VISOKA ŠKOLA ZA POSLOVNU EKONOMIJU I PREDUZETNIŠTVO
BEOGRAD
SEMINARSKI RAD IZ EKONOMSKE STATISTIKE
SREDNJE VREDNOSTI, MODUS, MEDIJANA I
KVARTILI
Mentor: Student:
Msc Nataša Milojević Miloš Milačić
305-009-20
Vrbas,2021.
4
Srednje vrednosti: aritmetička,
harmonijska
i
geometrijska
sredina, zatim
modus i
medijana
.
U zavisnosti od načina definisanja, srednje vrednosti se dele na izračunate i pozicione.
2. SREDNJE VREDNOSTI
Srednje vrednosti su vrednosti obeležja koje na specifičan način reprezentuju čitavu
statističku masu, odnosno zamenjuju sve vrednosti u statističkoj seriji i karakterišu statističku masu
u celini.
1
Srednje vrednosti ili mere centralne tendencije zauzimaju u statistici vrlo značajno mesto i
vrlo se često primenjuju. Centralna tendencija je težnja ka okupljanju podataka skupa oko jedne
centralne vrednosti, koja je opšta i reprezentativna za celu distribuciju. Značaj mera centralne
tendencije je u tome što one sintetizuje čitav niz pojedinačnih vrednosti jednog skupa i njihova
uloga je da, zanemarujući individualne razlike između podataka skupa, istaknu onu veličinu koja je
za sve njih karakteristična i koja može da služi kao sredstvo za upoređivanje raznih serija.
2
Neophodno je da se srednja vrednost određuje iz homogenog skupa da bi imala značaj
reprezentativne i tipične vrednosti. U slučaju da je skup heterogen, potrebno je najpre izvršiti
podelu skupa u homogene delove, a zatim će se posebno odrediti srednje vrednosti za svaki od tih
delova. Moguće je naći srednju vrednost i u heterogenom skupu i računarski i formalno, ali takva
vrednost nema značaj statističke srednje vrednosti kao reprezentativnog pokazatelja. Pri
određivanju i primeni srednjih vrednosti mora biti zadovoljen princip homogenosti statističkog
skupa.
Prema tome da li se izračunavaju ili određuju prema položaju pojedinih vrednosti obeležja,
srednje vrednosti se mogu podeliti u dve grupe: potpune srednje vrednosti i položajne srednje
vrednosti.
Potpune srednje vrednosti, računaju se upotrebom svih podataka u statističkom nizu.
Potpune srednje vrednosti su: aritmetička sredina, harmonijska sredina i geometrijska sredina.
Položajne srednje vrednosti određuju se položajem podataka u nizu. Najvažnije položajne
srednje vrednosti su: modus i medijana.
3
Svaka od pomenutih srednjih vrednosti određuje se posebnim statističko-matematičkim
metodama i ima određene karakteristike. Srednje vrednosti se ne mogu izračunati kod svih serija.
One se izračunavaju, odnosno određuju samo kod numeričkih (rasporeda frekvencija), a mogu se
1
www.eccf.su.ac.yu
2
www.supa.pharmacy.bg.ac.rs
3
Dr G. Kvrgić „OSNOVI FINANSIJSKE STATISTIKE“, Visoka poslovna škola strukovnih studija, Čačak, str.37.
5
izračunati iz vremenskih serija. Za utvrđivanje karakteristika pasporeda frekvencija one
predstavljaju polaznu osnovu.
Srednja vrednost jedne serije ne može biti manja od najmanje vrednosti obeležja, niti veća
od najveće vrednosti obeležja. Srednja vrednost može biti i neka vrednost koja uopšte ne postoji u
seriji. Srednja vrednost može imati i decimalan broj, i ako se vrednosti obeležja izračunavaju u
celim brojevima (na primer: prosečan broj članova domaćinstva može biti 3,4).
Poželjno je da srednje vrednosti imaju sledeće osobine:
1. Ako su sve vrednosti posmatranog obeležja X na statističkom skupu međusobno jednake
onda i njihova srednja vrednost treba da je jednaka toj vrednosti.
2. U datom statističkom skupu postoji najmanja i najveća vrednost posmatranog obeležja X.
Srednja vrednost treba da je veća od najmanje a manja od najveće vrednosti obeležja X.
3. Srednja vrednost treba da zavisi od svih vrednosti obeležja X na celim statističkom
skupu.
2.1.ARITMETIČKA SREDINA
Ovo je najpoznatija srednja vrednost. U svakodnevnom životu najviše se koristi aritmetička
sredina kao srednja vrednost. Zato se pod pojmom prosek misli na aritmetičku sredinu. Aritmetička
sredina niza brojeva je broj koji se dobije kada se njihov zbir podeli sa ukupnim brojem članova tog
niza.
4
Aritmetička srednja vrednost ili prosečna srednja vrednost ili samo srednja vrednost ima
najširu primenu u statistici. Ponaša se kao ”ravnotežna tačka” u skupu, a nedostatak joj je što na
njenu vrednost utiču ekstremne vrednosti (”outliers”). Srednja vrednost se izražava u istim
jedinicama kao i osnovni podaci.
5
Najčešće upotrebljivana mera centralne tendencije jeste aritmetička sredina. Ona je ujedno
i najlakša za razumevanje obzirom da se neretko koristi u svakodnevnom životu (najčeće koristimo
reč ‘prosek’ da izrazimo upravo aritmetičku sredinu). Aritmetička sredina predstavlja prosečnu
vrednost nekog kontinuiranog niza brojeva.
6
U statističkoj analizi aritmetička sredina najčešće se izračunava za vrednosti numeričkog
obeležja, pa je polazna veličina za izračunavanje aritmetičke sredine je zbir vrednosti numeričkog
obeležja elemenata osnovnog skupa.
7
Neophodan uslov za pravilnu primenu aritmetičke sredine jeste da podaci u seriji pokazuju
dovoljan stepen homogenosti a kriterijum za određivanje te homogenosti zavisi od prirode i vrste
pojave koja je prikazana u seriji kao i da znamo suštinu i smisao rezultata kojeg želimo da
dobijemo. Aritmetička sredina ima dva osnovna načina izračunavanja.
4
www.statlab0.fon.bg.ac.yu
5
www.supa.pharmacy.bg.ac.rs
6
www.fpn.cg.yu
7
www.foi.hr
7
U ovom prostom primeru uočljivo je da se svaka vrednost javlja jedanput (sa frekvencijom
1). Za sve ovakve negrupisane serije prosek se, kao što vidimo, utvrđuje jednostavno, reč je o
tzv.prostoj aritmetičkoj sredini.
Znatno češće imamo posla sa grupisanim podacima u vidu rasporeda frekvencija, tj.sa
skupovima unutar kojih se svaka vrednost obeležja može javiti više puta. Ako, u opštem slučaju,
vrednosti obeležja označimo sa
x1, x2,.... xi,.... xn
, a odgovarajuće frekvencije sa
f
1
, f
2
, ... f
i
, ...
f
n
, aritmetička sredina će biti:
µ =
f
1
x1 + f
2
x2 +
...
+ f
n
xn
, tj.
N
n
µ = 1
∑
f
i
xi
ili prostije
14
N
i
=1
µ = ∑
f x
, gde je
N
n
N =
f1 + f2 + ... + fn
=
∑
fi =
∑
f.
i
=1
Ovako utvrđena prosečna vrednost poznata je kao
ponderisana aritmetička sredina
jer se
sve vrednosti uzimaju u zbir onoliko puta koliko se one i javljaju unutar rasporeda. Ponderacioni
faktor je, dakle, frekvencija (
f
).
Posmatrajmo, na primer, dnevnu potrošnju jednog skupa slučajno anketiranih domaćih
turista. Rezultat ankete u vidu rasporeda frekvencija dat je u tabeli 1.
14
Dr V. Đolević, Dr V. Tošić „STATISTIKA“ sa primenom u turizmu, BMG-NM, Beograd,2007, str. 43.
