Dr Duška Pešić
Sremska Mitrovica, 2013.
1
Sadržaj
OPŠTA FORMULACIJA PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA ........................................... 29
3
ln 2
2 2
3
0
1
1
2
3
1
0
;
;
;
1
2
0
1
2
1
2
sin
cos
1
0
2
6
2
2
3
2
0
1 ;
2 sin
sin 0
2
4
3
1
3 1
cos
ln
2
2
6
A
B
C
e
D
H
tg
e
.
Rešenje:
Matrica B je jedina matrica tipa
2 3
, što znači da nije jednaka ni jednom od preostale četiri matrice.
Matrice A i C su istog tipa i sastavljene su od istih elemenata ali im nisu jednaki elementi na
odgovarajućim mestima.
Matrice D i H su takođe istog tipa. Proverom se utvrđuje da su im i svi odgovarajući elementi jednaki.
Znači, jedine dve jednake matrice su D i H.
1.1.2
Vrste matrica
Matrica vrsta
je matrica
[
]
ij m n
a
kod koje je
1,
1
m
n
:
1
11
12
1
[
]
[
]
ij
n
n
a
a
a
a
.
U primeru 1.1. matrica C je matrica vrsta.
Matrica kolona
je matrica
[
]
ij m n
a
kod koje je
1,
1
m
n
:
11
21
1
1
[
]
ij m
m
a
a
a
a
U primeru 1.1. matrica D je matrica kolona.
Ako je u matrici
[
]
ij m n
a
broj vrsta jednak broju kolona, takva matrica naziva se
kvadratna
matrica
:
11
12
1
21
22
2
1
2
[
]
n
n
n
ij n n
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
a
.
U primeru 1.1. matrice A i B su kvadratne matrice.
Elementi
11
22
,
,...,
nn
a
a
a
leže na
glavnoj dijagonali
kvadratne matrice, dok elementi
1
2
1
1
,
,...,
n
n
n
a
a
a
pripadaju
sporednoj dijagonali
.
Primer 1.4.
Odrediti elemente na glavnoj i sporednoj dijagonali matrice:
5
1
3
5
2
8
4
0.2
2
3
0.5
8
1
3
7
9
.
Rešenje:
5
1
3
5
2
8
4
0.2
2
3
0.5
8
1
3
7
9
GLAVNA DIJAGONALA
SPOREDNA DIJAGONALA
4
Elementi na glavnoj dijagonali su: -1, 4, -0.5 i -9.
Elementi na sporednoj dijagonali su: 1, 3, 0.2 i -2.
Zbir svih elemenata na glavnoj dijagonali kvadratne matrice
A
zove se
trag matrice
i
označava:
1
sp
n
ii
i
A
a
.
Primer 1.5.
Odrediti trag kvadratne matrice:
0.5
1
5
2
8
2
7
5
8
1
0.2
5
1
9
7
1
.
Rešenje:
Sumirajući elemente na glavnoj dijagonali date matrice dobija se:
sp
0.5 2 0.2 1
2.7
A
.
Kvadratna matrica u kojoj su svi elementi van glavne dijagonale nula, a elementi na glavnoj
dijagonali nisu svi nula, zove se
dijagonalna matrica
:
11
22
0
0
0
0
0
0
nn
a
a
D
a
Ako su u dijagonalnoj matrici svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki
,
0
a a
, dobija se
skalarna matrica
:
0
0
0
0
0
0
a
a
S
a
koja se za
1
a
zove
jedinična matrica
:
1
0
0
0
1
0
0
0
1
E
Koristeći tzv. Kronekerov simbol:
1,
0,
ij
i
j
i
j
( ,
1, 2,..., )
i j
n
dijagonalna, skalarna i jedinična matrica
n
-tog reda se može predstaviti u obliku:
[
]
[
]
[
]
ij
ij n n
ij n n
ij n n
D
a
S
a
E
.
1.2
OPERACIJE SA MATRICAMA
1.2.1
Sabiranje matrica i množenje matrica skalarom
Definicija 1.3.
Kaže se da je matrica
C
jednaka zbiru matrica
A
i
B
ako su matrice
A
,
B
i
C
istog
tipa, tj.
[
]
ij m n
A
a
,
[ ]
ij m n
B
b
,
[ ]
ij m n
C
c
i ako je ispunjeno:
6
Primer 1.7.
Odrediti koje od datih matrica se mogu pomnožiti:
2
4
1
15 13
11 0
4
1 0
5 ,
,
1
5
1
2 12
1
3
1
1
2
1
3
4 ,
1 2
3 ,
0
5
6
A
B
C
D
H
F
Rešenje:
Matrica A ima tri kolone pa se može pomnožiti samo sa matricama koje imaju tri vrste a to je
matrica D.
Matrica B ima dve kolone pa se može pomnožiti sa matricama C i F.
Matrica C ima tri kolone i može se pomnožiti sa matricama A i D.
Matrica D ima dve kolone i može se pomnožiti sa matricama B, C i F.
Matrica H ima tri kolone i može se pomnožiti sa matricama A i D.
Matrica F ima jednu kolonu i može se pomnožiti samo sa matricom H.
Definicija 1.4.
Proizvod
A B
matrica
[
]
ik m p
A
a
i
[
]
kj
p n
B
b
je matrica
C
, koja ima onoliko vrsta
koliko ih ima matrica
A
i onoliko kolona koliko ih ima matrica
B
:
[ ]
[
]
[
]
ij m n
ik m p
kj
p n
C
c
a
b
pri čemu se elementi
ij
c
matrice
C
računaju po formuli:
1
(
1,..., ;
1,..., )
p
ij
ik kj
k
c
a b
i
m j
n
Element
ij
c
matrice
C
, koji se nalazi na preseku
i
-te vrste i
j
-te kolone, obrazuje se tako što se
elementi
i
-te vrste matrice
A
pomnože odgovarajućim elementima
j
-te kolone matrice
B
a dobijeni
proizvodi se saberu.
Primer 1.8.
Naći proizvod datih matrica:
1 2
3
1
A
i
1
2
3
1
2
3
B
.
Rešenje: Kako je
2 2
[
]
ik
A
a
i
2 3
[
]
kj
B
b
,
sledi da je
2 3
[
]
ij
C
c
čiji se elementi dobijaju po formuli
2
1 1
2 2
1
(
1, 2;
1, 2,3)
ij
ik kj
i
j
i
j
k
c
a b
a b
a b
i
j
Znači:
1 2
1
2
3
3
1
1
2
3
( 1) ( 1) 2 1 ( 1)
2
2 2
( 1)
3
2 3
3 ( 1) 1 1
3 ( 2) 1 2
3 ( 3) 1 3
3
6
9
2
4
6
C
A B
Množenje matrica u opštem slučaju nije komutativna operacija (u primeru 3 prizvod
B A
nije ni
definisan), tj:
A B
B A
.
Izuzetak je množenje proizvoljne kvadratne matrice jediničnom matricom i nula-matricom:
A E
E A
A
i
0
0
0
A
A
.
Proizvod dve matrice A i B može biti nula matrica i kada su matrice A i B različite od nula matrice.
Ovaj materijal je namenjen za učenje i pripremu, ne za predaju.
