1
SADRŽAJ
1.
UVOD…………………………………………………………………………………
2.
Polinomi………….…………………………………………………………………
3.
Racionalne funkcije……….……………………………………………………
4.
Stepene funkcije………………………………………………………………....
5.
Logaritamske funkcije………...………………………………………………
6.
Trigonometrijske funkcije……..……………………………………………
7.
Inverzne fukcije…………………….……………………………………………
8.
LITERATURA…………………………...…………………………………………
2
UVOD
UVOD
UVOD
UVOD
Elementarne funkcije su klasa funkcija koja u sebe uključuje:
•
Polinome,
•
Racionalne funkcije,
•
Eksponencijalne funkcije
•
Stepene funkcije
•
Logaritamske funkcije
•
Trigonometrijske funkcije
•
Inverzne trigonometrijske funkcije
a takođe i funkcije koje se mogu dobiti od ovih pomoću četiri aritmetičke operacije:
•
Sabiranjem,
•
Oduzimanjem,
•
Množenjem,
•
Delenjem.
4
Ova teorema daje potencijalne racionalne nule polinoma sa celim koeficijentima.
Postupak koji omogućava da se odrede koeficijenti b
1
, b
0
,..., b
N/0
polinoma Q
N/0
;x< iz
+
,
;.<=;x-x
1
< C
,/0
;x<
i proveri da li su potencijalne vrednosta zaista nule datog
polinima, naziva se Hornerova šema.
Primer 1:Hornerova šema
Odredićemo racionalne nule polinoma g
h
;x<=x
h
E3x
F
-4x-12. Za dati polinom
posmatramo delitelje broja 12, jer je a
1
=12. To su brojevi: ±1,±2,±3,±4,±6,±12.
Ispitaćemo da li je
x=1
nula posatranog polinoma:
1 3 -4 -12 |
x=1
1 4 0 |-12.
Drugi red u ovoj šemi dobijen je na sledeći način:Prvi broj u drugom redu, 1, se
prepiše iz prvog reda I upiše u drugu kolonu. Zatim se nalaze brojevi 4=1∙1E3,
1∙4E;-4<=0 i dobija se ostatak 1∙0E;-12<=-12. Kako je zadnja cifra u drugom redu -12,
x=
0 nije nula datog polinoma.
Ispitaćemo da li je
x=2
nula datog polinoma:
1 3 -4 -12 |
x=2
1 5 6 | 0
.
Kako je zadnja cifra u drugom redu 0,
x=
0 je nula datog polinoma. Prema tome važi
x
h
E3x
F
-4x-12=;x-2<;x
F
E 5x E 6<.
Postupak se dalje nastavlja, tako što se traže nule polinoma drugog stepena. To se
sada može uraditi rešavanjem kvadratne jednačine ili ponovo pomoću Hornerove šeme.
Primer 2:Faktorizacija polinoma
a<
p
h
;x<=x
h
Ex
F
O4xO4=x
F
;x E 1<O4;x E 1<=;x E 1<;x
F
O 4<=
=;x E 1<;x E 2<;x O 1<
b<
p
l
;x<=x
l
O3x
F
O4=x
l
O4x
F
Ex
F
O4=x
F
;x
F
O 4<E;x
F
O 4<=
=;x
F
O 4<;x
F
E 1<=;x O 2<;x E 2<;x O i<;x E i<, gde je i
F
=-1.
Primer 3
: Posmatraćemo jednoćelijske organizme oblika sfere. Ako sa r oynačimo
poluprečnik ćelije, tada je odgovarajuća povrsina S i zapremina V ćelije data sa
S=4no
F
;funkcija stepena<.
V=
l
h
no
h
;funkcija trećeg stepena<.
Kada ćelija raste ;povećava se poluprečnik r<, zapremina ćeloje raste brže nego
površina, npr. za dvostruko veći poluprečnik površina će se učetvorostručiti, a
zapremina će se povećati osam puta. Obrnuta je situacija pri smanjivanju, tj. za upola
manji poluprečnik površina će se smanjiti četiri puta, a zapremina osam puta. Veličina
površine ćelije određuje veličinu protoka;zapremine< materije i energije kao što su npr.
kiseonik, ugljen-dioksid i svetlost, dok veličina zapremine ćelije određuje metabolizam
unutar ćelije. Iz tih razčoga ćelija ne sme biti ni suviše velika, ni suviše mala da bi se
održala ravnoteža između ta dva procesa. Sa jedne strane, ako je poluprečnik ćelije r
manji od donje kritične vrednosti r
0
, tada će ćelija uginuti, jer ,etabolizam nije u
5
dovoljnoj meri razvijen za tako veliku površinu, odnosno veliki protok materije i
energije. Sa druge strane ako je poluprečnik r veći od gornje kritične vrednosti r
F
, tada
je protom materije i energije nedovoljan za povećan metabolizam ćelije. Zbog toga mora
biti zadovoljen uslov r
0
p o p r
F
, te su zato i dimenzije jednoćelijskih organizama takve,
kakve ih srećemo u prirodi.
RACIONALNE FUNKCIJE
RACIONALNE FUNKCIJE
RACIONALNE FUNKCIJE
RACIONALNE FUNKCIJE
Funkcija
R
;t<
=
Q
v
;t<
P
x
;t<
, x
∈
R
y. ∈ L|+
,
;.< = 0z
,
Gde su P
N
;x< i Q
P
;x<polinomi stepena n odnosno m, naziva se racionalna funkcija.
n p m ⇒ prava racionalna funkcija,
n ≥ m ⇒ deljenjem brojioca sa imeniocom funkciju možemo napisati u obliku polinoma
i prave racionalne funkcije.
Posebno značajni primeri racionalnih funkcija su elementarne racionalne funkcije
}
;~/<
€
, j∈N, i
}~‚
;~
ƒ
„~…<
†
, k∈N,
gde su nule polinoma x
F
E px E q konjugovano-kompleksne.
Primer 4
: Neka više slavina puni jedan rezervoar. Neka jednoj slavini , da bi napunila
rezervoar , treba 8h. Tada će dve takve slavine napuniti rezervoar za 4h=
‡
F
, dok će četiri
takve slavine napuniti rezervoar za 2h=
‡
l
. Uopšte, x slavina će napuniti rezervoar za
‡
t
časova
;x∈N<
. Znači, između broja sati punjenja rezervoara i broja slavina postoji
obrnuta proporcija,
y=
‡
t
.
STEPENE FUNKCIJE
STEPENE FUNKCIJE
STEPENE FUNKCIJE
STEPENE FUNKCIJE
Stepene funkcije su oblika
y;x<=
.
,
gde je
a∈R.
U istom koordinatnom sistemu posmatrajmo grafike nekih funkcija oblika
y=
.
,
,n∈N
:
f;x<=
.
F
, f;x<=
.
l
, f;x<=
.
ˆ
-4
-2
2
4
20
40
60
80
