Kvantifikatorski račun

1.    FORMALNE  TEORIJE

Matematičke discipline se mogu posmatrati potpuno formalno tj. sintкsički. U takvom pristupu smisao pojmova i istinitost tvrđenja nema direktan uticaj na razvoj same teorije.Umjesto toga , daju se precizna pravila za formiranje iskaza i formula, kao precizna pravila dokazivanja. Jedon o čemu vodimo računa je da li se ta pravila  dosledno poštuju. Dokaz teoreme u ovom pristupu je konačan niz formula koje se izvode po unaprijed definisanim pravilima.
Da bi neku matematičku disciplinu (npr. teorija brojeva, teorija grupa, Euklidska geometrija i sl.) izgradili kao formalnu teoriju, neophodno je da istim formalizmom budu izgrađene i teorije koj joj prethode.To moraju biti u svakom slučaju iskazna i predikatska logika, a u većini slučajeva i teorija skupova. U tom smislu razvijeni su iskazni račun i predikatskiračun kao formalne teorije sa sopstvenim aksiomama i pravilima izvođenja. Ostale matematičke discipline se izgraduju kao formalneteorije unutar predikatskog računa, uz eventualan dodatak novih primitivnih pojmova i novih aksioma.
U izlaganju formalnih teorija postoji jasna razlika izmedju meta-jezika, kojim se govori o teoriji, i objekt-jezika, koji predstavlja jezik formula same teorije.Formalnu teoriju uobičajeno izgrađujemo tako da bar intuitivno ona odgovara nekoj matematičkoj disciplini.Za tu matematičku disciplinu onda kažemo da je glavna interpretacija izgradivane formalne teorije.
Formalna teorija T se definiše kao uređena četvorka
T = (X, F,A, P) ,
gdje je
•X prebrojiv skup, koga nazivamo skup polaznih simbolailialfabet formalne teorije T.
•F podskup skupa svih riječi nad alfabetom X, koga nazivamo skup formula formalne   teorije T.
•A podskup skupa formula F, koga nazivamo skup aksioma  formalne teorije T.
•P konačan skup relacija (različitih dužina) na skupu formula, koga nazivamo skup    pravila izvodenja formalne teorije