Matematička logika

Uvod

Osnovno sredstvo sporazumjevanja među ljudima je jezik. Razlikujemo više vrsta jezika sporazumjevanja, kao što su npr. slikarski, muzički, obični govorni i književni jezik. Matematički jezik je najviši oblik naučnog jezika.
Za razliku od npr. slikarskog jezika, metematici je potreban jezik pomoću koga se izražavamo i sporazumjevamo bez dvosmislenosti i nedorečenosti. Zadatak matematičke logike je proučavanje, istraživanje i stalna dogradnja takvog matematičkog jezika, tj. jezika simbola kao sredstva za razvijanje mišljenja, rasuđivanja, zaključivanja i komuniciranja u matematici.
Najsličniji matematičkom jeziku su govorni i književni jezik. Osnovu ovih jezika čine glas, slovo, riječ i rečenica. Nešto slično važi i za matematički jezik u kome osnovu čine matematički izrazi ili termini. Najprostiji matematički izrazi su konstante i promjenjive.

Konstante su potpuno određeni matematički objekti, tj. veličine kojima se vrijednost ne mjenja, npr. –8, 0, 2, 2/3, 5……….

Promjenjive su simboli koji mogu predstavljati bilo koji elemenat iz nekog datog skupa. Dati skup se naziva oblast definisanosti promjenjive. Konstante kojima se zamjenjuju promjenjive nazivaju se vrijednosti promjenjivih.

Matematičke formule koje sadrže promjenjive kojima vrijednost nije definisana i za koje se zbog toga nemože jednoznačno utvrditi vrijednost istinitosti, su neodređeni iskazi i nazivaju se iskazne forme, iskazne funkcije, ili predikati. Predikati postaju iskazi kada se u njima na mjesto promjenjivih uvrste konstante, tj. vrijednosti promjenjivih. Za predikate sa jednom, dvije, tri, itd. promjenjivih se kaže da su dužine jedan, dva, tri, itd.

 
Pojmovi i oznake matematičke logike

Zbog preciznosti i kratkoće u izlaganju, u matematici se koriste neki pojmovi i oznake matematičke logike.

Definicija 1. Pod iskazom se podrazumjeva iskaz koji ima smisla i za koji važe sljedeća dva principa:

1. (Princip isključenja trećeg). Svaki sud ima bar jednu od osobina istinitosti ili neistinitosti, tj. ne postoji sud koji bi bio i istinit i neistinit.

2. (Princip kontradikcije). Svaki sud ima najviše jednu od osobina istinitosti ili neistinosti, tj. nema suda koji bi bio istinit ili neistinit.

Ovo je opisna, intuitivna, definicija iskaza. Prema ovoj definiciji, dakle, svaki iskaz ima samo jednu vrijednost istinitosti: iskaz je ili istinit ili neistinit.

Definicija 2: U matematici se istinit iskaz zove teorema ili stav. Vrijednost istinitog iskaza označava se sa ┬ ili sa 1, a neistinitog ┴ ili 0. Među elementima ┬ i ┴, odnosno 1 i 0, definišu se operacije od kojih su osnovne: konjukcija, disjunkcija, negacija, implikacija i ekvivalencija.

Definicija 3: Svaki složeni iskaz dobijen primjenom logičkih operacija konjukcije, disjunkcije, negacije, implikacije i ekvivalencije na neke polazne sudove naziva se formula.

Definicija 4: ¨Formula koja za sve vrijednosti istinitosti iskaza koji ulaze u tu formulu dobija vrijednost ┬ naziva se tautologija.¨

Definicja 5: ¨Formula koja za sve vrijednosti istinitosti iskaza koji ulaze u tu formulu dobija vrijednost ┴ naziva se kontradikcija.¨