5. Principi Konstruktivne geometrije

5.1. Projekcije

Osnovna ideja KONSTRUKTIVNE GEOMETRIJE sadržana je u grafi

kom prikazivanju

trodimenzionih predmeta, definisanju njihovog me

usobnog položaja, i kona

no, odre

ivanju

geometrijskih parametara, neophodnih za izradu.

Problem prikazivanja trodimenzionih formi pomo

u, naj

eš

e, dvodimenzionog komunikacijskog

medija (papir, ekran, foto materijal, ...), rešava se primenom

projekcija

. Predmet prikazivanja obi

se nalazi slobodno orijentisan u prostoru i iz pogodno izabrane

ke posmatranja

, pomo

projekcijskih zraka

, generiše se dvodimenzioni lik predmeta na

projekcijskoj ravni

(Sl. 5.1).

kom posmatranja može se smatrati i ljudsko oko, iz koga se zra

no prostiru projekcijske linije,

koje definišu izgled predmeta na zastoru.

™

Pojmovi,

injenice i stavovi, posebno zna

ajni za razumevanje razmatrane tematike, bi

nazna

eni podebljanim slovima, a tuma

enje manje poznatih pojmova nalazi se u ta

ki 5.14.

Nešto druga

iji prilaz projektovanju postoji kada se

ka posmatranja

preseli u

beskona

nost

kada su projekcijski zraci me

usobno

paralelni

, a zastor ima

upravni položaj

u odnosu na njih (Sl.

5.2). Ovaj vid projektovanja zove se

ortogonalno projektovanje

i predstavlja suštinsku osnovu

nau

ne discipline KONSTRUKTIVNA GEOMETRIJA (u daljem tekstu KG).

Sl. 5.1 Projektovanje iz ta

Sl. 5.2 Ortogonalno projektovanje

5.2. Osnovi Konstruktivne geometrije

Svojstvo ortogonalnosti je jedan globalan fenomen koji se sre

e i u srodnim nau

nim disciplinama

(vektorski, tenzorski ra

un), a u oblasti inženjerske grafike ima fundamentalni zna

aj jer pruža realnu,

neiskrivljenu sliku jedne strane trodimenzione forme (Sl. 5.3). Da bi se dobio potpuni prikaz
prostornog objekta koristi se sistem od tri me

usobno ortogonalne ravni. Time se jednovremeno

otkriva izgled tri strane predmeta (Sl. 5.4). Naj

eš

e je kombinacija ove tri osnovne projekcije

dovoljna da bi se definisao oblik i najsloženijih formi. U slu

aju potrebe uvode se pomo

projekcijske ravni, izabrane na pogodan na

in.

Vizuelne komunikacije

Oznake osnovnih projekcijskih ravni su

- FRONTALNA ravan,

- HORIZONTALNA ravan i

PROFILNA ravan. Pomo

ne projekcijske i konstruktivne ravni, za razliku od osnovnih (F, H, P),

ima

e oznake arapskih brojeva (1, 2 ... n).

ka, kao osnovni element KG, nosi

e oznaku nekog od velikih slova abecede A, B, C, D, ..., Z,

osim rezervisanih simbola

. Prikaz ta

ke u pojedinim projekcijskim ravnima, odnosno

projekcijama, bi

e nazna

en originalnom oznakom ta

ke sa malim natpisanim indeksom A

, A

, B

, ... , koji odre

uje pripadnost projekcijskoj ravni.

Povezivanjem dve ta

ke u prostoru formira se novi element KG, koji se naziva

duž

. Obeležava se

povezanom oznakom krajnjih ta

aka AB, CD, ... . Jasno, duž prikazana u odre

enoj projekcijskoj

ravni nosi

e indeks pripadnosti baš toj ravni AB

, CD

, ... . Produžavanjem osnovnog pravca duži na

jednu i drugu stranu od krajnjih ta

aka, dobija se

prava

. Njena dužina je beskona

na, a ozna

ava se

malim slovima abecede a, b, c, d, ... , u izvornoj formi, odnosno a

, b

, c

, ... , u projekcijama. Prava

ne mora isklju

ivo da bude definisana dvema ta

kama, ve

može da leži i u preseku dve ravni. Tada ta

prava postaje

trag ravni

, jer je to fizi

ki trag koji ostaje na mestu prodora jedne ravni kroz drugu.

Ozna

avanje i opis složenijih formi slede kroz naredna poglavlja.

Sl. 5.3 Ortogonalna projekcija figure

Sl. 5.4 Prikaz figure u sistemu tri

ortogonalne ravni

Vizuelne komunikacije

5.4. Postupak formiranja projekcije

Pre nego što se dublje za

e u razotkrivanje metoda KG poželjno je ista

i par

injenica koje, uprkos

sopstvene o

iglednosti, ostaju ponekad zamagljene ili u drugom planu.

Prvo

predstavlja osnovni element KG, odnosno hijerarhijski najnižu gradivnu formu.

Uspostavljanjem odre

enog rasporeda pojedina

nih i pogodno izabranih ta

aka, veoma jednostavno se

formira bilo koji složeniji oblik. Zbog toga je neobi

no važno da se elementarne operacije u KG,

vezane za ta

ku, izuzetno temeljno prou

e i savladaju.

Drugo

linija

(tako

e i njena ome

ena forma

duž

) predstavlja slede

i hijerarhijski element KG i ima

dvostruko zna

ajnu ulogu. Osim što predstavlja sopstveni grafi

ki odraz i parcijalni odraz delova

složenijih slika i figura, linija je simbol

projekcijskog

zraka

. Stoga se, kod razli

itih manipulacija

elementima KG (prevo

enje iz jedne u drugu projekcijsku ravan) koriste linije, odnosno snopovi

tankih, paralelnih

zra

nih linija

, da bi se izvele odgovaraju

e transformacije.

Tre

, hijerarhijski još viši element KG je

ravan

, odnosno

geometrijska slika

kao ome

ena forma

ravni. Potpuno srazmerno njenom hijerarhijskom zna

aju, definisan je i obim mogu

e primene. Tako

se ravan sre

e u trostrukoj ulozi.

Svojim parcijalnim delom (geometrijska slika) može da predstavlja zatvorenu ravansku formu, ili neku
od strana geometrijske figure. U oba ova slu

aja, iako prikazana samo jednim svojim minornim

delom, ravan zadržava kompletnu odre

enost u

itavom prostoru. To omogu

ava jednostavno

uspostavljanje relacija sa drugim elementima sadržanim u toj ili drugim ravnima.

Druga uloga ravni, znatnim delom, ve

je opisana

kroz izbor i postavku projekcijskih ravni.
Formom, koja u potpunosti odgovara
projekcijskom zastoru, ravan je idealan element
na koji se može projektovati izgled predmeta.
Pošto se može sasvim slobodno orijentisati u
prostoru, pogodnim izborom njenog položaja,

Sl. 5.7 Otvaranje osnovnog triedra

Sl. 5.8 Razvijen osnovni triedar

Zra

na linija - linija upravna na projekcijsku ravan, prikaz se sažima u ta

Konstruktivna geometrija

uvodi se

pomo

na projekcijska ravan

u kojoj se formira lik predmeta baš u željenom pravcu.

Tre

a uloga ravni je, sli

no liniji, vezana za formiranje projekcije. Veoma

esto, umesto primene

pojedina

nih projekcijskih zraka (Sl. 5.9), u preslikavanju linijske forme neuporedivo efikasniji potez

je primena

zra

ne ravni

koja je i ina

e odre

ena nizom

povezanih projekcijskih zraka.

Sl. 5.9 Koriš

enje zra

ne ravni u projektovanju

5.4.1. Osnovne

projekcije

Pojedini pojmovi KG najbolje se mogu do

arati koriš

enjem analogije sa realnim objektima.

Tako, obi

na kuglica ovešana o plafon sobe, može da predstavlja diskretnu ta

ku u prostoru. Pri tome,

okolni zidovi i pod postaju projekcijske ravni (Sl. 5.10). Koriš

enjem jakog svetlosnog izvora, ili još

bolje laserskog snopa, dobi

e se senka, odnosno projekcija ta

ke na jednom od naspramnih zidova. Da

bi to bila zaista

ortogonalna projekcija

važno je da svetlosni zrak bude upravan na zid (projekcijsku

ravan) i da dolazi iz izvora koji je dovoljno (teorijski beskona

no) udaljen od projektovane ta

ke. Ta

dva uslova:

–

ortogonalnost projekcijskog zraka na projekcijsku ravan

–

beskona

na udaljenost svetlosnog izvora

predstavljaju osnovne odrednice ortogonalne projekcije. Odstupanje od tih uslova (Sl. 5.10) neizbežno
donosi devijaciju projekcije, što dalje vodi projekcijskoj neodre

enosti.

FRONTALNA senka, odnosno projekcija, dobi

e se kada svetlosni izvor zauzme

poziciju 1

(Sl. 5.10),

koja svakako ispunjava pretpostavljene uslove dovoljne udaljenosti i ortogonalnosti. Slede

PROFILNA senka, dobi

e se ako se svetlosni izvor preseli u

poziciju 2

. Bitno je uo

iti da se i pozicija

1 i pozicija 2 nalaze u istoj ravni zajedno sa ta

kom A.

Potpuna ravanska podudarnost ovih
položaja upu

uje na dva veoma važna

Zra

na ravan - ravan upravna na projekcijsku ravan, prikaz je sadržan u tragu ravni odnosno liniji

Sl. 5.10a Razvijene projekcijske ravni

Sl. 5.10 Projekcijski prostor

[

]

[

]

Konstruktivna geometrija

Pri

mer

pomo

ne ravni (paravana) (Sl. 5.12) dat je u prostornoj formi,

a osnovni zadatak KG je da se to do

ara ravanskim prikazom. Da bi se to izvelo primenjuje se

uveni

postupak

obaranja

ravni. Ideja se sastoji u slede

em. Nakon što je laserskim snopom zabeležena

senka ta

ke na paravanu (pomo

noj ravni), on se rotira (obara) oko svog traga i polaže u

HORIZONTALNU projekcijsku ravan. Jasno da je projekcijski zastor mogao da se postavi upravno i
na frontalnu ravan, ali je mnogo lakše zamisliti da paravan stoji na podu nego na zidu.

Treba uo

iti da se u pomo

noj ravni senka ta

ke nalazi:

–

na veznoj liniji iz A

koja je upravna na trag pomo

ne ravni

Sl. 5.13 Prikaz pomo

ne ravni u

osnovnom diedru

Sl. 5.12 Pomo