Granična vrijednost niza

UVOD

1. Pojam niza

Često nailazimo na takve skupove u kojima elementi slijede jedan za drugim po ustaljenom pravilu (zakonu), tako da se za svaki element može reći koji je po redu (na koje mjesto dolazi). Skupovi koji imaju to svojstvo zovu se još i nizovi ili sljedovi. Da bismo zadani skup mogli nazavti nizom, treba da utvrdimo poredak među njegovim elementima.
Jedan poredak u nizanju ne isključuje mogućnost i drugih poredaka. Nekad je zgodno (pa čak i potrebno) da se uzme ovaj, a nekad onaj poredak. Na primjer, zgodno je ( a i prirodno) da se hemijski elementi poredaju prema broju protona u jezgru ovako:
(1) H, He, Li, Be, …, No, Lw.

Znamo šta znače tri tačke (…): nije uvijek potrebno (a u nekim slučajevima čak ni moguće) da se ispišu svi članovi niza. Niz (1) zove se prirodni niz hemijskih elementa. Vodonik (element s jednim protonom) dolazi u tom nizu prvi po redu (to je prvi član niza), helijum (element s dva protona) dolazi drugi po redu (to je drugi član niza), litijum dolazi treći po redu, berilijum četvrti, …, nobelijum sto drugi, lovrencijum (element sa 103 protona) sto treći po redu. To je poslednji član niza (1).

Kako vidimo, razlika između običnog skupa i niza je u tome što u skupu, uopšte uzevši, nije važan poredak članova, a u nizu je on bitan. Želimo li da od skupa dobijemo niz, moramo dakle, utvrditi poredak među elementima, tj. izvršiti numeraciju skupa: elementima skupa po redu pridružiti prirodne brojeve. Onaj element kojemu je pridružen broj 1 postaje prvi član niza; onaj element kojem je pridružen broj 2 postaje prvi član niza itd.

Prirodni broj koji pridružujemo nekom elementu skupa što ga numerišemo zovemo redni broj ili indeks tog elementa. Da označimo kojem je elementu pridružen broj 1, kojem broj 2, itd., elemente obilježavamo pripadajućim indeksima. Kada se radi o nekom uopštenom razmatranju, obilježavanje se vrši na taj način da se onaj član skupa kojemu je pridružen broj 1 označi, recimo sa a1; onaj član skupa kojemu je pridružen broj 2 označi se sa a2, itd. Dakle,

a1, a2, a3,…, an

znači uopšteno niz od n članova. Članovi a1, a2, a3,…, an mogu da znače najrazličitije predmete. Govori se, npr., o nizu olovaka, o nizu brojeva, o nizu tačaka, itd. Uzmimo kao primjer niz brojeva:

4, -7, 0, 5, 9, -3, 2, 25.

Taj niz ima osam članova (broj 4 je prvi član, broj -7 drugi). Evo i jedan niz tačaka:
B, P, R, A, C, N, D.

Pojedine smo tačke označili još i slovima. Tačka V dolazi prva po redu, tačka P druga, itd.