0
VISOKA MEDICINSKA ŠKOLA
PRIJEDOR
SMJER: Sanitarno inženjerstvo
SEMINARSKI RAD
PREDMET: Statistika sa metodologijom naučnog
istraživanja
TEMA: Kombinatorika i vjerovatnoća u statistici
STUDENT: Nataša Đokić SI-601/2016 MENTOR: Nenad Stojanović Prof.Dr
PRIJEDOR,
decembar
2016.
3
2. KOMBINATORIKA
Kombinatorika je oblast u matematici koja se bavi problemima rasporeda elemenata iz konačnih
skupova kao i prebrojavanjem mogućih rasporeda.
U kombinatorici imamo princip proizvoda I princip zbira.
Primjer 1
.
Od Sombora do Novog Sada vode 3 različita puta, a od Novog Sada do Beograda vode
2 različita puta. Na koliko načina Sanja i Aleksandar mogu da stignu od Sombora do Beograda?
Odgovor. Označimo puteve koji vode od Sombora do Novog Sada sa x
1
, x
2
i x
3
, a puteve koji
vode od Novog Sada do Beograda sa y
1
i y
2
. Sanja i Aleksandar prvo biraju put od Sombora do
Novog Sada. Pretpostavimo da su odabrali put x
1
. Tada njihov put od Sombora do Beograda
može da bude jedna od dve mogućnosti: x
1
y
1
ili x
2
y
2
. Slično, ako od Sombora do Novog Sada
odaberu put x
2
, put od Sombora do Beograda može da bude jedna od dve mogućnosti: x
2
Y
1
ili
x
2
y
2
. Konačno, ako od Sombora do Novog Sada odaberu put x
3
, put od Sombora do Beograda
može da bude jedna od dve mogućnosti: X
3
Y
1
ili x
3
y
2
. Dakle, nabrojali smo šest mogućih puteva
kojima Sanja i Aleksandar mogu da stignu od Sombora do Beograda.
Treba primetiti da su Sanja i Aleksandar u svom prvom koraku imali 3 moguća izbora, a u
drugom još 2. Svakom izboru puta x
1
, x
2
ili x
3
pridružuje se jedan od dva izbora puta y
1
ili y
2
.
Zato imamo 3 * 2 = 6 mogućnosti.
U teoriji kombinatorike razlikuju se tri vrste rasporeda:
permutacije,
varijacije i
kombinacije.
2.1.Permutacija
Pojam permutacije vezuje se za permutovanje, odnosno preuređivanje objekata, promenu
njihovog
redosleda. Permutacija na skupu je ređanje elemenata skupa u bilo kom poretku. Permutovati
brojeve znači zameniti njihov redosled.
4
Primjer 2.
Napisati sve permutacije nad skupom: (a) A1 = {1}, (b) A2 = {1; 2}, (c) A3 =
{1; 2; 3}, (d) A4 = {1; 2; 3; 4}. Koliko ima permutacija nad datim skupovima?
Odgovor.
(a) Nad skupom A1 ima jedna permutacija: 1.
(b) Nad skupom A2 postoje dve permutacije: 12 i 21.
(c) Nad skupom A3 ima 6 permutacija: 123, 132, 213, 231, 312 i 321.
Primjetimo na koji način smo ispisali ove permutacije. Prvo smo fiksirali na prvom mestu
element 1, a zatim dopisali sve permutacije preostala dva elementa 2 i 3. Zatim smo fiksirali na
prvom mestu element 2, i nakraju 3 i dopisivali permutacje preostala dva elementa (kojih opet
ima po dve). Dakle, imali smo
tri puta po dve permutacije, odnosno, 3* 2 = 6.
(d) Na isti način kao u zadatku pod (c) prvo ćemo fiksirati na prvom mestu broj 1, a brojeve
2; 3; 4 nizati na sve moguće načine (prema (c) ima 6 takvih načina). Dobijamo:
1234 1243 1324 1342 1423 1432:
Zatim fiksiramo na prvo mesto broj 2, a preostala tri broja permutujemo, zatim fiksiramo 3 i na
kraju 4.
2134 2143 2314 2341 2413 2431;
3124 3142 3214 3241 3412 3421;
4123 4132 4213 4231 4312 4321:
Prema tome, 4 puta fiksiramo prvi broj, a permutujemo tri preostala broja i svaki put ispisujemo
po 6 permutacija. Tako dolazimo do 4 *6 = 24 permutacije.
