МАТЕМАТИКА
СЕМИНАРСКИ РАД
ТЕМА: НЕОДРЕЂЕНИ ИНТЕГРАЛ
БЕОГРАД, октобар 2012
У сваком сазнању је науке, колико је у њему математике.
—
Имануел Кант
Интеграл
Интеграл
је један од најважнијих појмова
математичке анализе
. Постоји више врста
интеграла, међу којима су најпознатији
неодређени
,
одређени
, Стилтјесов итд.
Неодређени интеграл се уводи као функција у извесном смислу инверзна диференцирању,
односно као скуп свих примитивних функција за функцију која се интеграли. Одређени (или
Риманов) интеграл се уводи помођу тзв. интегралних сума. Иако је проучавање ових
интеграла у почетку текло независно, чувена је формула која успоставља везу између њих -
Њутн-Лајбницова формула
.
Одређени интеграл
Одређени
(или
Риманов
)
интеграл
је проистекао из
проблема површине
који датира још од
античке Грчке. Проблем квадратуре параболе је поставио
Архимед
, и то решење се сматра
једним од првих значајних резултата математичке анализе. Одређени и
неодређени интеграл
при дефинисању немају никаквих додирних тачака, јер се одређени интеграл дефинише као
површина између
функције
и апсцисе а неодређени интеграл као обрнути проблем налажења
извода
. Тек се касније испоставило, постављањем
Њутн-Лајбницове формуле
, да између њих
постоји јака релација.
Дефиниција
Функција је дефинисана на одсечку
. Дефинишемо поделу као уређену
-
торку бројева
такву да је
, и у оквиру ње дефинишемо избор бројева
тако да важи
. Означимо
. Тада је
скуп
коначан скуп реалних бројева, па он има свој највећи елемент.
Тај елемент називаћемо . Реалан број је одређени интеграл функције на интервалу
,
ако за свако постоји , такво да је за сваку поделу за коју важи
испуњено:
Дефиниција одређеног интеграла се записује:
Ако постоји одређени интеграл функције на интервалу
кажемо да је функција
интеграбилна на
.
Одређени интеграл се записује:
Нека је на тој кривој, односно на скупу тачака које је сачињавају, дефинисана функција
.
Можемо формирати подјелу интервала
на дијелова, у сљедећим ознакама:
.
На сваком сегменту
можемо изабрати по једно , од којих свако параметарски
одређује по једну тачку
, гдје је
. Са
ћемо означити дужину криве на сегменту
. Тада имамо сљедећу ознаку:
Јасно је да ће за различите подјеле интервала горњи израз имати различите вриједности. Нас
занима случај када
тежи нули, тј. када је подјела интервала
„бесконачно густа“. На
тај начин уводимо појам криволинијског интеграла прве врсте: ако постоји неки број , такав
да за свако
постоји одређено
тако да:
,
тај број називаћемо криволинијским интегралом прве врсте функције на кривој .
Записује се као што је дато у уводу текста. Крива интеграције се назива још и
луком
интеграције
Особине
Криволинијски интеграл прве врсте дијели неке од основних особина са обичним одређеним
интегралом.
1.
,
2. Ако је за сваку тачку домена тачно:
, онда важи и:
,
3.
,
4.
, ако се тачка налази
између тачака и .
Супротно криволинијском интегралу друге врсте, код којег постоји појам
оријентације
, за
криволинијски интеграл прве врсте важи сљедеће:
