Ivan Slapniˇ
car
MATEMATIKA 1
http://www.fesb.hr/mat1
Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje
Split, 2002.
Sadrˇ
zaj
Popis slika
xi
Popis tablica
xiii
Predgovor
xv
1 OSNOVE MATEMATIKE
1
1.1
Osnove matematiˇcke logike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Binarne relacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.1
Uredeni skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3
Funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3.1
Teorem o inverznoj funkciji . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3.2
Ekvipotencija i beskonaˇcni skupovi . . . . . . . . . . . .
9
1.4
Prirodni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.4.1
Brojevni sustavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.4.2
Uredaj na skupu prirodnih brojeva . . . . . . . . . . . .
12
1.4.3
Binomni pouˇcak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.5
Cijeli brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.6
Racionalni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.7
Realni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.7.1
Aritmetika raˇcunala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.7.2
Apsolutna vrijednost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.8
Kompleksni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.8.1
Trigonometrijski oblik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.8.2
Eksponencijalni oblik
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2 LINEARNA ALGEBRA
31
2.1
Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.1.1
Zbrajanje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.1.2
Mnoˇzenje matrice sa skalarom . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.1.3
Mnoˇzenje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.1.4
Nul-matrica i jediniˇcna matrica . . . . . . . . . . . . . .
37
v
4 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE
105
4.1
Naˇcini zadavanja funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.1.1
Tabliˇcno zadavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.1.2
Eksplicitno zadavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.1.3
Implicitno zadavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.1.4
Parametarsko zadavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2
Klasifikacija funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3
Limes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.3.1
Svojstva limesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.3.2
Limes slijeva i zdesna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.3.3
Limes u beskonaˇcnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.3.4
Beskonaˇcan limes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.4
Neprekidnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.4.1
Svojstva neprekidnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.4.2
Vrste prekida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.5
Asimptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.6
Pregled elementarnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.6.1
Konstantna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.6.2
Potencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.6.3
Eksponencijalna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.6.4
Logaritamska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.6.5
Trigonometrijske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.6.6
Arkus funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.6.7
Klasifikacija elementarnih funkcija . . . . . . . . . . . . 153
4.6.8
Polinomi i racionalne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.6.9
Hiperbolne i area funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5 DERIVACIJE I PRIMJENE
161
5.1
Derivacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.1.1
Tangenta i normala
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.1.2
Derivacije slijeva i zdesna . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.1.3
Pravila deriviranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.1.4
Deriviranje implicitno zadane funkcije . . . . . . . . . . 170
5.1.5
Derivacije elementarnih funkcija . . . . . . . . . . . . . 170
5.1.6
Logaritamsko deriviranje . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.2
Diferencijal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.2.1
Pribliˇzno raˇcunanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.3
Viˇse derivacije i diferencijali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.4
Deriviranje parametarski zadane funkcije . . . . . . . . . . . . . 179
5.5
Teoremi diferencijalnog raˇcuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.5.1
Fermatov i Rolleov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.5.2
Cauchyjev i Lagrangeov teorem srednje vrijednosti . . . 181
vii
5.5.3
L’Hospitalovo pravilo i raˇcunanje limesa neodredenihoblika184
5.6
Monotonost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.7
Ekstremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.7.1
Geometrijski ekstrem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.8
Zakrivljenost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.9
Ispitivanje toka funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.9.1
Parametarski zadana funkcija . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.10 Rjeˇsavanje problema ravnoteˇze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6 NIZOVI I REDOVI
215
6.1
Niz realnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
6.1.1
Gomiliˇste i podniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
6.1.2
Omedenost, monotonost i konvergencija . . . . . . . . . 221
6.1.3
Broj
e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6.1.4
Svojstva limesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
6.1.5
Cauchyjev niz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
6.1.6
Dva vaˇzna limesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
6.2
Red realnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6.2.1
Nuˇzan uvjet konvergencije . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.2.2
Kriteriji konvergencije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.2.3
Apsolutna konvergencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.2.4
Alternirani redovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6.3
Niz funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
6.4
Red funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
6.4.1
Ispitivanje konvergencije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
6.4.2
Red potencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
6.4.3
Deriviranje reda funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.5
Taylorov red
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Indeks
248
viii
4.3
Implicitno zadana funkcija
x
+ arccos(
xy
) = 0 . . . . . . . . . . 110
4.4
Funkcija
y
= cos(
x
)
/x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.5
Implicitno zadana kruˇznica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.6
Descartesov list . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.7
Cikloida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.8
Limes funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.9
Pravilo uklijeˇstene funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.10 Funkcija sign(
x
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.11 Funkcija sin
x/x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.12 Funkcija 1
/x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.13 Beskonaˇcan limes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.14 Neprekidna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.15 Funkcija sin
1
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.16 Kosa asimptota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.17 Konstantna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.18 Potenciranje s prirodnim brojem . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.19 Funkcije
f
(
x
) =
x
−
k
,
k
∈
N
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.20 Funkcija
f
(
x
) =
√
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.21 Funkcija
f
(
x
) =
3
√
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.22 Funkcija galeb(
x
) =
4
√
x
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.23 Eksponencijalne funkcije 2
x
i 2
−
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.24 Funkcije 10
x
i
e
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.25 Funkcija
f
(
x
) = log
2
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.26 Funkcija
f
(
x
) = log
1
/
2
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.27 Trigonometrijska kruˇznica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.28 Sinus i kosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.29 Tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.30 Kotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.31 Op´ca sinusoida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.32 Kosinusov pouˇcak
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.33 Adicioni teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.34 Arkus sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.35 Kompozicije restrikcije sinusa s arkus sinusom . . . . . . . . . . 151
4.36 Funkcija arcsin(sin
x
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.37 Arkus kosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.38 Arkus tangens i arkus kotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.39 Sinus hiperbolni i kosinus hiperbolni . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.40 Tangens hiperbolni i kotangens hiperbolni . . . . . . . . . . . . 158
4.41 Area sinus hiperbolni i area kosinus hiperbolni . . . . . . . . . 159
4.42 Area tangens hiperbolni i area kotangens hiperbolni . . . . . . 159
5.1
Izolirana toˇcka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
x
