Geometrijske konstrukcije

1. UVOD
Konstruktivna geometrija je dio geometrije u kojem se proučavaju metode i teorija geometrijeskih konstrukcija. Konstruktivni geometrijeski lik je osnovni pojam konstruktivne geometrije, on se uzima bez definicije. Linijar i šestar su osnovni instumenti geometrijskih konstrukcija. Osnovne konstukcije su niz jednostavnih konstrukcija na koje se svode složenije konstrukcije. Geometrijskom konstrukcijom nazivamo skup operacija koje se mogu izvesti pomoću lenjira i šestara. Prenošenjem duži pomoću lenjira i šestara i određivanje presječenih tačaka pravih i krugova omogućuju da se neposredno izvede izvjestan broj elementarnih konstrukcija. Konstrukcija se smatra teorijski mogućom ako se može izvršiti i pomoću lenjira i šestara bez nagađanja i sa konačno mnogo operacija. Neki problemi starih matematičara ostali su slavni: problem podjele proizvoljnog ugla na tri jednaka dijela , problem određivanja ivice kocke čija je zapremina dva puta veća od zapremine neke kocke date ivice. Danas znamo da su te konstrukcije nemoguće i, već od XIX vijeka, imamo kriterijum na osnovu kojeg razlikujemo moguće i ne moguće geometrijeske konstrukcije. Mi ćemo proučiti najprostije elementarne geometrijeske konstrukcije koje se mogu realizovati pomoću lenjira i šestara. U praksi, tehnički crtači se često koriste ekspeditivnim postupcima upotrebljavajući trougao, t-lenjir i proporcionalni šestar.
Poznata knjiga Euklidovih Elemenata sadrži pet postulata kojima se date činjenice u vezi konstrukcije. Prva tri su uputstvo kako se mogu koristiti i alati za rješavanje zadataka i konstrukcije, lenjir i šestar.
Neka je dato da je :
Postulat I: moguće povući pravu liniju između bilo koje dvije tačke.
Postulat II: moguće produžiti pravu liniju na obje strane dokle god.
Postulat III: moguće opisati i krug iz bilo kog centra sa bilo kojim poluprečnikom.
Ovo je jedino moguće uraditi lenjirom i šestarom. Za ilustraciju strogosti neka posluži da nije dozvoljeno šestarom uzeti rastojanje između dvije tačke pa potom prenijeti to rastojanje na neku duž. Takođe nije dozvoljeno lenjirom izmjeriti rastojanje i prenijeti ga na duž. Ova pravila su poznata mnogo prije Euklida i smatra se da su ih pitagorejci postavili. Prvi matematičar koji se spominje u smislu navođenja ovih strogih uputstava je Oenopides iz Hiosa. Prvi matematičar zabilježen da se bavio kvadraturom kruga, naravno lenjirom i šestarom, je Anaksagora oko 450 godina p.n.e. .

2. Konstruisanje simetrale duži
Tražena prava je određena dvjema tačkama koje su na jednakom rastojanju od A i B. Iz A i B kao centra opišu se dva kružna luka sa istim poluprečnikom ( treba uzeti dovoljno veliki poluprečnik) i kroz njihove presječne tačke M i N povuće se prava ( Slika 1):