Elementarne ekscitacije i magnetne osobine kvazi – dvodimenzionalnih antiferomagnetnih materijala

Elementarne ekscitacije i magnetne 

osobine kvazi 

– dvodimenzionalnih 

antiferomagnetnih materijala

-

diplomski rad -

Mentor: dr Milan Pantić                                   Kandidat: Slobodan Radošević 

Novi Sad, 2006 

UNIVERZITET U NOVOM SADU 

PRIRODNO-MATEMATIČKI  

FAKULTET 

DEPARTMAN ZA FIZIKU 

2 

SADRŽAJ 
 
Uvod……………………………………………………………………………………… 3 
 
1. Hajzenbergov model i antiferomagnetizam 
     1.1. Poreklo integrala izmene…………………………………………………………. 5 
     1.2. Hamiltonijan kvazi – dvodimenzionalnih antiferomagnetika……………………..9 
     1.3. Spektar elementarnih ekscitacija……………………….……………...……….   12 
 
2. Numerička analiza magnetnih svojstave kvazi – dvodimedzionalnih 
     Antiferomagnetika……...…………………………………………………………….22 
      2.1. Nelova temperature i magnetizacija za Rb

2

MnCl

4

…………………………...…25 

      2.2. Nelova temperature i magnetizacija za MAMC - D………………………….…27 
      2.3. Nelova temperature i magnetizacija za Rb

2

MnF

4

……..……………………...…25 

 
Zaključak………………………………………………………………………...……….31 
 
Dodatak 1………………………………………………………………………………..32 
Dodatak 1………………………………………………………………………………..36 
 
Literatura………………………………………………………………………………....41 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4 

nisu  u  stanju  da  objasne.  Tako  se  pri  razmatranju  dijamagnetizma  uzimalo  da  srednje 
rastojanje  elektrona  od  jezgra  atoma  ima  konstantnu  vrednost,  što  odgovara  postojanju 
stacionarnih orbita, koje klasična fizika ne može da objasni. Slično tome, bez objašnjenja 
je ostao mehanizam nastanka domena spontane magnetizacije kod feromagnetika. 
Iz  neuspeha  klasične  fizike  nastala  je  kvantna  teorija.  Jedan  od  osnovnih  rezultata 
kvantne  mehanike  je  postojanje  sopstvenog  momenta  čestica  –  spina  (u  stvari  otkriće 
spina  je  prethodilo  strogom  zasnivanju  kvantne  mehanike,  ali  je  njegovo  tumačenje 
dobijeno  tek  posle  formulisanja  Dirakove  relativističke  teorije  elektrona).  Posledica 
postojanja  spina  je  postojanje  sopstvenog  magnetnog  momenta.  Nova  teorija  se  na  svoj 
način pozabavila i sa magnetnim pojavama. 
 

Često se kao osnova za kvantno tumačenje magnetnih osobina materije uzima tzv. 

Hajzenbergov  model  koji  se  zasniva  na  pretpostavci  postojanja  lokalizovanih  spinskih 
magnetnih  momenata  u  čvorovima  kristalne  rešetke.  Oni  potiču  od  nesparenih  spinova 
elektrona  u  atomima,  odnosno  jonima.  Interakcije  između  ovih  spinova  su  preko  sila 
izmene,  koje  su  posledica  principa  nerazlikovanja  čestica  iste  vrste  formulisanog  tek 
pojavom  kvantne  mehanike.  Važno  je  uvideti  da  ni  pojam  spina,  kao  ni  interakcija 
izmene ne postoje u klasičnoj fizici. Ovo je jedan potpuno novi prilaz problemu. 
 

Hajzenbergov  model  omogućava  istovremeno  tumačenje  feromagnetizma  i 

antiferomagnetizma.  Ovaj  rad  upravo  predstavlja  primenu  Hajzenbergovog  modela  na 
jednu  klasu  antiferomagnethih  jedinjenja.  Reč  je,  dakle,  o  jedinjenjima  hlorida    i 
mangana. Atomi mangana imaju spin S = 5/2 i grade magnetnu kristalnu rešetku, dok se 
hloridi  postavljaju  duž  z-ose.  S  obzirom  da  je  njihov  radijus  veliki,  oni  ekraniraju 
interakciju između atoma mangana, koji pripadaju različitim slojevima. Zbog toga se ovi 
sistemi ponašaju kao dvodimenzionalni antiferomagnetici. U radu će najpre biti formiran 
modelni    hamiltonijan  sistema.  Zatim  će,  na  bazi  metoda  dvovremenskih  Grinovih 
funkcija  biti  određen  spektar  elementarnih  ekscitacija  i  na  osnovu  toga  nađene 
magnetizacija  sistema  i  izračunate  odgovarajuće  Nelove  temperature  za  jedinjenja 
Rb

2

MnCl

4

, Rb

2

MnF

4

 i (CH

3

Nh

3

)

2

MnCl

4

 (tj. MAMC – D). 

5 

1. HAJZEHBERGOV MODEL I ANTIFEROMAGNETIZAM 
 
    1.1 POREKLO INTERAKCIJE IZMENE 
 
 
 
            Od ovog odeljka ne treba očekivati iscrpan prikaz svih osobina antiferomagnetika 
ili  eksperimenzalnih  thenika  za  njihovo  proučavanje.  Osnovni  cilj  ovog  odeljka  je 
definisanje Nelove temperature, kao i dobijanje  hamiltonijana na koji će biti primenjen 
metod Grinovih funkcija u nastavku.  
            U  uvodu  je  spomenuto  da  se  Hajzenbergov  model  zasniva  na  postojanju 
interakcije  izmena,  koja  ima  čisto  kvantni  karakter.  Da  bi  pokazali  njen  smisao, 
posmatrajmo  sistem  koji  se  sastoji  od  dve  čestice.  Hamiltonijan  sistema  ima  sledeći 
oblik: 
 

)

(

)

(

ˆ

)

(

ˆ

ˆ

2

1

2

2

1

1

r

r

V

r

H

r

H

H









,                                  (1.1.-1) 

pri  čemu  su 

Ĥ

1

  i 

Ĥ

1

    hamiltonijani  slobodnih  čestica,  a 

V

  je  interakcija  koja  zavisi  od 

rastojanja između čestica.  Smatraćemo da su nam poznata rešenja svojstvenih problema 
nepertubovanih hamiltonijana: 
 

2

,

1

,

ˆ

,

,

,

i

E

H

i

k

i

k

i

k

i

.                                            (1.1.-2) 

Indeks 

k

  se  odnosi  na  određeno  stanje.  U  prvoj  aproksimaciji,  rešenje  svojstvenog 

problema za hamiltonijan (1.1.-1) je 
 

)

(

)

(

)

,

(

2

2

1

1

2

1

r

r

r

r









. 

Ali, elektroni su identične čestice. Jedan od bitnih rezultata kvantne mehanike govori da 
se identične čestice međusobno ne mogu razlikovati. Zbog toga, rešenje problema može 
biti i 
 

)

(

)

(

)

,

(

1

2

2

1

2

1

r

r

r

r









. 

 
Opšte  rešenje  je  linearna  kombinacija  prethodna  dva.  Talasna  funkcija  mora  biti 
normirana na jedinicu, pa je opšte rešenje: 
 

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

)

,

(

1

2

2

1

2

2

1

1

2

1

r

r

r

r

r

r













.                      (1.1.-3) 

 
Ukoliko  su  čestice  Bozoni,  talasna  funkcija  je  parna  (ili  simetrična  u  odnosu  na 
permutovanje  čestica),  a  ukoliko  su  Fermioni,  talasna  funkcija  je  neparna,  odnosno 
antisimetrična. 
           U nerelativističkom limesu, energija čestica, kao i njihiva interakcija, ne zavise od 
spina.  To  dozvoljava  da  se  razdvoje  prostorna  i  spinske  promenjive.  Ograničimo 

7 

Prethodna  jednakost  se  dobija  kvadriranjem  izraza   

2

1

ˆ

ˆ

ˆ

S

S

S







.  Za  slučaj 

S

  =  0  lako 

nalazimo ( imajući u vidu da je 

4

/

3

)

1

2

/

1

(

2

/

1

2

2

2

1

S

S

) 

.

0

,

4

3

4

1

2

1

ˆ

S

J

J

V

ex

Slično, za 

S

 = 1 dobija se (

2

)

1

1

(

1

,

4

/

3

)

1

2

/

1

(

2

/

1

2

2

2

2

1

S

S

S

) : 

.

1

,

4

1

4

1

2

1

ˆ

S

J

J

V

ex

Prethodni rezultati nam govore sledeće: Ukoliko je 

J

 pozitivna veličina, spinovi sistema 

će se orijentisati paralelno, jer je ukupna energija sistema manja (skalarni proizvod 

2

1

ˆ

ˆ

S

S





je  tada  veći  od  nule).  Supstance  kod  kojih  su  spinovi  orijentisani  paralelno  su 
feromagnetici. Ali, ako je vrednost integrala izmene manja od nule, spinovi će težiti da se 
orijentišu antiparalelno . Tada govorimo o antiferomagneticima.  
            Hamiltonijan Hajzenbergovog modela, a koji sledi iz prethodnih razmatranja je : 
 

m

n

m

n

S

S

m

n

J

H

















ˆ

ˆ

)

(

2

1

ˆ

Σ

Σ

(1.1.-4) 

Sumiranje se vrši po svi čvorovima  rešetke. Spinski operatori koji deluju na pojedinim 
čvorovima  potiču  od  nesparenih  sopstvenih  momenata  elektrona  koji  ulaze  u  sastav 
atoma, odnosno jona ili molekula, na posmatranom čvoru. Veličina 

)

(

m

n

J





predstavlja 

integral izmene, koji po pretpostavci zavisi samo od rastojanja između čvorova. 
Pošto  se  na  ovom  mestu  razmatraju  antiferomagnetici  definisaćemo  vrednost  integrala 
izmene kao 
 

m

n

J

m

n

J

m

n

J













)

(

)

(

,  

da bi baratali sa pozitivnom veličinom. 
Relacijom (4) je definisan izotropni Hajzenbergov model, jer se pretpostavlja da veličina 
integrala izmene ne zavisi od pravca u prostoru.  Opštiji  je tzv. izotropni Hajzenbergov 
model, okarakterisan Hamiltonijanom: 
 

z

m

z

n

z

m

n

y

m

y

n

y

m

n

x

m

x

n

x

m

n

m

n

S

S

J

S

S

J

S

S

J

H









































ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

2

1

ˆ

Σ

Σ

, 

kod kojeg je uračunata zavisnost integrala izmene od pravca u prostoru. Najopštiji je ovaj 
slučaj, kad su sve tri vrednosti različite.