Uslovni ekstremum funkcija više promenljivih
1
USLOVNI EKSTREMUM
FUNKCIJA VIŠE
PROMJENLJIVIH
Pored lokalnog ekstremuma može se tražiti i uslovni ekstremum. U prethodnom
poglavlju smo određivali ekstremne vrijednosti funkcije
y
x
u
u
,
po ravni
xOy
jer su
x
i
y
bile nezavisne promjenljive. Međutim, ako se traže ekstremne vrijednosti funkcije
y
x
u
u
,
uz uslov da je
a
y
x
,
tj. ako je zadata funkcijska veza između nezavisnih
promjenljivih
x
i
y
, imamo slučaj uslovnog ekstremuma. U tom slučaju tražimo
ekstremne vrijednosti funkcije
y
x
u
u
,
u ravni samo po krivoj koja je zadata uslovom
a
y
x
,
.
Zadatak izračunavanja uslovnog ekstremuma funkcije
y
x
u
u
,
uz uslov
a
y
x
,
rješava se na sljedeći način:
Formira se tzv.
Langražova funkcija
a
y
x
y
x
u
y
x
F
,
,
,
, (broj
je
Langražov množitelj). Sada se naš zadatak svodi na izračunavanje ekstremnih vrijednosti
Langražove funkcije.
Iz jednačina
a
y
x
y
F
x
F
,
0
0
dobijamo stacionarne tačke i dalje postupamo po dovoljnom
uslovu za ekstremne vrijednosti funkcije
y
x
F
F
,
, kako je izloženo u prethodnom
poglavlju, a možemo koristiti i sljedeću olakšicu.
2
2
2
2
11
12
11
12
21
22
2
2
12
22
0
x
y
x
y
F
F
F
F
D
a
a
, a
,a
,a
,a
.
x y
y x
x
y
a
a
Ako je vrijednost gornje determinante u stacionarnoj tački
0
, tada je ta stacionarna
tačka uslovni maksimum funkcije
y
x
u
u
,
.
Ako je vrijednost gornje determinante u stacionarnoj tački
0
, tada je ta stacionarna
tačka uslovni minimum funkcije
y
x
u
u
,
.
Primjer 1.
I
zračunati uslovni ekstremum funkcije
2
4
y
x
u
uz uslov
1
2
2
y
x
.
Formirajmo Langražovu funkciju
1
2
4
,
2
2
y
x
y
x
y
x
F
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
0
0
2
2
2
1
1
0
2
0
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
4
8
8
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
F
x
x
x
F
y
y
y
x
y
x
y
x
y
,
x
,
y
,
x
,
y
.
Dakle, kandidati za uslovni ekstremum su tačke
2
2
,
2
2
1
S
za
2
1
1
i
2
2
,
2
2
2
S
za
2
1
2
. Iz dovoljnog uslova provjeravamo da li su te tačke, tačke uslovnog
ekstremuma date funkcije
u
.
I način:
2
2
2
11
12
22
2
2
2
2
2
0
2
x
y
F
F
F
x,
y , a
, a
, a
x y
x
y
.
Za tačku
2
2
,
2
2
1
S
,
2
1
1
je
0
4
1
0
2
0
1
2
2
2
0
0
22
12
12
11
a
a
a
a
D
y
x
y
x
,
pa je tačka
2
2
,
2
2
1
S
tačka uslovnog minimuma posmatrane funkcije
u
.
Za tačku
2
2
,
2
2
2
S
,
2
1
1
je
0
4
1
0
2
0
1
2
2
2
0
0
22
12
12
11
a
a
a
a
D
y
x
y
x
,
pa je tačka
2
2
,
2
2
2
S
tačka uslovnog maksimuma posmatrane funkcije
u
.
