Asimetrična šema za konvektivni pogranični sloj sa konstantnim i promenljivim koeficijentom vertikalnog mešanja

UNIVERZITET U NOVOM SADU

PRIRODNO-MATEMATIČKI

FAKULTET

DEPARTMAN ZA FIZIKU

Asimetrična šema za konvektivni pogranični sloj 

sa konstantnim i promenljivim koeficijentom 

vertikalnog mešanja 

- diplomski rad -

Mentor:

Kandidat:

prof. dr Darko Kapor

Mirjana Sakradžija

Novi Sad, 2006.

Asimetrična šema sa konstantnim i promenljivim koeficijentom vertikalnog mešanja za KGS

Diplomski rad

SADRŽAJ:

 1  UVOD...............................................................................................................................................................3

 2  STRUKTURA PLANETARNOG GRANIČNOG SLOJA.............................................................................. 5

 2.1 Određivanje visine konvektivnog pograničnog sloja.................................................................................6

 3  PROBLEM ZATVARANJA SISTEMA PROGNOSTIČKIH JEDNAČINA..................................................8

 3.1 Lokalno zatvaranje.................................................................................................................................... 8
 3.2 Nelokalno zatvaranje................................................................................................................................. 8

 4  ŠEME ZA TURBULENTNO MEŠANJE U KONVEKTIVNOM POGRANIČNOM SLOJU.................... 10

 4.1 Primeri lokalnih šema.............................................................................................................................. 10

 4.1.1 Šema bazirana na K-teoriji (BKT)................................................................................................ 10
 4.1.2 TKE šema...................................................................................................................................... 11

 4.2 Fluksni oblik vertikalnog mešanja...........................................................................................................11

 4.2.1 

Transilient

 parametrizacija turbulencije (TTP) ............................................................................14

 4.2.2 Blakadareva šema..........................................................................................................................14

 5  ASIMETRIČNA KONVEKTIVNA ŠEMA (ACM)...................................................................................... 17

 5.1 Glavne prognostičke jednačine za asimetrično mešanje u konvektivnom graničnom sloju.................... 18

 5.1.1 Izvođenje jednačina za slučaj kada je koeficijent 

Mu

 nepromenljiv sa visinom...........................18

 5.1.2 Izvođenje jednačina za slučaj kada koeficijent 

Mu

 varira sa visinom...........................................20

 5.2 Parametrizacija koeficienta 

Mu

1

.............................................................................................................. 21

 5.2.1 Parametrizacija 

Mu

1

 preko turbulentne brzine 

e*

..........................................................................21

 5.2.2 Parametrizacija 

Mu

1

 preko osetne toplote 

H.................................................................................

21

 5.2.3 Određivanje promenljivog uzlaznog koeficijenta mešanja 

Mu

k

.................................................... 22

 5.3 Određivanje koeficijenata silaznog mešanja 

Md

k

.................................................................................... 22

 5.4 Kritični vremenski razmer....................................................................................................................... 23

 6  NUMERIČKO REŠAVANJE JEDNAČINA................................................................................................. 24

 6.1 Numeričko rešavanje za slučaj konstantnog koeficijenta 

Mu

1

.................................................................26

 6.2 Numeričko rešavanje za slučaj promenljivog koeficijenta 

Mu

k

...............................................................26

 7  REZULTATI NUMERIČKE SIMULACIJE................................................................................................. 29

 8  ZAKLJUČAK.................................................................................................................................................32

 9  LITERATURA............................................................................................................................................... 33

 10  DODATAK 1: Program..................................................................................................................................34

-2-

Asimetrična šema sa konstantnim i promenljivim koeficijentom vertikalnog mešanja za KGS

Diplomski rad

transilient

 potiče od latinske reči koja znači 

preskočiti

, što nagoveštava da se mešanje može odvijati između  međusobno 

razdvojenih vertikalnih ćelija stuba vazduha. Mešanje se odvija između svih ćelija međusobno kao što je to prikazano na 
slici 

1.1c

. 
U ovom radu opisana  je  Asimetrična konvektivna šema  ACM (

Asymmetrical  Convective Model

- Asimetrični 

konvektivni model) koju su  prvobitno razvili  Pleim i  Chang 1992.  godine. Osmotreno je  da  je  vertikalno  mešanje u 
konvektivnom pograničnom sloju asimetrično, što znači da se uzlazni i silazni transport razlikuju. ACM šema uzima u obzir 
upravo ovu činjenicu, za razliku od prethodnih šema. Vertikalno mešanje se u ovoj šemi predstavlja vrtlozima koji mogu 
imati različite razmere od sasvim malih pa do veličine čitavog konvektivnog sloja. Uzlazne struje vazduha su brze i uske 
tako da se smatra da se transport odvija iz prvog sloja u sve ostale slojeve direktno. Silazne struje su sporije i šire, a 
transport se odvija jedino iz sloja iznad u sloj ispod njega. Idući ka dole struje su sve šire i sve više mase se prenosi u sloj 
ispod. Ova šema važi jedino za konvektivni granični sloj dok se kod stabilnih i neutralnih slojeva mora koristiti neki drugi 
pristup, npr. hipoteza koeficijenta razmene (K-teorija). Za vreme stabilnih ili neutralnih uslova statičke stabilnosti razmer 
turbulentnog kretanja je mnogo manji od razmera srednjeg toka, tako da se takva situacija veoma dobro opisuje vrtložnom 
difuzijom. Tokom nestabilnih uslova dominantan razmer dužine vrtloga je mnogo veći, čak dostiže visinu konvektivnog 
graničnog sloja, stoga se u obzir mora uzeti i nelokalni transport. Postoji više prednosti ovakvog tretiranja turbulencije. 
Šema je prvog reda što umanjuje potrošnju računskog vremena, a s druge strane realistično predstavlja procese turbulentne 
razmene. Važna osobina šeme je i mogućnost realističnog transporta materijala iz izvora na bilo kojoj visini što je veoma 
značajno kod hemijskih modela. 

U Asimetričnoj konvektivnoj šemi vertikalni transport neke fizičke veličine ili materije predstavlja se matričnom 

jednačinom u kojoj su nepoznate veličine koeficienti vertikalnog mešanja. Kod ove šeme se koeficijenti uzlaznog i silaznog 
mešanja razlikuju. Da bi se rešio problem zatvaranja treba odrediti uzlazne koeficiente turbulentnog mešanja, dok se silazni 
koeficienti određuju iz zakona o održanju mase. Uzlazni koeficient 

Mu

1

 parametrisan je na dva načina: preko turbulentne 

brzine 

e*

 i preko fluksa osetne toplote 

H

, kao što je objašnjeno kasnije u radu. Oba načina su upoređena za slučajeve kada 

je koeficient uzlaznog transporta konstantan i kada se menja sa visinom, a rezultati su prikazani grafičkim putem. Veza 
između uzlaznih i silaznih koeficienata pronalazi se iz uslova o održanju mase u jednoj ćeliji stuba vazduha, za slučajeve 
konstantnog i promenljivog uzlaznog koeficienta turbulentnog mešanja.

U   ovom   diplomskom   radu   je   u   kratkim   crtama   opisana   celokupna   teorija   zatvaranja   sistema   jednačina,   sa 

akcentom   na   nelokalnom   zatvaranju   kao   pogodnom   metodu   za   predstavljanje   turbulentnog   mešanja   u   konvektivnom 
pograničnom sloju. Zadatak rada je detaljno izvođenje jednačina za promenu koncentracije u vremenu pomoću asimetrične 
šeme i njihovo numeričko rešavanje, a zatim provera teorije numeričkom simulacijom. Struktura planetarnog graničnog 
sloja i njegove promene u toku dana opisane su u 2. glavi. U glavi br. 3 predstavljen je problem zatvaranja sistema 
jednačina i nabrojane su lokalne i neke nelokalne šeme kojima je moguće izvršiti zatvaranje, a koje su opisane detaljnije u 
4. glavi. U ovoj glavi je uveden pojam fluksnog oblika vertikalnog mešanja kao metoda nelokalnog zatvaranja i opisane su 
dve nelokalne šeme koje se baziraju na ovom pristupu. Glava 5 predstavlja srž rada. Tu je opisana ACM šema, izvedene su 
prognostičke   jednačine   za   koncentraciju   za   slučajeve   konstantnog   i   promenljivog   koeficijenta   vertikalnog   mešanja   i 
izvedeni su elementi matrica koeficijenata. U 6. glavi je numeričkim putem rešen sistem jednačina, a u 7. glavi su prikazani 
rezultati numeričke simulacije. Fortranski program kojim su računate koncentracije ozona nalazi se u dodatku na kraju rada. 

-4-

Asimetrična šema sa konstantnim i promenljivim koeficijentom vertikalnog mešanja za KGS

Diplomski rad

2. STRUKTURA PLANETARNOG GRANIČNOG SLOJA

Troposfera je najniži deo atmosfere visine od oko 10 km. Prema karakteristikama procesa koji se u njoj dešavaju, 

delimo je na planetarni granični sloj (PGS) i slobodnu atmosferu. Razlog postojanja graničnog sloja leži u činjenici da tlo 
ima velik uticaj na procese u donjem delu atmosfere do visine od oko 1 km. Sa površine zemlje se u atmosferu transportuju 
toplota, vodena para, jezgra sublimacije i kondenzacije; u najnižim slojevima atmosfere vetar je pod uticajem orografije i 
stepena   zagrejanosti   tla.   Osim   što   predstavlja   izvor   ili   ponor   količine   kretanja,   toplote   i   vlage,   važna   karakteristika 
graničnog sloja je to što se u njemu odvija velika disipacija kinetičke energije atmosfere. Prema karakteristikama flukseva 
količine kretanja i toplote u planetarnom graničnom sloju postoji nekoliko podslojeva. Uz samu čvrstu granicu postoji 
veoma tanak podsloj- viskozni sloj u kom je kretanje laminarno i gde se transport odvija putem molekularne difuzije. Iznad 
laminarnog nalazi se sloj hrapavosti. U ovom sloju su procesi snažno uslovljeni hrapavošću podloge, odnosno visinom 
hrapavih   elemenata   i   njihovom  prostornom   raspodelom.   Visina   sloja   hrapavosti   zavisi   i   od   brzine   vetra   i   stabilnosti 
atmosfere. U ovom sloju se transport odvija turbulentnom difuzijom. Zatim sledi površinski sloj koji čini oko 10% od 
ukupnog graničnog sloja. Ovaj sloj se odlikuje turbulentnim procesima malih razmera, a promene vertikalnih flukseva kroz 
sloj su manje od 10% pa se zbog toga često naziva i sloj konstantnog fluksa. Visina sloja varira od nekoliko metara pri 
stabilnoj stratifikaciji, pa do oko 50 m pri dobro izraženoj konvekciji. Ostali deo planetarnog graničnog sloja čini izmešani 
sloj.  U njemu se razvija  turbulentni  transport  većih razmera sa vrtlozima koji  mogu da se prostiru kroz celu dubinu 
planetarnog graničnog sloja. Ovi vrtlozi uzrokuju vertikalno mešanje vazduha koji sa sobom nosi svoje fizičke osobine i 
primese u vidu raznih zagađivača. Zbog toga su u dobro razvijenom izmešanom sloju promene sa visinom termodinamičkih 
veličina i koncentracije primesa slabo izražene. 

Slika 2.1: 

Promene planetarnog graničnog sloja u toku dana iznad kopna u polju visokog pritiska.

Na slici  

2.1

  prikazan je planetarni granični sloj u toku jednog dana pri uslovima visokog pritiska iznad kopna. 

Nakon  izlaska Sunca počinje  zagrevanje zemljine površine i naležućeg sloja  vazduha usled čega donji  sloj  atmosfere 
postaje nestabilan. Nastaju termičke perjanice toplijeg vazduha koje transportuju vlagu, toplotu i aerosole u vis. Perjanice 
se podižu i adijabatski šire dok se ne postigne temodinamička ravnoteža na vrhu planetarnog graničnog sloja. Konvektivno 
kretanje vazduha stvara intenzivno turbulentno mešanje. Kada stvaranje turbulencije usled potiska dominira u izmešanom 
sloju, on se naziva  

konvektivni pogranični sloj

.  Uzlazni transport u konvektivnom pograničnom sloju odvija se brzim i 

uskim strujama, dok su silazne struje sporije i šire.

-5-

Asimetrična šema sa konstantnim i promenljivim koeficijentom vertikalnog mešanja za KGS

Diplomski rad

Brzina 

w

s

 se parametriše na sledeći način:

w

s

=

u

∗

3



c

1

w

∗

3



1

/

3

 i 

w

∗

=

g

/

T



w



0

L



1

/

3

(2.3)

gde je 

u

*

brzina trenja,

w

*

 konvektivna brzina, 

L

 dužina Monina-Obuhova, a za 

c

1 

koristi se vrednost 

0,6

. 

Pomoću jednačine (2.1) visina planetarnog graničnog sloja može se računati iterativnim putem za sve uslove 

stabilnosti kada su površinski fluksevi i profili



v

,  

u

  i  

v

  poznati. Prvo se računa  

bulk

  Ričardsonov broj  

Ri

  između 

površinskog nivoa sa



s

i nivoa iznad njega. Kada  

Ri

  jednom dostigne kritičnu vrednost, vrednost za  

h

  se izvodi 

linearnom interpolacijom između nivoa sa 

Ri>Ri

c

 i nivoa ispod. Ako se dobijena visina razlikuje od vrednosti visine nivoa 

vertikalne mreže, što je najčešće slučaj, za istu se usvaja visina vertikalnog nivoa mreže na sledeći način: ako je 

h

 veće od 

visine nivoa označenog sa 

k+1

, za njenu vrednost uzima sa visina nivoa 

k

 (slika

 2.3a

), u suprotnom se usvaja vrednost 

visine nivoa 

k+1

 (

slika 2.3b

). Za minimum visine 

h

 uzeta je vrednost od 

100 m

. Vrednost kritičnog 

bulk

 Ričardsonovog 

broja zavisi od vertikalne rezolucije modela. U ovom radu je uzeta vrednost od 

0,25

, što se inače predlaže za modele sa 

većom vertikalnom rezolucijom.  

Slika 2.3: 

Šematski prikaz određivanja visine planetarnog graničnog sloja u numeričkoj ACM šemi

*

Dužina Monina-Obuhova se računa na sledeći način:

L

=−

T

L

u

∗

3



C

p

kgH

(2.4)

gde je  

T

L

  temperatura vazduha na najnižem nivou modela,  

C

p

  je specifični toplotni kapacitet suvog vazduha,



je 

gustina vazduha koja se dobija iz površinskog pritiska i temperature, 

k

 je Von Karmanova konstanta, a 

g

 je gravitaciono 

ubrzanje. 

* Napomena: oznake nivoa na slici odgovaraju oznakama u numeričkoj šemi gde je prvi, donji nivo obeležen sa KK=16, a najviši nivo sa 
K0=1.

-7-