3. LINEARNE DIFERENCIJALNE JEDNA
Č
INE
Linearne diferencijalne jedna
č
ine prvog reda su jedna
č
ine oblika:
)
(
)
(
x
q
y
x
p
y
=
⋅
+
′
,
pri
č
emu p(x) i q(x) smatramo poznatim funkcijama promjenljive x.
Opšte rješenje ove jedna
č
ine je:
(
)
∫
∫
−
+
∫
=
dx
e
x
q
C
e
y
dx
x
p
dx
x
p
)
(
)
(
)
(
pri
č
emu je C konstanta.
PRIMJER 1. Na
ć
i opšte rješenje jedna
č
ine
(
)
3
1
1
2
+
=
+
−
′
x
y
x
y
RJEŠENJE:
Uo
č
imo da je
(
)
3
1
)
(
,
1
2
)
(
+
=
+
−
=
x
x
q
x
x
p
Tada rješenje jedna
č
ine tražimo uvrštavaju
ć
i p(x) i q(x) u jednakost
(
)
∫
∫
−
+
∫
=
dx
e
x
q
C
e
y
dx
x
p
dx
x
p
)
(
)
(
)
(
(
)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
∫
=
∫
∫
+
−
+
−
−
dx
e
x
C
e
y
dx
x
dx
x
1
2
3
1
2
1
(
)
(
)
∫
+
−
+
+
+
=
dx
e
x
C
e
y
x
x
1
ln
2
3
1
ln
2
1
(
)
(
)
∫
−
+
+
+
+
=
dx
e
x
C
e
y
x
x
2
2
1
ln
3
1
ln
1
(
)
(
) (
)
(
)
∫
−
+
+
+
+
=
dx
x
x
C
x
y
2
3
2
1
1
1
(
)
(
)
(
)
∫
+
+
+
=
dx
x
C
x
y
1
1
2
(
)
(
)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
+
=
2
1
1
2
2
x
C
x
y
PRIMJER 2. Na
ć
i opšte rješenje jedna
č
ine
1
2
1
2
=
−
+
′
y
x
x
y
RJEŠENJE:
Uo
č
imo da je
1
)
(
,
2
1
)
(
2
=
−
=
x
q
x
x
x
p
Tada rješenje jedna
č
ine tražimo uvrštavaju
ć
i p(x) i q(x) u jednakost
(
)
∫
∫
−
+
∫
=
dx
e
x
q
C
e
y
dx
x
p
dx
x
p
)
(
)
(
)
(
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∫
=
∫
∫
−
−
−
dx
e
C
e
y
dx
x
x
dx
x
x
2
2
2
1
2
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∫
∫
+
∫
∫
=
∫
−
+
−
dx
e
C
e
y
dx
x
x
dx
x
dx
x
x
dx
x
2
2
2
2
2
1
2
1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
∫
−
−
+
dx
e
C
e
y
x
x
x
x
2
ln
1
2
ln
1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
∫
−
−
dx
e
e
C
e
e
y
x
x
x
x
2
2
ln
1
ln
1
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
∫
−
dx
x
e
C
x
e
y
x
x
2
1
2
1
Riješimo integral koji se nalazi u zagradi:
