Aritmeticke operacije sabiranje i mnozenje

U Peanovom aksimatskom sistemu direktni sledbenik uzima se kao osnovni pojam, .
1. 1 je prirodan broj
2. Svaki prirodni broj ima tačno jednog sledbenika .
3. Uvek je , tj. 1 nije sledbenik ni jednog prirodnog broja.
4. Iz sledi da je i , tj. ako su sledbenici dva prirodna broja jednaki onda su i oni jednaki.
5. (Aksioma indukcije) Svaki podskup skupa , koji sadrži broj 1 i sledbenika svakog svog elementa, sadrži sve prirodne brojeve, tj. .
Sabiranje u skupu N
Koristeći se Peanovim aksiomama možemo definisati sabiranje u skupu .
Preslikavanje definišimo na sledeći način:
1.
2. . Tada + nazivamo sabiranje u skupu .
Osnovne osobine sabiranja u skupu N
Zakon zatvorenosti:
Ako su prirodni brojevi onda je i prirodni broj
Dokaz:

Neka je prirodan broj

Zakon asocijacije

Dokazati da važi za