Matrice
1
MATRICE (TEORIJA)
Za pravougaonu ( kvadratnu ) šemu brojeva
ij
a
(
i=1,2,…,m
a
j= 1,2,…,n
):
11
12
1
21
22
2
1
2
. . .
. . .
.
.
.
. . .
n
n
m
m
mn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
kažemo da je
matrica tipa
m n
×
. Brojevi
ij
a
su elementi matrice.
Tip matrice je vrlo bitna stvar : kad kažemo da je matrica tipa
m n
×
, to znači da ona ima
m
vrsta i
n
kolona
.
Primer:
Matrica
2 3 -5
1 2 3
A
=
je tipa 2 3
×
jer ima dve vrste a tri kolone.
Matrica
7 8
1 2
7 6
1 -2
B
=
je tipa
4 2
×
jer ima 4 vrste i 2 kolone.
Matrice se najčešće obeležavaju ovim srednjim zagradama
[ ]
, ali da vas ne zbuni, neki profesori ih obeležavaju i
malim zagradama
( )
a koriste se još i
. Vi radite onako kako kaže vaš profesor...
Ako matrica ima
isti broj vrsta i kolona (
n n
×
), za nju kažemo da je
kvadratna matrica reda n
.
Matrica čiji su
svi elementi jednaki nuli
naziva se
nula- matrica.
[ ]
0 0
0 ,
,
0 0
itd
Matrica
- A
definisana sa
( 1)
def
A
A
− = −
je
suprotna matrica
za matricu
A.
Kvadtarna matrica reda n za koju je
1
ii
a
=
( po glavnoj dijagonali su jedinice a sve ostalo nule) naziva se
jedinična
matrica reda n
i označava se sa
n
I
[ ]
1
2
3
1 0 0
1 0
1 ,
,
0 1 0 ...
0 1
0 0 1
I
I
I
itd
=
=
=
Neki profesori jediničnu matricu obeležavaju sa
E.
Vi radite onako kako kaže vaš profesor...
2
Ako su svi elementi kvadratne matrice reda n
ispod glavne dijagonale jednaki nuli
, takva se matrica naziva
gornja
trougaona matrica.
Na primer :
1 8 -2
0 1 6
0 0 7
je gornja trougaona matrica reda 3.
Ako su svi elementi kvadratne matrice reda n
iznad glavne dijagonale jednaki nuli
, takva se matrica naziva
donja
trougaona matrica.
Na primer :
2 0 0
2 3 0
7 3 8
je donja trougaona matrica reda 3.
Dve matrice
A
i
B
su
jednake
ako i samo ako su
istog tipa
i imaju
jednake odgovarajuće elemente
.
Sabiranje i oduzimanje matrica
Važno: Mogu se sabirati ( oduzimati ) samo matrice
istog tipa
!
Primer
Neka su date matrice
2 7 -5
4 2 3
A
=
i
3 3 -5
1 4 0
B
=
−
. Nadji matricu
A+B
i
A-B.
Najpre primetimo da su matrice A i B istog tipa 2 3
×
, to jest obe imaju 2 vrste i 3 kolone. To nam govori i da će
matrica koja je njihov zbir takodje biti tipa 2 3
×
.
Sabiraju se tako što sabiramo “ mesto s mestom”…krenemo od mesta na prvoj vrsti i koloni 2+ 3=5 itd…
2 7 -5
3 3 -5
2+3 7+3 -5+(-5)
5 10 -10
4 2 3
1 4 0
4 ( 1) 2+4 3+0
3 6 3
A
B
+ =
+
=
=
−
+ −
Analogno radimo i oduzimanje:
2 7 -5
3 3 -5
2-3 7-3 -5-(-5)
1 4 0
4 2 3
1 4 0
4 ( 1) 2-4 3-0
5 -2 3
A B
−
− =
−
=
=
−
− −
4
Najpre da vidimo koji tip će imati matrica koja se dobija njihovim proizvodom:
A
je tipa 2 3
×
, dok je
B
tipa 3 2
×
pa će matrica njihovog proizvoda biti tipa (2
3
×
) ( 3
⋅
2)
2 2
×
= ×
.
Dakle imaće dve vrste i dve kolone.
2 0
1 2 -1
1 3
0 2 3
1 -1
A B
⋅ =
⋅
. Kako sada računati? Imamo dakle 4 “mesta”.
2 0
1 2 -1
prva vrsta prva kolona
prva vrsta druga kolona
1 3
0 2 3
druga vrsta prva kolona
druga vrsta druga kolona
1 -1
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
prva vrsta prva kolona
⋅
dobijamo :
2 0
1
2 -1
1
3
0
2 3
1 -1
⋅
=1 2+2 1+(-1) 1=
.
.
.
2+2-1=3
prva vrsta druga kolona
⋅
dobijamo:
2 0
1
2 -1
1
3
0
2 3
1 -1
⋅
=1 0+2 3+(-1) (-1)=0+6+1=7
.
.
.
druga vrsta prva kolona
⋅
:
2 0
1
2 -1
1
3
0
2 3
1 -1
⋅
.
.
.
=0 2+2 1+3 1=0+2+3=5
druga vrsta druga kolona
⋅
:
2 0
1
2 -1
1
3
0
2 3
1 -1
⋅
.
.
.
=0 0+2 3+3 (-1)=0+6-3=3
5
Sad ovo ubacimo gore:
2 0
1 2 -1
3 7
1 3
0 2 3
5
3
1 -1
⋅
=
Naravno, vi ne morate da radite ovoliko postupno, kad se izvežbate, sve će ići mnogo brže...
Za proizvod matrica važe zakoni:
1) (
)
(
)
2)
(
)
i (
)
3) (
)
(
)
(
) je skalar ( broj)
4)
gde je I jedinična matrica
A B C
A B C
A B C
A B
A C
B C
A
B A C A
A B
A B
A
B
I A
A I
α
α
α
α
⋅
⋅ = ⋅
⋅
⋅
+
= ⋅ + ⋅
+
⋅ = ⋅ + ⋅
⋅
=
⋅
=
⋅
⋅ = ⋅
Važno: Za matrice u opštem slučaju ne važi komutativnost množenja
A B
B A
⋅ ≠ ⋅
Ako je
A
matrica tipa
m n
×
, onda se njena
transponovana matrica
T
A
dobija kada u matrici
A
kolone i vrste
zamene mesta
. Tip matrice
T
A
je onda naravno
n m
×
.
Primer
Ako je recimo
1 4 5
0 0 3
A
=
, onda je
1 0
4 0
5 3
T
A
=
Ako je recimo
1
2
3
1
0
4
0
5
0
2
5
5
4
5
6
3
0
6
T
B
B
=
→
=
Matrica
A
za koju je
T
A
A
=
naziva se simetrična matrica.
( naravno, matrica
A
mora biti kvadratna)
Primer
Ako je
1
2
3
2
0
5
3
5
1
A
=
−
, kad zamenimo mesta kolone u vrste, dobijamo
1
2
3
2
0
5
3
5
1
T
A
=
−
Dakle, ova matrica je simetrična!
Više u Mašinstvo
Proračun kapaciteta bagera PC 3000 br.5
- Proračun kapaciteta
- UNIVERZITET U BANJA LUCI Mašinski fakultet · Ugljevik
- 39 stranica
Defektaža motora KTA-38 C na damperu BELAZ 75135
- DEFEKTAŽA MOTORA
- UNIVERZITET U BANJA LUCI Mašinski fakultet · Ugljevik
- 82 stranica
Izrada i montaža nosača projektora
- Praktičan rad
- Visoka tehnička škola strukovnih studija · Inđija
- 16 stranica
Više u Matematika
Razni zadaci 2 PMF
- Matematika
- Prirodno-matematički fakultet, Novi Sad · Novi Sad
- 8 stranica
Matematika – najvažnije formule
- Matematika
- Beogradska poslovna škola Visoka škola strukovnih studija · Beograd
- 15 stranica
Računske operacije sa matricama
- Matematika
- UNIVERZITET PRIVREDNA AKADEMIJA - Fakultet za primenjeni menadžment, ekonomiju i finansije u Beogradu · Beograd
- 20 stranica