Barotropne nestabilnosti u fluidima

UNIVERZITET U NOVOM SADU 

PRIRODNO-MATEMATIČKI 

FAKULTET 

DEPARTMAN ZA FIZIKU

Barotropne nestabilnosti u fluidima 

- diplomski rad - 

Mentor:                                                                            Kandidat: 
 

prof. dr. Imre Gut                                                        Marina Ćurčić 

Novi Sad, 2007. 

Sadržaj  
 
 

Uvod ………………………………………...……………… 
 

2 

1. 

Jednačine za plitke fluide …………………………...………  
  

3 

2. 

Barotropna nestabilnost ..........................................................  4 

2.1  Uslov za barotropnu nestabilnost ...........................................  4 

2.2  Granične vrednosti fazne brzine ............................................. 

8 

2.3  Primer ..................................................................................... 

10 

3. 

Numeričko rešavanje-conour dynamics ................................. 
 

13 

4. 

Opis numeričkog modela ........................................................ 
 

18 

4.1  Analiza rezultata ..................................................................... 

20 

5. 

Eksperiment ............................................................................ 
 

38 

6. 

Zaključak ................................................................................ 
 

43 

Literatura ................................................................................ 
 

44 

Uvod 
 
 

U prirodi se, ne toliko često, javljaju barotropni Kelvin-Helmholcovi talasi koji su 

karakteristika za velike prostorne razmere.  Da bi došlo do njihovog formiranja potrebno 
je  da  budu  ispunjeni  određeni  uslovi.  jedan  od  tih  uslova  je  da  fluid  bude  slojevit,  pri 
čemu  je  u  svakom  sloju  pritisak  funkcija  samo  gustine.  Nepromenljivost  pritiska  sa 

visinom  je,  upravo,  odlika  barotropne  atmosfere.  Baratropni  uslovi  se  javljaju  kako  u 
atmosferi  tako  i  u  većim  vodenim  masama.  Pored  Kelvin-Helmholcovih  talasa  u 
bartropnoj  atmosferi  može  da  dođe  i  do  formiranja  gravitacionih,  gravitaciono-

inercijalnih, Tajlerovih i Rozbijevih talasa. 

Slika 1.1: Kelvin-Helmholcovi talasi u atmosferi 

 Impozantne  veličine  i  veličanstveni  oblici  stvorenih  talasa  nas  je  potaklo  da  se 

bolje upoznamo sa mehanizmom njihovog stvaranja. U radu je dat teoretski model talasa 

nastalih barotropnim nestabilnostima, za koje su se ispitivali uslovi za brzinu formiranja i 
razvoja nestabilnosti. Kako se tečne sredine pokazuju kao sredine u kojima se isti efekat 

iz  atmosfere  popjavljuje  u  mnogo  manjim  prostornim  razmerama,  eksperimentalno 

prikazivanje stvaranja talasa je izvedeno u tečnoj sredini, i to u rotirajućoj vodi. 

1.  Jednačine za plitke fluide   

 Za  opisivanje  stanja  atmosfere  i  hidrosfere  u  meteorologiji  se  koristi  osnovni 

sistem  jednačina.  To  je  sistem  nelinearnih  parcijalnih  diferencijalnih  jednačina  koji  je 
praktično  nemoguće  rešiti  analitički.  Rešavanje  ovih  jednačina  je  moguće  samo 

aproksimativnim metodom, tj. rešenja se mogu tražiti samo za idealizovane atmosferske 

probleme. 

 Radi  lakšeg  rešavanja  osnovnog  sistema  jednačina  u  radu  je  korišćen 

sistem 

jednačina  za  plitke  fluide

.  Pretpostavlja  se  da  je  dno  ravno  i  horizontalno,  da  je  fluid 

homogen i nestišljiv, i da horizontalne komponente brzine 

v

 ne zavise od visine.  

 Sistem  jednačina  koje  opisuju  kretanje  svakog  delića  sredine  u  Dekartovom 

koordinatnom  sistemu  predstavljaju  dve  jednačine  II  Njutnovog  zakona,  barometarska 
jednačina i jednačina kontinuiteta: 

x

p

fv

z

u

w

y

u

v

x

u

u

t

u

0

1

                                                            (1.1) 

y

p

fu

z

v

w

y

v

v

x

v

u

t

v

0

1

                                                            (1.2) 

z

p

0

                                                                                                             (1.3) 

0

z

w

y

v

x

u

,                                                                                              (1.4) 

gde  su 

u

,

v

  i 

w 

komponente  brzine, 

t

  je  vreme, 

f

  je  Koriolisov  parametar, 

0

  je  gustina 

sredine  i 

p

  je  pritisak.  U  jednačini  kontinuiteta  (1.4)  poslednji  član  sa  desne  strane  se 

izjednačuje sa nulom, jer i on isto mora biti nezavistan od visine 

z

, stoga u daljem radu 

izostavljamo taj član. I posmatraćemo profil zonalnog vetra, tj. 

y

u

u

, 

v=0.

 U  ovom  radu  ćemo  posmatrati  atmosferu  gde  je  gustina  funkcija  samo  pritiska. 

Takva  atmosfera  se  naziva 

barotropna  atmosfera

.  I  smatraćemo  da  su  horizontalne 

razmere mnogo veće od vertikalnih, tako da  je gore navedena aproksimacija opravdana. 

 Talasna rešenja jednačina kretanja mogu da imaju amplitudu koja je konstantna u 

vremenu ili rešenja kod kojih amplituda eksponencijalno raste, što je osobina stabilnosti, 

odnosno nestabilnosti atmosfere, respektivno. 

Poslednje jednačine možemo zapisati preko strujne funkcije  , definisane preko: 

y

u

 i 

x

v

Kada jednačinu (2.5) diferenciramo po 

x

-u, a jednačinu (2.4) diferenciramo po 

y

-

u, i  nakon oduzimanja jednačine  (2.4) od jednačine  (2.5), desna strana jednakosti  će se 
izjednačiti sa nulom i dobija se jedna jednačina:   

0

2

2

0

2

x

dy

u

d

x

u

t

                                                             (2.8) 

Jednačina (2.8) može da se napiše i u obliku koji kao zavisno promenljivu sadrži 

amplitudu 

y

: 

0

2

2

0

2

2

2

c

y

u

dy

u

d

k

dy

d

                                                                      (2.9) 

Gde  je 

c 

zonalna  brzina  prostiranja  talasa 

k

c

,  gde  je 

k

  talasni  broj,  a 

frekvencija.  Jednačina  ovog  tipa  se  zove 

Rejlijeva  jednačina

.  Rešenje  jednačine  za 

strujnu funkciju (2.8) tražimo u talasnom obliku: 

t

kx

i

y

t

y

x

exp

,

,

,   

ili 

(2.10)

ct

x

ik

y

t

y

x

exp

,

,

                                                                       (2.10

a

) 

Jednačina  (2.9)  je  nehomogena  diferencijalna  jednačina  drugog  reda.  Za  njeno 

rešavanje potrebno je definisati granične uslove.  

Za granične uslove se pretpostavlja da nema transporta mase kroz severnu i južnu 

granicu  posmatrane  oblasti.  Kako  nema  priliva  ni  oticanja  fluida, 

v’

  je  na  granicama 

jednak nuli, te i strujna funkcija mora biti konstantna. To je moguće samo ukoliko je: 

0

0

L

y

y

. 

U opštem slučaju vrednosti fazna brzina 

c

 može biti realna i imaginarna, tj, 

i

r

ic

c

c

U  zavisnosti  od  toga  da  li  je 

c

  realno  ili  imaginarno  ćemo  znati  da  li  je  rešenje 

stabilno  ili  nestabilno.  Kada  je  fazna  brzina  kompleksna  sa  pozitivnim  imaginarnim 

delom, vidimo iz (2.8) da će amplituda poremećenja eksponencijalno rasti sa vremenom. 
Rešenje je tada nestabilno.