
||·||
) naziva
se
potprostor normiranog prostora
X
. Obiˇcno se jednostavnije kaˇze “
Y
je potprostor
u
X
”, ili “
Y
je potprostor normiranog prostora
X
”, a naravno podrazumeva se da
se radi o normiranom potprostoru (
Y,
||·||
). Primetimo da je zatvorenje potprostora
takodje potprostor.
(2.1.7) Teorema.
Svaki konaˇcno-dimenzionalan potprostor
Y
normiranog
prostora
X
je kompletan (Banachov). Specijalno, svaki konaˇcno-dimenzionalan
normiran prostor je kompletan (Banachov).
Dokaz.
Neka je (
y
n
) Cauchyjev niz u
Y
, i
{
e
1
, . . . , e
m
}
baza prostora
Y
. Svaki
vektor
y
n
moˇze se na jedinstven naˇcin prikazati kao linearna kombinacija vektora
baze, t.j.,
y
n
=
λ
(
n
)
1
e
1
+
· · ·
+
λ
(
n
)
m
e
m
. Kako je (
y
n
) Cauchyjev niz, to za svako
² >
0
postoji
n
0
, tako da iz
n, k
≥
n
0
sledi
°
°
y
n
−
y
k
°
°
< ²
. Na osnovu Leme 2.1.6 postoji
c >
0, tako da je za svako
n, k
≥
n
0
,
°
°
y
n
−
y
k
°
°
=
°
°
m
X
i
=1
¡
λ
(
n
)
i
−
λ
(
k
)
i
¢
e
i
°
°
≥
c
m
X
i
=1
¯
¯
λ
(
n
)
i
−
λ
(
k
)
i
¯
¯
,
(2.1.7.1)
odnosno
¯
¯
λ
(
n
)
i
−
λ
(
k
)
i
¯
¯
≤
m
X
j
=1
¯
¯
λ
(
n
)
j
−
λ
(
k
)
j
¯
¯
<
²
c
.
(2.1.7.2)
Iz (2.1.7.2) sledi da je za svako
i
niz (
λ
(
n
)
i
)
∞
n
=1
Cauchyjev u
R
ili u
C
. On je
zato konvergentan, i neka je
λ
i
,
i
= 1
, . . . , m
, njegova granica. Sada, vektor
y
=
λ
1
e
1
+
· · ·
+
λ
n
e
n
∈
Y
, a lako se dokazuje
y
n
→
y
, (
n
→ ∞
).
¥
Kao posledica ove teoreme je
(2.1.8) Teorema.
Svaki konaˇcno-dimenzionalan potprostor
Y
normiranog
prostora
X
je zatvoren u
X
.
Dokaz.
Na osnovu Teoreme 2.1.7,
Y
je kompletan prostor, a prema tome on je
zatvoren u
X
.
¥
7
(2.2.1) Primer.
Posmatrajmo, kao vektorski prostor,
R
ili
C
sa normom, re-
spektivno, apsolutna vrednost i modul. Ovo su, dobro poznati, Banachovi prostori.
(2.2.2) Primer.
Za svaki prirodan broj
n
prostor
C
n
(
R
n
) uredjenih
n
- torki
x
= (
x
1
, . . . , x
n
) kompleksnih (realnih) brojeva sa normom
k
x
k
=
³
n
X
i
=1
|
x
i
|
p
´
1
/p
,
(1
≤
p <
∞
)
,
(2.2.2.1)
je Banachov prostor.
Nejednakost Minkowskog
, za (1
≤
p <
∞
),
³
n
X
i
=1
|
x
i
+
y
i
|
p
´
1
/p
≤
³
n
X
i
=1
|
x
i
|
p
´
1
/p
+
³
n
X
i
=1
|
y
i
|
p
´
1
/p
,
(
x
i
)
n
i
=1
,
(
y
i
)
n
i
=1
∈
n
,
(2.2.2.2)
koristi se u dokazu da funkcija (2.2.2.1) zadovoljava nejednakost trougla. Norma
(2.2.2.1) se oznaˇcava sa
k · k
p
.
(2.2.3) Primer.
Prostor
`
p
, (1
≤
p <
∞
), svih kompleksnih (realnih) nizova
x
= (
x
i
) sa svojstvom
P
∞
i
=1
|
x
i
|
p
<
∞
je Banachov prostor sa normom
k
x
k
=
³
∞
X
i
=1
|
x
i
|
p
´
1
/p
.
(2.2.3.1)
Umesto
`
1
ˇcesto se piˇse
`
, a norma (2.2.3.1) se ˇcesto oznaˇcava
k · k
p
.
(2.2.4) Primer.
Prostor
`
∞
, svih kompleksnih (realnih) nizova
x
= (
x
i
) sa
svojstvom sup
i
|
x
i
|
<
∞
, je Banachov prostor sa normom
k
x
k
= sup
i
|
x
i
|
.
(2.2.4.1)
ˇ
Cesto se norma (2.2.4.1) oznaˇcava
k · k
∞
.
(2.2.5) Primer.
Za svaki merljiv prostor (
X,
R
, µ
), prostor
L
p
(
µ
), (1
≤
p <
∞
), ili jednostavnije
L
p
, (1
≤
p <
∞
) svih merljivih funkcija
f
sa svojstvom
R
|
f
|
p
dµ <
∞
, je Banachov prostor (videti Teoremu 2.5.4) sa normom
k
f
k
=
³Z
|
f
|
p
dµ
´
1
/p
.
(2.2.5.1)
Napomenimo da u
L
p
identifikujemo funkcije koje su jednake
µ
skoro svuda na
X
.
Nejednakost Minkowskog
za integrale, za (1
≤
p <
∞
),
³Z
|
f
+
g
|
p
dµ
´
1
/p
≤
³Z
|
f
|
p
dµ
´
1
/p
+
³Z
|
g
|
p
dµ
´
1
/p
,
f, g
∈
L
p
,
(2.2.5.2)
