Odlomak

Uvod
KAKO SU NASTALI KOMPLEKSNI BROJEVI

Spektakularna otkrica, kakva su ˇcesta u nekim znanostima, u matematici su prava
rijetkost. Matematicka znanja nastaju i sazrijevaju u dugotrajnom procesukroz naporan rad mnogih matematiˇcara pa se zbog toga gotovo nikad ne pripisuju pojedincu. Tako je i s povjesnicari kompleksnih brojeva. Kad su nastali?Tko ih je otkrio? Premda neki povjesnicari matematike drˇze kako pojava ideje o kompleksnim brojevima seze sve do Herona Aleksandrijskog, ipak se danasnjihovo otkrice pripisuje talijanskim matematiˇcarima iz XVI. stoljeca, a osobitoTartagliai i Cardanu. Oni su rijeˇsili opcu algebarsku jednadˇzbu treceg stupnjaax3 + bx2 + cx + d = 0. Formule kojima se rjeˇsava takva jednadˇzba zovu seCardanove formule.

Naziv imaginaran broj uveo je Ren´e Descartes.
No sve ono ˇsto je vezano uz kompleksne brojeve i ˇsto ih je u matematici dovelo u “ravnopravan poloˇzaj” s realnim brojevima ipak je stvoreno u XVIII. stoljecu, pri cemu su Abraham de Moivre i Leonhard Euler imena koja valja posebno istaknuti. Prica je zaokruzena povezivanjem kompleksnih brojeva i geometrije, pri cemu je osobito zasluzan Carl Friedrich Gauss.Danas su poznate vrlo vrijedne primjene kompleksnih brojeva u raznim primijenjenimznanostima.

Na pitanje zavrsava li s kompleksnim brojevima prica o brojevima odgovor je na to NE. Ona ima svoj nastavak u daljnjim prosirenjima skupa klopleksni projeva.
Sto su kompleksni brojevi
Prije nego li odgovorimo na ovo izravno pitanje, prisjetimo se kako smo tijekom
cenja matematike stigli od prirodnih do realnih brojeva.
Prirodni brojevi su brojevi 1, 2, 3, 4, 5, . . . . Tim brojevima iskazujemo rezultat
brojenja ili prebrojavanja. Skup prirodnih brojeva oznacava se s N.
N = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}.
Navedimo osnovna svojstva skupa N.U skupu N postoji namanji broj, broj 1. Ne postoji najveci prirodni broj. Odma kako velikog prirodnog broja postoji jos veci. Dovoljno je bilo kojem prirodnombroju dodati 1 i vec smo dobili broj koji je od njega vecci. Ovaj Zoran opis uvjerava nas da je skup prirodnih brojeva beskonacan.S prirodnim brojevima racunamo; zbrajamo ih, oduzimamo, mnozimo, dijelimo.Zbroj svaka dva prirodna broja prirodan je broj. No vec kod oduzimanja tone vrijedi. Razlika dvaju prirodnih brojeva je prirodan broj ako od veceg oduzimamomanji broj. Ali ako od manjeg oduzimamo veci, razlika nije prirodanbroj. Zelimo li da oduzimanje bude izvedivo i u ovom, drugom slucaju, moramouvesti nove brojeve. Moramo prosiriti skup N brojem nula i negativnim
brojevima.
Skup cijelih brojeva sadrzi sve prirodne brojeve, nulu i sve negativne cijelebrojeve. Taj skup oznacavamo sa Z te je

Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
U skupu cijelih brojeva nema niti najmanjeg, niti najveceg broja.Zbrajanjem ili oduzimanjem bilo koja dva cijela broja dobit cemo cijeli broj.Ali dijeljenjem dvaju cijelih brojeva opcenito ne dobivamo cijeli broj. To jerazlog za uvodzenje racionalnih brojeva.Racionalni su brojevi omjeri cijelih brojeva a cesto ih zapisujemo u obliku razlomka.
Racionalni su brojevi u svojem decimalnom zapisu konacni ili, ako subeskonacni, onda su periodicni.I konacno, vidjeli smo kako niti racionalni brojevi nezadovoljavaju sve zahtjeve koje postavljaju razni zadaci.Tako se neki brojevi, kao sto su primjerice√2 iliπ ne mogu zapisati u obliku omjera dvaju cijelih brojeva.Prvi je od njih duljina dijagonale kvadrata kojemuje duzina stranice jednaka 1, a drugi je omjer opsega i duljine promjera bilo kojeg kruga. Ti brojevi nisuracionalni, oni su iracionalni.

Iracionalni brojevi su beskonacni neperiodicni decimalnibrojevi. I skup iracionalnih brojeva je beskonacan.

Skup realnih brojeva je unija skupova racionalnih i iracionalnihbrojeva. Drugim rijecima skup realnih brojevasadrzi sve racionalne (a time onda i prirodne i cijele) isve iracionalne brojeve.
Novi problem otvara se pri rjesavanju kvadratne jednadzbe. Vec jednostavna jednadzba kao sto je primjerice jednadzba x2 + 1 = 0 nema rjesenja u skupurealnih brojeva. Zasto? Lako je obrazloziti: Za svaki realni broj x broj x2 +1je pozitivan.Zelimo li da jednadzba x2+1 = 0 ima rjesenja, naslucujete li kako se postupa?Valja prosiriti skup realnih brojeva, uvesti nove, kompleksne brojeve.Najprije uvedimo broj i , imaginarnu jedinicu. To je broj ciji je kvadrat jednak

Imaginarna jedinica je broj ciji je kvadrat jednak −1 :

i2 = −1.

Umnozak realnog broja i imaginarne jedinice zove se imaginarni broj.
Brojevi 3i , 1/4i, -√5i, 0.1i primjeri su imaginarnih brojeva.
Kompleksni broj je zbroj realnog i imaginarnog broja. Brojevi 1 + 2i, 3−i ,
3 − 5i,⅔, √3-5iprimjeri su kompleksnih brojeva.
Opcenito, kompleksni broj zapisujemo u obliku

No votes yet.
Please wait…

Prijavi se

Detalji dokumenta

Više u Matematika

Više u Seminarski radovi

Više u Skripte

Komentari