Operatorsko rešavanje diferencnih jednačina i fononi u kristalnim nanostrukturama

UNIVERZITET U NOVOM SADU

PRIRODNO-MATEMATI ˇ

CKI FAKULTET

DEPARTMAN ZA FIZIKU

– D I P L O M S K I R A D –

OPERATORSKO REˇ

SAVANJE DIFERENCNIH JEDNA ˇ

CINA

I FONONI U KRISTALNIM NANOSTRUKTURAMA

M E N T O R

P R O F . D R

J O V A N

ˇ

S E T R A J ˇ

C I ´

C

K A N D I D A T

B A C K O V I ´

C

D A N I L O

Novi Sad

, 2005. godine

Predgovor

Savremena nauka materijala istraˇzuje mogu´cnost ,,pojaˇcavanja”odredenih (potrebnih) i ,,pri-

guˇsivanje” drugih (nepotrebnih) fiziˇckih osobina. U tu svrhu su posebno ispitivani niskodimen-
zioni kristalni sistemi (ultratanki filmovi, superreˇsetke, te kvantne ˇzice i taˇcke).

Danaˇsnji razvoj tehnike i tehnologije omogu´cava pravljenje ovakvih kvantnih sistema, eksper-

imentalni rezultati su prisutni i merna oprema moˇze da ih prati, ali se u domenu teorijskih
razmatranja (modelovanja i analitiˇckog reˇsavanja) veoma malo uradilo.

Najve´ca poteˇsko´ca je upravo u slabo i neadekvatno primenljivom matematiˇckom aparatu. U

ovom radu se pokazuje da se metode diferencnog raˇcuna uz odgovaraju´cu podrˇsku numeriˇckih
proraˇcuna mogu uspeˇsno primeniti na iznalaˇzenje zakona disperzije i Grinovih funkcija fonona u
ultratankim kristalnim filmovima.

Fononi su osnovna elementarna pobudenja u fizici ˇcvrstog stanja, odreduju sve mehaniˇcke

osobine sistema, uˇcestvuju u svim transportnim procesima definiˇsu´ci praktiˇcno sve relevantne
karakteristike supstancije. U radu su odredene osnovne termodinamiˇcke veliˇcine fononskog pod-
sistema: kinetiˇcka i potencijalna energija.

Ovaj diplomski rad je uradjen pod mentorstvom prof. dr Jovana ˇSetrajˇci´ca.

Novi Sad, 20.06.2005.

Backovi´c Danilo

Backovi´c Danilo

Operatorsko reˇsavanje diferencnih jednaˇcina i nanostrukture

4

1

Uvod

Savremena nauˇcna istraˇzivanja u fizici materijala okrenuta su ka ispitivanju neverovatnih

mogu´cnosti promena karakteristika supstancija malih prostornih dimenzija. Grada takvih sup-
stancija je nanostrukturna i odluˇcuju´ci uticaj na njihove fiziˇcke osobine imaju: postojanje
graniˇcnih i izmenjeni elementarni graniˇcni parametri.

Prostorno jako niskodimenzioni kristalni sistemi – nanostrukture(ultratanki filmovi, kvantne

ˇzice, grede, taˇcke i sl.) se danas ˇsiroko istraˇzuju. Tehnoloˇski postupci za dobijanje nano uzoraka,

napredovali su do te mere da je mogu´ce izraditi slojeve manje od srednje duˇzine puta nosilaca
naelektrisanja, reda veliˇcine 1 – 10 nm (epitaksija molekulskim snopom, naparavanje iz metal-
organskih jedinjenja). Ove debljine su reda veliˇcine fononske talasne duˇzine ˇsto stvara izmenjena
i neoˇcekivana svojstva materijala u odnosu na analogne masivne strukture. Ti makroskopski
kvantni efekti (u smislu da je kvantnomehaniˇcki pristup neophodan ne samo za reˇsavanje kretanja
sastavnih delova sistema, nego i za ponaˇsanje sistema u celini) su od praktiˇcnog znaˇcaja za
opto/nano elektroniku. Sa fundamentalne strane, smatra se da upravo slojevite strukture kriju
u sebi tajnu, joˇs neobjaˇsnjene visokotemperaturne superprovodljivosti.

Teorijska istraˇzivanja u fizici ˇcvrstog stanja bazirana su na postavkama modela i njihovoj anal-

izi metodama koje su uvedene u statistiˇcku kvantnu fiziku – pozajmicom iz kvantne teorije polja.
Kod prostorno neograniˇcenih i translaciono invarijantnih kristalnih sistema ova ,,pozajmica” je
mogla adekvatno da se upotrebi i valorizuje.

Medutim, u savremenoj nanotehnoloˇski ,,izreˇziranoj” slici, dimenziono kvantovanje (kvantni

efekti usled malih prostornih dimenzija uzoraka) nalaˇze i zahteva precizniju, kvalitetniju i adek-
vatniju upotrebu matematiˇckog aparata. Kada su kristalni uzorci nano-dimenzija, jasno je da
fiziˇcke veliˇcine koje karakteriˇsu osobine posmatranog sistema definiˇsu njihove skokovite (kvantne)
promene od ˇcvora do ˇcvora kristalne reˇsetke. Sve karakteristike moraju da ,,odslikavaju” njihovu
diskretnu kristalnu gradu i promene na granicama ovih uzoraka su od fundamentalnog znaˇcaja za
ponaˇsanje i osobine celog uzorka. Umesto diferencijalno-integralnog aparata kojeg koristi klasiˇcna
fizika, a prilagodila je i teorija izotropnih i neograniˇcenih kristala, ovde se mogu primeniti samo
postavke diferencnog raˇcuna.

Ovaj rad je, zbog toga, posve´cen matematiˇckoj analizi iznalaˇzenja reˇsenja onih tipova difer-

encnih jednaˇcina koje se mogu javiti u teorijskim istraˇzivanjima nanokristala. Kao primer raz-
matran je osnovni podsistem elementarnih pobudenja – fononi u kristalnim nanofilmovima.

Backovi´c Danilo

Operatorsko reˇsavanje diferencnih jednaˇcina i nanostrukture

5

2

Elementi teorije diferencnih jednaˇ

cina

2.1

Diskretno diferenciranje i antidiferenciranje

Diskretan izvod funkcije diskretne promenljive

n

po toj promenljivoj u reprezentaciji transla-

cionih operatora se definiˇse kao:

∆

F

n

∆

n

def

=

F

n

+1

−

F

n

.

(2.1)

Priraˇstaj (diferencija) argumenta je ∆

n

= 1, tako da se u formulama izostavlja; ovde se navodi

samo radi jasno´ce po kojoj promenljivoj se diferencira. U suˇstini, svejedno je da li operiˇsemo
sa pojmom diskretnog izvoda (∆

/

∆

n

) ili pojmom diferencije funkcije (∆), jer su to identiˇcni

operatori. Na osnovu definicije se traˇze izvodi viˇseg reda:

∆

2

F

n

∆

n

2

=

∆

∆

n

(

F

n

+1

−

F

n

) =

F

n

+2

−

2

F

n

+1

+

F

n

;

∆

3

F

n

∆

n

3

=

F

n

+3

−

3

F

n

+2

+ 3

F

n

+1

−

F

n

;

(2.2)

∆

m

F

n

∆

n

m

=

m

X

k

=0

(

−

1)

k

µ

m

k

¶

F

n

+

m

−

k

.

Osobine operacije diskretnog izvoda su:

∆

∆

n

(

F

n

+

H

n

) =

∆

F

n

∆

n

+

∆

H

n

∆

n

;

∆

∆

n

(

kF

n

) =

k

∆

∆

n

F

n

;

∆

∆

n

(

F

n

H

n

) =

F

n

+1

H

n

+1

−

F

n

H

n

±

F

n

+1

H

n

=

=

∆

F

n

∆

n

H

n

+

F

n

+1

∆

H

n

∆

n

±

F

n

∆

H

n

∆

n

=

=

∆

F

n

∆

n

H

n

+

F

n

∆

H

n

∆

n

+

∆

F

n

∆

n

∆

H

n

∆

n

;

∆

2

∆

n

2

(

F

n

H

n

) =

∆

2

F

n

∆

n

2

H

n

+

∆

2

H

n

∆

n

2

F

n

+

(2.3)

+ 2

∆

2

F

n

∆

n

2

∆

H

n

∆

n

+ 2

∆

2

H

n

∆

n

2

∆

F

n

∆

n

+

+ 2

∆

F

n

∆

n

∆

H

n

∆

n

+

∆

2

F

n

∆

n

2

∆

2

H

n

∆

n

2

;

Backovi´c Danilo

Operatorsko reˇsavanje diferencnih jednaˇcina i nanostrukture

7

Sada treba na´ci eksplicitni oblik ovog inverznog operatora. On ´ce imati dve forme, koje slede iz

ˇcinjenice da se osnovni operator ( ˆ

T

k

−

1) moˇze napisati na dva naˇcina, u zavisnosti od toga koji

sabirak faktoriˇsemo ispred zagrade:

( ˆ

T

1

−

1) =

(

ˆ

T

1

(1

−

ˆ

T

−

1

);

−

(1

−

ˆ

T

1

)

.

(2.10)

Na osnovu ovoga, a po pravilu za razvoj geometrijske progresije, inverzni operator je dat sa:

( ˆ

T

1

−

1)

−

1

=















(1

−

ˆ

T

−

1

)

−

1

ˆ

T

−

1

=

∞

P

k

=0

ˆ

T

−

k

−

1

;

−

(1

−

ˆ

T

1

)

−

1

=

−

∞

P

k

=0

ˆ

T

k

.

(2.11)

S obzirom na dobijenu formulu, diskretni integral funkcije

F

n

´ce se raˇcunati po obrascu:

∆

−

1

∆

n

F

n

=















∞

P

k

=0

ˆ

T

−

k

−

1

F

n

=

F

n

−

1

+

F

n

−

2

+

F

n

−

3

+

. . .

−

∞

P

k

=0

ˆ

T

k

F

n

=

−

F

n

−

F

n

+1

−

F

n

+2

−

. . .

U slede´coj tabeli dat je pregled nekoliko diskretnih izvoda i integrala tipiˇcnih funkcija.

1

1

Kao ˇsto je u diferencijalnom raˇcunu skup elementarnih funkcija proˇsiren za funkciju ln

x

, da bi imali prim-

itivnu funkciju, od funkcije 1

/x

, tako se i u diferencnom raˇcunu uvodi Psi funkcija sa osobinom ∆Ψ

n

= 1

/n

.

Njena definicija je:

Ψ

n

def

= (ln Γ

n

)

0

=

Γ

0

n

Γ

n