Iskazi – Tautologija

UVOD

Iskaz se u logici definiše kao rečenica koja može biti istinita ili lažna, odnosno, kao rečenica za koju ima smisla pitati da li je istinita ili lažna. Iskazi se po ovoj osobini razlikuju od mnogih drugih vrsta rečenica. Pitanja, molbe i naredbe, na primjer, nisu iskazi jer se u odnosu na neko pitanje ili molbu ne pitamo da li su oni istiniti ili lažni. Iskazima, dakle, formulišemo neku sliku svijeta. Sinonimi za termin “iskaz” su riječi “tvrdnja”, odnosno, “stav” ili “sud” koji se rijeđe koriste zbog dvosmislenosti.
Iako formalnu logiku ne interesuje da li je neki iskaz zaista faktički istinit ili lažan, sama istinitost ili lažnost je osnovni pojam koji logika koristi. “Istina” i “neistina” ili “tačno” i “netačno” su osnovne istinitosne vrednosti koje može imati neki iskaz. Svaki iskaz je ili istinit ili lažan, ne može biti i jedno i drugo, i barem u dvovalentnoj logici (logici koja operiše sa dvije istinitosne vrednosti) ne može biti ni nešto treće. U formalnoj logici nas jedino interesuje da li smo za neki iskaz pretpostavili da je istinit ili smo pretpostavili da je lažan, a ne bavimo se time da li je ta pretpostavka ispravna ili ne. Ova istinitost koja je predmet pretpostavki o tome kakav je svijet i koja se najčešće može provjeriti putem iskustva naziva se faktička ili iskustvena istinitost. Na primjer, stav “Danas je sunčan dan” možemo provjeriti pogledom kroz prozor, putem iskustva, još tačnije čulnog iskustva.
Međutim, ponekad možemo procjeniti da je neki iskaz tačan ili netačan čak iako ne znamo kakvo je danas vrijeme. Na primer iskaz “Danas je sunčano ili nije sunčano” mora biti tačan bez obzira kakvo je danas vrijeme, pošto postoje samo dvije mogućnosti, a iskaz tvrdi da je bar jedna od njih istinita, ne ulazeći u to koja. U slučaju rečenice “Danas je sunčano ili nije sunčano” putem logike zaključujemo da ta rečenica mora biti istinita, odnosno, da je uvek istinita, bilo kakvo da je vrijeme.
Ova vrsta istinitosti zove se logička istinitost i razlikuje se od faktičke ili iskustvene istinitosti. Utvrđuje se logikom, a ne iskustvom i važi nezavisno od iskustva. Pretpostavljamo da formalnu logiku interesuje prevashodno logička istinitost. Iskazi koji su logički istiniti zapravo opisuju logička pravila kojih bismo se trebali držati u mišljenju, nezavisno od toga šta ćemo misliti o samom svijetu. Naše predstave o svijetu, o činjenicama u njemu, mogu da se mijenjaju a da logika koju koristimo ostane ista. Ovo važi samo za logiku u najužem smislu – naša logika u širem smislu naravno može da se mijenja zavisno od novih saznanja o svijetu, pošto je ona samo forma mišljenja, pa se može mijenjati sa mišljenjem.

1. ISKAZ

Svaka izjavna rečenica koja ima smisla i koja može biti istinita (tačna) ili neistinita (netačna) naziva se iskaz (sud). Sem rečenica koje nam definišu neki pojam u matematici kao i u svakidašnjem životu postoje rečenice kojima se iskazuju određena razmišljanja, tvrđenja, pitanja i slično. Svaki iskaz možemo obilježiti nekim slovom (najčesće slovima latinice), brojem ili nekim drugim simbolom. Takve simbole nazivamo iskazna slova.
Iskazi imaju dvije bitne osobine:
1. Iskaz je tačan ili netačan i nije ništa treće (logički princip isključenja trećeg).
2. Iskaz ne može u biti u isto vrijeme i tačan i netačan (logički princip proturječnosti).
Od iskaza možemo praviti nove složene iskaze povezujući polazne iskaze veznicama, odnosno negirajući ih. Složene iskaze proučava algebra iskaza, koja je dio matematičke logike.
Primjer:
1. Broj 5 je manji od broja 9 ≡ p
2. Broj 4 je paran broj ≡ a
3. Rješenje jednačine x + 5 = 2 je pozitivan broj ≡ b.
Svako iskazno slovo, u našem slučaju p, a, b, može imati dvije vrijednosti, tj. iskazna slova možemo smatrati promjenljivim veličinama koje mogu imati samo jednu od dvije vrijednosti : T (tačno, istinito) ili ⊥ (netačno, neistinito).
Ako neki iskaz ima tačnu vrijednost, onda pišemo (p) = T, ili netačanu vrijednost (p) = ⊥. Zbog kratkoće pisanja, često se ovaj način pisanja zamjenjuje sa p = T ili p = ⊥.
Tačan iskaz naziva se stav.
Primjer tačnog iskaza:
„Kvadrat broja dva je 4 “ ≡ p, tj. (p) = T, a netačnog „Broj 8 je djeljiv sa 3 “ ≡ p, tj. (p) = ⊥.
U matematici su iskazi : stavovi, definicije, aksiome, teoreme, kao i neke relacije, o čemu će biti riječi kasnije.