Matematičko modelovanje aneurizme abdominalne aorte (AAA)

Matematičko modelovanje aneurizme 

abdominalne aorte (AAA) 

-diplomski rad- 

Mentor:

  dr 

Olivera Klisurić                                           

Kandidat:

Toth Arpad  256/08 

Novi Sad, 2012. 

UNIVERZITET U NOVOM SADU 

PRIRODNO-MATEMATI

ČKI 

FAKULTET 

DEPARTMAN ZA FIZIKU 

1 

1.

Uvod 

U  svim  sferama  čovekovog 

života 

susrećemo 

se sa modelovanjem. Modeli su široko 

rasprostranjni u nauci, tehnici, ekonomije, psihologiji, umetnosti... U zavisnosti od oblasti 

primene  mogu  imati  različitu  primenu  i  značenje,  ali  sa  jednom  svrhom:  pronalaženj

a uticaja 

različitih  parametara  na  ispitivani  sistem.  Naravno,  sistem  je  prilikom  ispitivanja  zamenjen 

modelom, čija je svrha upravo eksperimentisanje. U zavisnosti od sličnosti modela sa ispitivanim 

sistemom

dobićemo i odgovarajući rezultat. Veća sličnost

 pruža bolje rezultate, ali tom prilikom 

treba naročito obrati

ti pažnju na broj parametara i 

složenost veza među njima. U velikom broju 

slučajeva  za  opisivanje  složenih  veza  između  velikog  broja  parametara,  po

treban je izuzetno 

sofisticiran 

matematički aprat. Jednačine koje se dobiju primenom tog aparat, nisu uvek rešive, 

čak ni najsavremenijim računarima. Prema tome treba uvek napraviti aproksimacije u 

skladu sa 

traženim rezultatima. Videti kako se veze mogu pojednostaviti, a da rezultat ostane u 
prihvatljivim granicama. 

Modelovanje  u  medicini  ima  veoma  veliki  značaj.  Zbog  svoje  neinvazivnosti  se  široko 

primenjuju. Naravno, čovekovo telo je izuzetno složeno, tako da  je nemoguće napraviti savršeni 

model koji bi objedinio sve sisteme ljudskog organizma. Zbog  toga se koriste pojednostavljeni 

modeli pojedinih organa ili sistema organa, koji se mogu i međusobno kombinovati.

Aneurizma trbušne aorte  (AAA)

,  odnosno  njena  ruptura  je  deseti  vodeći  uzrok  smrti  kod 

muškaraca starijih od 55 godina. AAA je retka kod žena 

mlađih od 55 godina. 

Glavni problem 

predstavlja činjenica da

bolest nastaje neprimetno i uglavnom se otkriva kada pacijent dođe na 

pregled zbog drugih stomačnih problema. U Srbiji se godišnje otkrije 500

-800 obolelih od AAA, 

a kod 50% pacijenata bolest se 

završava smrću. U proteklih 30 godina povećana je učestalost 

AAA četiri puta. 

U SAD zastupljenost AAA je 2-4% kod odrasle populacije, a godišnje se javlja 

oko 15000 smrtnih slučajeva kao posledica rupture AAA.

Cilj ovog rada je da pokaže slaganje rezultat

a  dobijenih  primenom  fizičkih  zakona  i 

matematičkog  aprata  na  AAA,  sa  rezultatima  kliničkih  ispitivanja.  U  prvom  delu  rada 

upoznaćemo  se  sa  strukturom  krvnih  sudova,  sa  posebnim  akcentom  na  abdominalnu  aortu. 

Videćemo  šta  je  aneurizma,  njene  vrste  i 

potencionlne uzroke nastanka. U drugom delu rada 

upoznaćemo se sa osnovnim fizič

kim 

veličinama koje su potrebne da bi se napravio jedan model 

AAA.  U  poslednjem  delu  rada  obrađena  je  fizika  AAA

-mehanizam nastajanje, kao i opcije 

tretmana.  Urađena  je  i  analiza  mod

ela stentovanog AAA sa ciljem da  se  odrede optimalni 

parametri stenta, kao i predviđanja rupture zida AAA. 

3 

Slika 1. Poprečni presek velikih krvnih sudova 

 
Na mestima gde na njih 

deluju značajni pr

itisci ili dru

ge mehaničke sile, na primer koronarne 

i karotidne arteri

je,  sudovi  često  imaju  debele,  mišićave  zidove,  zahvaljujući    debljoj  srednjoj 

tunici. 

Elastične  arterije  uobičajno  imaju  zidove  debljine  desetog  dela  njihovog  kalibra; 

ovaj 

odnos u miš

ićavim arterijama je oko četvrtine, kod arteriola je oko polovine i kod vena je jedna 

desetina ili manje. 

2.2

 Arterije 

U  velike  elastične  arterije  ubrajamo:  aortu  i  njegove  glavne  grane,  brahioencefalično 

arterijsko stablo, zajedničku karotidnu arteriju, potključnu arteriju, zajedničke bederene arterije, 

plućne arterije i njihove grane. 

Kod ovih krvnih sudova tunica intima je debljine oko 100 



m, kod zdravih mladih osoba.  

Endotelijum je sastavljen od masti, poligonalnih ćelija koje leže na bazalnoj opni i s

pojene  su 

međućelijskim  spojem

uključujući 

zonulae occludentes

. Subendotelijalno tkivo je sastavljeno: 

prvo, od sloja isprepletanih, uglavnom longitudinalnih, vlakana kolagena i elastina, nekoliko 

fibroblasta, miocita i makrofaga; drugo, porozne elastične membrane (unutrašnji elastični sloj)

kod manjih arterija. Kod većih arterija ovo nije jasno razgraničeno od središnje tunike, jer obe 

sadrže serije sličnih elastičnih membrana. 

Debljina intime varira u zavisnosti od uzrasta i drugih 

faktora: kod dece je sk

oro  bezznačajna,  ali  kod  odraslih  mladih  osoba  je  primetna,  delimično 

zahvaljujući  migraciji  i  proliferaciji  miocita  iz  tunike  medije,  delom  zbog  različitih  lipidnih 

naslaga, koje često formiraju nepravilne masne naslage.

Kod mladih osoba tunica intima čin

i oko 

jedne šestine totalne debljine zida, ali posle srednjih godina, masne naslage mogu je značajno 

proširiti.  

Veći  deo 

tunica media-e

čine  kružne,  koncentrične,  porozne  elastične  lamele  (do  40 

slojeva kod normalne aorte), razdojene fibroznim tkivom sa b

azofilično  proteoglicinskim 

matricama  prožetim  snopovima  kolagena  i  elastičnih  vlakana,  između  kojih  su  kružno 

orijentisani miociti. 

Većina miocita su tipični pretstavnici ovog tipa ćelija, ali se pridodata intima 

često račvasto spaja sa lamelama. 

Postoji 

veoma jaka veza između unutrašnjeg pritiska elastičnih 

arterija i broja elastičnih lamela, koji sa pridodatim miocitima formiraju 

„lamelarne jedinice“

. 

4 

Miociti  su  odgovorni  za  produkciju lamela,  kolagenih  i  proteoglicinskih  komponenata  između 

njih. Po rođenju, aorta je lišena lamela, ali kasnije se njihov broj i debljina povećavaju. 

Njihov 

broj 

se takođe povećava u slučaju hipertenzije zbog povećanja mehaničkog pritiska. 

U vaskularnom sistemu uređenje miocita varira. U elastičnim arterija

ma blizu srca, oni su 

radijalno 

ili  bočno  povezani  sa  lamelama  (

„Spannmuskeln“

), a distalno oni su kružno 

raspoređeni, tako da pojedinačne ćelije leže jedna do druge; u oba regiona oni su blago uvijeni.

Tunic adventitia

 se uglavnom sastoji od kolagenog fibroznog tkiva koje sadrži nekoliko 

elastičnih vlakana; relativno je tanka i spaja se sa okolnim okolnim vezivnim tkivom. 

Od srednjih godina 

dešavaju se strukturne promene na elastičnim arterijama, naročito na 

aorti i arterijama srca i mozga. Sadržaj kolagena i elastina se p

ovećava, dok se sadržaj mišića i 

vode smanjuje što dovodi do krutosti. Kalcijumove soli i lipidi se takođe talože na intimi i medii, 

razdvajajući unutrašnje elastične lamine što može dovesti do patoloških slučajeva.

2.3

 Abdominalna aorta 

Trbušna aorta (

aorta abdominalis

) pruža se od aortnog otvora dijafragme, gde nastavlja 

grudnu aortu, levim bokom kičmenog stuba do donje ivice četvrtog slabinskog pršljena gde se 

završava bifurkacijom, deleći se na dve završne grane: desnu i levu zajedničku bedrenu arteriju 

(

a. liliaca communis dextra et sinistra

) (Slika 2). Trbušna aorta dalje daje parijetalne i visceralne 

pobočne  grane.  Obe  grupe  pobočnih  grana  se  prema  broju  dele  na  parne  i  neparne.  Parne 

parijetalne grane  su: donja prečažna arterija (

a. phrenica inferior

), i četiri slabinske arterije (

aa. 

lumbales

), dok je neparna parijetalna grana središna krsna arterija (

a. sacralis mediana

).  Parne 

visceralne grane su namenjene parnim trbušnim organima i polnim žlezdama: 

a. renalis

, 

a. 

suprarenalis

  i 

a. testicularis

  (kod muškog pola), odnosno 

a. ovarica 

(kod ženskog pola). 

Neparne visceralne grane su: 

truncus coeliacus, a. mesenterica superior

 i 

a. mesenterica inferor

. 

Celijačno arterijsko stablo (

truncus coeliacus

) se posle veoma kratkog puta deli na tri završne 

grane (

a. gastrica sinistra, a. hepatica communis, a. lienalis

)  koje vaskularizuju želudac, 

duodenum,  jetru,  žučnu  kesicu,  slezinu  i  veći  deo  pankreasa.  Gor

nja mesenteri

čna  arterija  (

a. 

mesenterica superior

)  svojim  desnim    pobočnim  granama  isharnjuje  desnu  polovi

nu debelog 

creva, a levim granama mezenterijalno tanko crevo (jejunum i ileum). Donja crevna arterija (

a. 

mesenterica inferior

) vaskularizuje levu polovnu debelog creva i deo rectuma. 

Trbušna aorta kroz retroperitonealni prostor ide paralelno sa donjom šupljom venom, koja se 

nalazi desno od nje. Kako se spušta prema udovima aorta postaje sve manja u prečniku, jer se od 

nje odvajaju njene velike bočne grane (cilijačno stablo, gornja mezenterična arterija, leva i desna 

bubrežna arterija, i donja mezenterična arterija). U predelu XI rebru, ona je prečnika oko 25 mm, 

iznad odvajanja bubrežnih arterija, 22 mm, ispod bubrega, 20 mm, i na račvanju ilijačne arterije 

19 mm (Slika 3). 

6 

3.

Aneurizme 

Aneurizma je abnormalno, ireverzibilno proširenje arterije koje se može javiti na moždanim 

kapilarima, koronarnoj arete

riji, ili najčešće na abdominalnoj aorti i

spod renalnih arterija (slika 

4). 

Mogući  uzroci  su  urođeni  gentski  poremećaji

, hipertenzija, ateroskleroza, životni stil 

(pušenje,  stres,  neredovna  fizička  aktivnost,  di

jeta i dr.) kao i 

hemodinamički

i  biomehanički 

faktori. Moždane aneurizme (brain aneurysm-BA) i aneurizme abdominalne aorte (AAA) mogu 

se  godinama  neprimećeno  razvijati.  U  oko  40%  slučajeva  moždane  anurizme  ljudi  sa 

nerupturisanim  aneurizmom  doživeće 

smanjenje perifernog vida, komplikacije sa govorom, 

gubitak  ravnoteže,  probleme  sa  kratkoročnom  memorijom,  i/ili  nagle  promene  u  ponašanju. 

Samo 10% pacijenata sa AAA im

aju  simptome  kao  što  je  bol  u  abdomenu,  bol  u  leđima, 

nesvestica,  i/ili povraćanje. Međutim, kada dođe do rupture, pacijenti sa BA doživeće najgoru 

glavobolju u životu, mučninu, povrćanje, bol u vratu, zamućenje vida, bolove u oku, osetljivost 

na svetlost

, gubitak osećaja, simptome moždanog udara i/ili smrt. Kod muškaraca je četiri puta 

veća verovatnoća da usled rupture nastupi smrt, nego kod žena. 

Postoji nekoliko definicija AAA. Kako je dijametar abdominalne aorte između 15

  mm i 24 

mm, jedna definicija  smatra da je AAA  aorta sa infrarenalnim 

dijametrom većim od 30

  mm. 

Druga definicija predlaže 

kriterijum  da  je  AAA  ako  aorta  ima  1,5  puta  veći 

infrarenalni 

dijametar od očekivanog. 

Slika 4. Aneurizma abdominalne aorte 

One 

se klasično svrstavaju u tr

i osnovna tipa (Slika 5).  

Prava aneurizma je građena od sva tri sloja zida arterije. Pri tome, u pojedinim slojevima, 

naročito u mediji, nalaze se različiti oblici oštećenja koji su doveli do slabljenja zida i posledične 

aneurizme.