2
UVOD
:
Elipsa
je skup svih tačaka ravni za koje vrijedi da je zbir udaljenosti od dvije fiksne tačke te iste ravni
konstantan.
Fiksne tačke
F
1
i F
2
su fokusi ili žarišta elipse.
Duž
AB
je velika osa elipse, a duži
OA=OB=a
su velike poluose elipse.
Duž
CD
je mala osa elipse, a duži
OD=OC=b
su male poluose elipse.
Udaljenost fokusa
F
1
i F
2
od središta elipse je linearni ekscentricitet i obilježava se oznakom e.
a
2
- b
2
= e
2
; F
1
F
2
= 2e
r1 i r2 su radijus vektori tačke T, zbir dužina radijus vektora jednak je dvjema velikim poluosama.
3
r
1
+ r
2
= 2a
Ako izaberemo neki dijametar elipse, njemu konjugovan dijametar bit će onaj koji se dobija tako što
pokupimo središta svih tetiva paralelnih početnom dijametru, ili konjugovan dijametar je onaj dijametar
koji ima pravac tangente u tačkama u kojima početni dijametar siječe krivu.
Dva su dijametra konjugovana ako su pri afinom preslikavanju kružnice u elipsu nastali kao afina slika
međusobno okomitih dijametara kružnice.
Numerički ekscentricitet
je oblika:
ε=e/a
; za
ε=o
kriva postaje kružnica, kada se
ε
približava broju 1
elipsa postaje spljoštenija.
Najjednostavnija je jednačina elipse sa središtem u centru koordinatnog sistema. Tjemena te elipse nalaze
se u tačkama
A
(-
a
,0)
,
B
(
a
,0)
,
C(0,-
b
)
i
D
(0,
b
)
, a fokusi su u tačkama
F
1
(-e,0)
i
F
2
(e,0)
i glasi:
b
2
x
2
+ a
2
y
2
= a
2
b
2
Jedinačina elipse kojoj se središte ne nalazi u centru koordinatnog sistema nego u nekoj tački S(p,q) pod
uslovom da su ose elipse paralelne sa osama koordinatnog sistema glasi:
a
2
(x-p)
2
+ b
2
(y-q)
2
= a
2
b
2
5
Kontrukcija elipse po definiciji ili vrtlarska konstrukcija elipse:
Vrtlarska konstrukcija je konstrukcija elipse kojoj su zadani fokusi. Na ovaj način vrtlari prilikom
uređivanja parkova konstruišu elipsu unutar koje će zasaditi cvijeće i sl. Zato se naziva “vrtlarska
kontrukcija”. Elipsa se dobije pomoću dva kolčića koja se čvrsto zabodu u zemlju i nerastezljivog
konopca koji mora biti duži od rastojanja kolčića.
Kolčići se povežu konopcem, štapom se napne konopac i pomicanjem štapa tako da konopac bude stalno
napet ocrtava se elipsa.
6
AB
i
CD
su zadane velika i mala osa elipse, respektivno. Fokuse elipse dobijemo tako što opišemo
kružnicu sa centrom u tački
D
ili
C
i poluprečnikom
AO
. Presječne tačke te kružnice i prave
AB
su fokusi
elipse.(
k(D,a)
AB = {F
1
, F
2
}
)
Tačka
T
je proizvoljna tačka na velikoj osi elipse. Opišemo kružnicu
k
1
sa centrom u
F
1
i poluprečnikom
AT
. Zatim konstruišemo drugu kružnicu
k
2
sa centrom u
F
2
i poluprečnikom
BT
. Presjeci kružnica
k
1
i
k
2
su dvije tačke elipse
E
1
i
E
2
. (
k
1
(F
1
,AT)
k
2
(F
2
,BT) = {E
1
,E
2
}
)
Postupak ponavljamo dok ne dobijemo dovoljan broj tačaka elipse, zatim elipsu iscrtamo krivuljarom.
