Odlomak

Predgovor
Laplace-ova transformacija predstavlja jako dobar “alat” za rješavanje običnih
i parcijalnih diferencijalnih jednaćina. Integralne transformacije pojavljuju se u
radu Leonarda Euler-a, koji ih je prilikom rješavanja običnih diferencijalnih jednačina
drugog reda, predstavljao u obliku inverzne Laplace-ove transformacije.
Laplace u svom velikom djelu Théorie analytique des probabilités (1812), pominje
Euler-a kao začetnika integralnih transformacija. Krajem devetnaestog vijeka,
Laplace-ova transformacija je proširena do njenog kompleksnog oblika zaslugama
Poincaré-a and Pincherle-a, i proširena na dvije promjenjive zaslugom Picarda.
Jedna od najljepših formula iz teorije Laplace-ove transformacije je svakako
formula kompleksne inverzije. Prva primjena savremene Laplace-ove transformacije
pojavljuje se u radu Bateman-a (1910). Berstein je 1920-te u svom radu
o teta funkcijama izraz f(s) = R ∞
0
e
−stφ(t)dt nazvao Laplace-ovom transformacijom.
Određeni podsticaj i doprinos ovome dao je Deutch 1920-ih i 1930-ih
godina koji primjenjuje Laplace-ovu transformaciju za rješavanje diferencijalnih,
integralnih i integrodiferencijalni jednačina. Rezultate toga rad je izložio u djelu
Theorie und Anwendungen der Laplace Transformation (1937). Važnu ulogu u
primjeni Laplace-ove transformacije u Elektrotehnici odigrao je Oliver Heaviside.
On je izumio Heaviside-ovu stepenastu funkciju i primjenio je na modelu stuje
u elektičnom kolu. Pronašao je i metodu za rješavanje linearnih diferencijalnih
jednačina, za koju je kasnije utvrđeno da odgovara Laplace-ovoj transformaciji.
Mnogi naučnici su pokušali da Heaviside-ov račun učine složenijim i povežu ga sa
Laplace-ovom transformacijom. Jedan od njih bio je i Bromwich, koji je otkrio
inverznu Laplace-ovu transformaciju. Laplace-ova transformacija primjenjuje se
u fizici (na primjer, provođenje toplote) kao i u analizi prenosa signala u različitim
sistemima (elektične mreže, komunikacioni sistemi, …). Optički sistemi, kao
i kompjuterski programi za obradu digitalizovane slike i zvukova se takođe mogu
smatrati sistemima na koje se može primjeniti Laplace-ova transformacija.
U ovom master radu sam pokušala da na najbolji način približim čitaocu Laplaceovu
transformaciju, njene osnovne osobine i primjene. Rad se sastoji od dve glava.
Prva glava predviđena je za čitaoce koji se prvi put upoznaju sa pojmom Laplaceove
transformacije i koji nisu upoznati sa Banahovim prostorima, dok je druga
glava napredniji nivo i ona je namjenjena čitaocima koji su upoznati sa ovim
vi
pojmovima, kao i sa teorijom operatora.
Prva glava se sastoji četrnaest poglavlja. Tu su izložene neke osnovne osobine
Laplace-ovog integrala. U prva četiri poglavlja su date osobine Laplace-ove
transformacije. U petom poglavlju je definisana inverzna Laplace-ova transformacija
i dokazana je formula kompleksne inverzije. U narednih šest poglavlja su
definisane Gama, Beta i Beselova funkcija, definisan je pojam konvolucije funkcija
i dokazana je teorema za konvoluciju Laplace-ove transformacije. Takođe je
definisan pojam distribucija i dokazana teorema za konvoluciju distibucija. Jedanaesto
poglavlje je posvećeno Riemann-Stieltjes-ovom integralu. Tu su date
osnovne definicije Riemann-Stieltjes-ovog integrala, funkcija ograničene varijacije
i Laplace-Stieltjes-ove transformacije , a sve to na prostorima R i C. Posljednja
dva poglavlja su posvećena primjenama Laplace-ove transformacije.
Druga glava se sastoji od deset poglavlja. To je uopštenje prethodne glave na
Banahovim prostorima. Ovde su još uvedeni dodatni pojmovi kao što su funkcije
ograničene semivarijacije, slabe ograničene varijacije, apscise konvergencije,
Riesz-ovog operatora, Riesz-Stieltjes-ove transformacije i drugih. Laplace-ova i
Laplace-Stieltjes-ova transformacije su predstavljene kao operatori koji djeluju na
određenim prostorima.

No votes yet.
Please wait…

Prijavi se

Detalji dokumenta

Više u Diplomski radovi

Više u Matematika

Više u Skripte

Komentari

Click to access the login or register cheese